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#9:
Bueno, comento un poco el artículo.
Antes de nada el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números reales. Y se ha demostrado que es imposible determinar si hay conjuntos de tamaño intermedio. El que no lo haya se llama la hipótesis del continuo, y se ha demostrado que tanto la afirmación de dicha hipótesis como la negación son axiomas compatibles con la teoría de conjuntos (no ambos a la vez, claro), vamos, que se pueden construir modelos de la teoría de conjuntos que cumplan dicha hipótesis y modelos que no. Esto se puede hacer con una técnica llamada forcing.
Bien, el artículo habla de dos conjuntos más, P y T. El conjunto de los naturales es más pequeño que estos, P se sabía que era menor o igual que T y T menor o igual que el de los números reales.
Si P fuese menor que T se encontraría un conjunto de tamaño intermedio entre los naturales y reales, lo que demostraría que la hipótesis del continuo es falsa, y como esto no se puede hacer por lo que ya he comentado, pues es imposible demostrar que son distintos. De hecho lo que estaba claro es que en algunos modelos iban a ser iguales, por ejemplo cuando se cumple la hipótesis del continuo, en tal caso tienen que ser iguales. Por tanto o una de dos, o siempre son iguales o la relación entre sus tamaños era independiente a la axiomática de la teoría de conjuntos.
Vamos, resumiendo, que se ha demostrado que la relación entre sus tamaños es que son iguales, no era independiente de la axiomática establecida.
Pd. Voto errónea ya que no han arreglado titular y entradilla.
CC #0, #1, #4, #5.
Antes de nada el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números reales. Y se ha demostrado que es imposible determinar si hay conjuntos de tamaño intermedio. El que no lo haya se llama la hipótesis del continuo, y se ha demostrado que tanto la afirmación de dicha hipótesis como la negación son axiomas compatibles con la teoría de conjuntos (no ambos a la vez, claro), vamos, que se pueden construir modelos de la teoría de conjuntos que cumplan dicha hipótesis y modelos que no. Esto se puede hacer con una técnica llamada forcing.
Bien, el artículo habla de dos conjuntos más, P y T. El conjunto de los naturales es más pequeño que estos, P se sabía que era menor o igual que T y T menor o igual que el de los números reales.
Si P fuese menor que T se encontraría un conjunto de tamaño intermedio entre los naturales y reales, lo que demostraría que la hipótesis del continuo es falsa, y como esto no se puede hacer por lo que ya he comentado, pues es imposible demostrar que son distintos. De hecho lo que estaba claro es que en algunos modelos iban a ser iguales, por ejemplo cuando se cumple la hipótesis del continuo, en tal caso tienen que ser iguales. Por tanto o una de dos, o siempre son iguales o la relación entre sus tamaños era independiente a la axiomática de la teoría de conjuntos.
Vamos, resumiendo, que se ha demostrado que la relación entre sus tamaños es que son iguales, no era independiente de la axiomática establecida.
Pd. Voto errónea ya que no han arreglado titular y entradilla.
CC #0, #1, #4, #5.
#6:
#5, sí, su tamaño, economía del lenguaje. Pero no, no demuestran que todos los infinitos tienen el mismo tamaño. El meneo está escrito raro y puede llevar a confusión, pero ya te digo yo que si en 2016 se hubiera descubierto eso la comunidad matemática iría dando tumbos desde entonces porque estaría todo mal. En el artículo se habla de un p y un t concretos.
The details of the two sizes don’t much matter. What’s more important is that mathematicians quickly figured out two things about the sizes of p and t. First, both sets are larger than the natural numbers. Second, p is always less than or equal to t. Therefore, if p is less than t, then p would be an intermediate infinity — something between the size of the natural numbers and the size of the real numbers. The continuum hypothesis would be false.
Hasta le he echado un vistazo al artículo del que hablan.
The details of the two sizes don’t much matter. What’s more important is that mathematicians quickly figured out two things about the sizes of p and t. First, both sets are larger than the natural numbers. Second, p is always less than or equal to t. Therefore, if p is less than t, then p would be an intermediate infinity — something between the size of the natural numbers and the size of the real numbers. The continuum hypothesis would be false.
Hasta le he echado un vistazo al artículo del que hablan.
#2:
#1, eso sigue siendo verdad. Me he leído la mitad del artículo y ya veo que #0 debería cambiar entradilla y titular porque da lugar a confusión.
Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales. Concretamente el infinito p y t de los que hablan son estos (copiado del artículo, no traduzco, que total, las definiciones no salen completas)
Briefly, p is the minimum size of a collection of infinite sets of the natural numbers that have a “strong finite intersection property” and no “pseudointersection,” which means the subsets overlap each other in a particular way; t is called the “tower number” and is the minimum size of a collection of subsets of the natural numbers that is ordered in a way called “reverse almost inclusion” and has no pseudointersection.
Si demuestran que todos los infinitos son iguales, cuando hay cientos de formas de demostrar que hay infinitos distintos con pruebas sencillas significaría que las matemáticas básicamente están todas mal
Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales. Concretamente el infinito p y t de los que hablan son estos (copiado del artículo, no traduzco, que total, las definiciones no salen completas)
Briefly, p is the minimum size of a collection of infinite sets of the natural numbers that have a “strong finite intersection property” and no “pseudointersection,” which means the subsets overlap each other in a particular way; t is called the “tower number” and is the minimum size of a collection of subsets of the natural numbers that is ordered in a way called “reverse almost inclusion” and has no pseudointersection.
Si demuestran que todos los infinitos son iguales, cuando hay cientos de formas de demostrar que hay infinitos distintos con pruebas sencillas significaría que las matemáticas básicamente están todas mal
#32:
#30 Una buena pregunta que se había quedado sin responder, disculpa el despiste.
Vamos a pensar cómo se cuenta. Lo que se hace es establecer relaciones entre dos conjuntos, para ello usaré conjuntos finitos:
Tengamos el conjunto de frutas A= y el de niños B=
Sé que tengo la misma cantidad de frutas que de niños porque por ejemplo podría darle la pera a Bea, la manzana a Carlos y el plátano a Ana
pera Bea
manzana Carlos
plátano Ana
Este modo de colocar las cosas en correspondencia se llama biyección, cada uno de los elementos del conjunto origen (frutas) tiene exactamente una flecha que sale de él, cada uno de los del destino (niños) tiene una flecha que llega a él. Lo que ocurre es que solemos tomar los primeros números naturales en el origen y en el destino poner un conjunto:
1 Bea
2 Carlos
3 Ana
Se demuestra que si hay biyección entre A y B y entre B y C se puede construir entre A y C, todo cuadra.
Así que para contar los elementos de un conjunto finito la cosa es fácil, pero para infinitos lo que hacemos es generalizar. El modo de demostrar que los pares son la misma cantidad que los naturales es este:
1 2
2 4
3 6
4 8
...
n 2n
Como ves, para hacer una biyección en conjuntos infinitos he tenido que usar una expresión matemática que sé que funciona para todos los naturales. Como cualquier par tiene exactamente una mitad y cada natural tiene exactamente un doble, ambos conjuntos son iguales en cardinal. Para los enteros y los racionales se definió una ingeniosa biyección entre los naturales y las parejas ordenadas de naturales, y entre estas parejas y los conjuntos numéricos correspondientes. El mundo parecía empezar a creer que el infinito siempre es igual a sí mismo.
Pero Cantor nos demostró que si definía una biyección entre los naturales y los reales llegaba a contradicciones, una demostración por reducción al absurdo que a la comunidad matemática le hizo perder el suelo bajo los pies. Lo hace porque si he hecho una biyección con los naturales puedo colocar las cosas en orden, y tomar una cifra distinta para la primera cifra de un real, una distinta de la segunda del segundo en la segunda cifra, una distinta de la tercera del tercero... y así hasta el infinito numerable que hemos montado. Nos sale un nuevo número real que no está en la lista, esto es contradictorio con el hecho de ser una biyección. Este "truco" se conoce como "el argumento diagonal de Cantor".
Con otras técnicas en cierto modo emparentadas con esto demostró que el conjunto de las partes de otro conjunto (ahora explico, siempre es de cardinal estrictamente mayor que el conjunto original.
El conjunto de las partes es el conjunto de todos los subconjuntos. Lo haré sobre el conjunto B de niños que definí antes
P(B)= , , ,, , , }
Como ves tiene 8 elementos 2³=8, es fácil demostrar que el conjunto de partes siempre tiene cardinal 2^n en casos finitos Para el caso infinito, por supuesto, las definiciones y demostraciones tienen que ser mucho más cuidadosas.
Vamos a pensar cómo se cuenta. Lo que se hace es establecer relaciones entre dos conjuntos, para ello usaré conjuntos finitos:
Tengamos el conjunto de frutas A= y el de niños B=
Sé que tengo la misma cantidad de frutas que de niños porque por ejemplo podría darle la pera a Bea, la manzana a Carlos y el plátano a Ana
pera Bea
manzana Carlos
plátano Ana
Este modo de colocar las cosas en correspondencia se llama biyección, cada uno de los elementos del conjunto origen (frutas) tiene exactamente una flecha que sale de él, cada uno de los del destino (niños) tiene una flecha que llega a él. Lo que ocurre es que solemos tomar los primeros números naturales en el origen y en el destino poner un conjunto:
1 Bea
2 Carlos
3 Ana
Se demuestra que si hay biyección entre A y B y entre B y C se puede construir entre A y C, todo cuadra.
Así que para contar los elementos de un conjunto finito la cosa es fácil, pero para infinitos lo que hacemos es generalizar. El modo de demostrar que los pares son la misma cantidad que los naturales es este:
1 2
2 4
3 6
4 8
...
n 2n
Como ves, para hacer una biyección en conjuntos infinitos he tenido que usar una expresión matemática que sé que funciona para todos los naturales. Como cualquier par tiene exactamente una mitad y cada natural tiene exactamente un doble, ambos conjuntos son iguales en cardinal. Para los enteros y los racionales se definió una ingeniosa biyección entre los naturales y las parejas ordenadas de naturales, y entre estas parejas y los conjuntos numéricos correspondientes. El mundo parecía empezar a creer que el infinito siempre es igual a sí mismo.
Pero Cantor nos demostró que si definía una biyección entre los naturales y los reales llegaba a contradicciones, una demostración por reducción al absurdo que a la comunidad matemática le hizo perder el suelo bajo los pies. Lo hace porque si he hecho una biyección con los naturales puedo colocar las cosas en orden, y tomar una cifra distinta para la primera cifra de un real, una distinta de la segunda del segundo en la segunda cifra, una distinta de la tercera del tercero... y así hasta el infinito numerable que hemos montado. Nos sale un nuevo número real que no está en la lista, esto es contradictorio con el hecho de ser una biyección. Este "truco" se conoce como "el argumento diagonal de Cantor".
Con otras técnicas en cierto modo emparentadas con esto demostró que el conjunto de las partes de otro conjunto (ahora explico, siempre es de cardinal estrictamente mayor que el conjunto original.
El conjunto de las partes es el conjunto de todos los subconjuntos. Lo haré sobre el conjunto B de niños que definí antes
P(B)= , , ,, , , }
Como ves tiene 8 elementos 2³=8, es fácil demostrar que el conjunto de partes siempre tiene cardinal 2^n en casos finitos Para el caso infinito, por supuesto, las definiciones y demostraciones tienen que ser mucho más cuidadosas.
#3:
#1, y si no supongamos que todos los conjuntos infinitos son iguales.
Sea A un conjunto infinito y sea B el conjunto formado por los subconjuntos de A
Supongamos que F:A->B es una biyección.
Sea C el subjunto de A definido como los elementos a de A que cumplen que a no pertenece a F(a). Sea ahora c el elemento de A tal que F(c)=C. Llegamos a una contradicción, porque si c pertenece a C, por definición de C no puede estar en F(c)=C. Y si c no está en C por definición c está en F(c)=C.
Acabo de demostrarte que un conjunto y el conjunto formado por sus subconjuntos son siempre distintos.
Sea A un conjunto infinito y sea B el conjunto formado por los subconjuntos de A
Supongamos que F:A->B es una biyección.
Sea C el subjunto de A definido como los elementos a de A que cumplen que a no pertenece a F(a). Sea ahora c el elemento de A tal que F(c)=C. Llegamos a una contradicción, porque si c pertenece a C, por definición de C no puede estar en F(c)=C. Y si c no está en C por definición c está en F(c)=C.
Acabo de demostrarte que un conjunto y el conjunto formado por sus subconjuntos son siempre distintos.
#31:
#13 Cantor lo que demostró es que sí, que hay infinitos mayores que otros, con un ingenioso método de diagonales, y mucha gente se echó las manos a la cabeza cuando lo leyó, porque justo antes había demostrado que los pares son tantos como los naturales, los enteros tantos como los nautrales, que los racionales también son los mismos... Tanta igualdad entre todos y partes había revolucionado las aguas, pero luego añadir que pese a ello hay cardinales mayores que otros en el infinito le tocó la moral a mucha gente, especialmente a Kroneker, que hizo campaña activa para que Cantor nunca consiguiera plazas en las instituciones en las que él pudiera influir
#34:
#33 Hay dos modos de hacerlo, una es demostrar que hay una inyección de una a otra y que hay una inyección de la otra a la una, y se puede demostrar que si hay esas dos inyecciones existe una biyección.
Pero Cantor demostró también que el conjunto de las partes es siempre estrictamente mayor que el conjunto original.
En serio, algo de teoría de conjuntos controlo.
Pero Cantor demostró también que el conjunto de las partes es siempre estrictamente mayor que el conjunto original.
En serio, algo de teoría de conjuntos controlo.
#46:
#30 Por que primero definen claramente que quiere decir menor. Por ejemplo una definición considera que un conjunto es menor que otro si los elementos de uno son numerables y del otro no. Numerable quiere decir que puedes coger cualquier elemento del conjunto y averiguar que posición ocupa en el total. Por ejemplo los números naturales, los enteros y los racionales son numerables. En cambio hay conjuntos que es imposible hacer eso, por ejemplo el conjunto de los números reales.
#10:
#8 No, hay infinitos posibles cardinales infinitos. Cada vez que tomo el conjunto de las partes de un conjunto S me sale algo de cardinal estrictamente mayor que #S. Lo que pasa es que de los conjuntos usuales tenemos los numerables y los no numerables con cardinal igual al de los reales (cardinal del continuo). Podríamos seguir inventando infinitos más grandes pero no es usual porque no es útil. Lo que se acabó por ver que era indecidible es si hay un cardinal intermedio entre el de los naturales (numerable) y el de los reales (continuo) y decir que no es un axioma más que se toma en algunas ocasiones para determinadas situaciones
Comentarios
#5, sí, su tamaño, economía del lenguaje. Pero no, no demuestran que todos los infinitos tienen el mismo tamaño. El meneo está escrito raro y puede llevar a confusión, pero ya te digo yo que si en 2016 se hubiera descubierto eso la comunidad matemática iría dando tumbos desde entonces porque estaría todo mal. En el artículo se habla de un p y un t concretos.
The details of the two sizes don’t much matter. What’s more important is that mathematicians quickly figured out two things about the sizes of p and t. First, both sets are larger than the natural numbers. Second, p is always less than or equal to t. Therefore, if p is less than t, then p would be an intermediate infinity — something between the size of the natural numbers and the size of the real numbers. The continuum hypothesis would be false.
Hasta le he echado un vistazo al artículo del que hablan.
#6 Vale, ahora lo he leido bien, tienes razón.
El problema es que el artículo ya la empieza liando también con el titular y los primeros párrafos.
#30 Una buena pregunta que se había quedado sin responder, disculpa el despiste.
Vamos a pensar cómo se cuenta. Lo que se hace es establecer relaciones entre dos conjuntos, para ello usaré conjuntos finitos:
Tengamos el conjunto de frutas A= y el de niños B=
Sé que tengo la misma cantidad de frutas que de niños porque por ejemplo podría darle la pera a Bea, la manzana a Carlos y el plátano a Ana
pera Bea
manzana Carlos
plátano Ana
Este modo de colocar las cosas en correspondencia se llama biyección, cada uno de los elementos del conjunto origen (frutas) tiene exactamente una flecha que sale de él, cada uno de los del destino (niños) tiene una flecha que llega a él. Lo que ocurre es que solemos tomar los primeros números naturales en el origen y en el destino poner un conjunto:
1 Bea
2 Carlos
3 Ana
Se demuestra que si hay biyección entre A y B y entre B y C se puede construir entre A y C, todo cuadra.
Así que para contar los elementos de un conjunto finito la cosa es fácil, pero para infinitos lo que hacemos es generalizar. El modo de demostrar que los pares son la misma cantidad que los naturales es este:
1 2
2 4
3 6
4 8
...
n 2n
Como ves, para hacer una biyección en conjuntos infinitos he tenido que usar una expresión matemática que sé que funciona para todos los naturales. Como cualquier par tiene exactamente una mitad y cada natural tiene exactamente un doble, ambos conjuntos son iguales en cardinal. Para los enteros y los racionales se definió una ingeniosa biyección entre los naturales y las parejas ordenadas de naturales, y entre estas parejas y los conjuntos numéricos correspondientes. El mundo parecía empezar a creer que el infinito siempre es igual a sí mismo.
Pero Cantor nos demostró que si definía una biyección entre los naturales y los reales llegaba a contradicciones, una demostración por reducción al absurdo que a la comunidad matemática le hizo perder el suelo bajo los pies. Lo hace porque si he hecho una biyección con los naturales puedo colocar las cosas en orden, y tomar una cifra distinta para la primera cifra de un real, una distinta de la segunda del segundo en la segunda cifra, una distinta de la tercera del tercero... y así hasta el infinito numerable que hemos montado. Nos sale un nuevo número real que no está en la lista, esto es contradictorio con el hecho de ser una biyección. Este "truco" se conoce como "el argumento diagonal de Cantor".
Con otras técnicas en cierto modo emparentadas con esto demostró que el conjunto de las partes de otro conjunto (ahora explico, siempre es de cardinal estrictamente mayor que el conjunto original.
El conjunto de las partes es el conjunto de todos los subconjuntos. Lo haré sobre el conjunto B de niños que definí antes
P(B)= , , ,, , , }
Como ves tiene 8 elementos 2³=8, es fácil demostrar que el conjunto de partes siempre tiene cardinal 2^n en casos finitos Para el caso infinito, por supuesto, las definiciones y demostraciones tienen que ser mucho más cuidadosas.
#32 yo siempre me quedo intrigado porque eso es así, cuando por uno de los extremos también puedes agregar todos los números que quieras, de manera igual que lo puedes añadir por los decimales...
#60 No sé si entiendo bien la pregunta ¿Qué parte es la que te intriga?
Para demostrar que el conjunto de los números reales tiene mayor cardinal que el de los naturales basta con ver que el intervalo (0,1) tiene mayor cardinal que los naturales. De hecho hay biyecciones entre (0,1) y los reales. Así que la demostración se puede hacer con las expansiones decimales sin parte entera.
#61 sí, pero lo que quiero decir es que los reales tienen como "huecos por dentro" 0.1 0.00001 pero los naturales tienen huecos por otro lado. Si te tienes que imaginar que puedes continuar añadiendo huecos infinitamente entre 0.1 y 0.2 no acabo de entender porque esos huecos no se pueden equiparar con los huecos que se van a generar por el otro extremo.
Es decir, ¿porqué hacer la biyección de esa manera? ¿No influirá nuestra representación de los números en eso?
Osea, es algo que sé (casi) con seguridad que estoy equivocado porque suena más elegante lo que dijo Cantor de ir equiparando uno a uno, pero en el momento en el que salen los infinitos (desde dentro del número como si dijésemos 0.0000000000000000000001 o añadiéndolos después), me genera la duda si no podría ser equivalente.
#62 Se trata de la gran combinatoria que supone tener expansiones decimales infinitas. Los enteros salen de las restas de naturales 2 a 2, los racionales de la división de enteros dos a 2. Pero los reales salen de todos los posibles puntos de acumulación de racionales, no 2 a dos, sino de infinitos en infinitos...
En realidad es mucho más interesante mirado de cerca, cuando sabes que los números algebraicos (los que son soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, como raíz séptima de 4 menos raiz cúbica de 7) son numerables, que la gran variabilidad la dan los números trascendentes, y que algunos números trascendentes, en concreto dos de ellos (pi y e) son tan fundamentales en nuestros modelos de la naturaleza.
#63 Qué interesante. Ojalá supiera más de estos temas.
#67 Bueno, yo estoy licenciada en matemáticas, a lo mejor 5 años de carrera es un precio un poco alto, a no ser que te apasione de verdad de la buena basta con algo de divulgación aquí o allí.
#70 no pude con las matemáticas de la carrera de informática así que no, imposible...
#13 Cantor lo que demostró es que sí, que hay infinitos mayores que otros, con un ingenioso método de diagonales, y mucha gente se echó las manos a la cabeza cuando lo leyó, porque justo antes había demostrado que los pares son tantos como los naturales, los enteros tantos como los nautrales, que los racionales también son los mismos... Tanta igualdad entre todos y partes había revolucionado las aguas, pero luego añadir que pese a ello hay cardinales mayores que otros en el infinito le tocó la moral a mucha gente, especialmente a Kroneker, que hizo campaña activa para que Cantor nunca consiguiera plazas en las instituciones en las que él pudiera influir
#31 No Canyor demostro que existe UNA rrlacion entre N y los irracionales que prueba que n no tiene un cardinal mayor que el de los irracionales.
Yo, con OTRA relacion, PRUEBO que los irracionales no tienen un cardinal mayorque los naturales.
Es un tipo de “relacion” muy parecida a lo que existe entre los pares y los naturales.
Si tienes que f(n) ＝(2×n) +4 , no puedes probar que 0 y 2, como pares, pueden ser asociados a un natural si no cambias “la relacion”.
#33 Hay dos modos de hacerlo, una es demostrar que hay una inyección de una a otra y que hay una inyección de la otra a la una, y se puede demostrar que si hay esas dos inyecciones existe una biyección.
Pero Cantor demostró también que el conjunto de las partes es siempre estrictamente mayor que el conjunto original.
En serio, algo de teoría de conjuntos controlo.
#34 Por eso tambien añado la relacion entre P(N) y N, aunque esa es un poco mas compleja.
Te puedo demostrar que P(N) no tiene un cardinal mayor que N. De hecho tengo una biyeccion entre los subconjuntos finitos de N y su union con un conjunto cuyo cardinal es “aparentemente” mayor que el de los subconjuntos con infinitos elementos de N.
Ahora tengo una entre N y el conjunto de los cardinales. Pero necesitoque alguien compruebe si aplico bien la aritmetica de transfinitos.
#37 Bueno, es imposible que eso sea correcto sin tirar a la basura siglo y medio de matemáticas, mándalo a una facultad, si es cierto es relevante.
#33 Los irracionales sí tienen un cardinal mayor que los naturales. El cardinal de los irracionales es el del continuo, es decir, el de R.
#92 Pero dime, has hecho la resta dd los polinomios？
Has restado la cantidad de aristas de un grafo en arbol, donde todos sus nodos tienen los mismos hijos, y la de los caminos entre la raiz y las hojas？Para un nivel k, los polinomios dependen solo de el numerode hijos y del nivel del grafo.
Coge esa resta y hallale el limite cuando el numero de hihos y el nivel tienden a infinito.... los caminos NO son mas que las aristas.
#31 De hecho yo uso herramientas de Cantor y no lo sabia. No soy matematico, el truco algoritmico de relacionar N con los racionales era de Cantor. Yo solo lo he generalizado para infinitos niveles recursivos: la Construccion LJA.
#35 Tienes el paper? Pásalo y le hecho un vistazo. Pero en serio que la definición es por biyecciones, que se demuestra que una doble inyección es equivalente a una biyección. Y que hay infinitos posibles cardinales infinitos. De hecho esta demostración de que estos dos cardinales son distintos se enclava en una elección de axiomas en la que la hipótesis del continuo se da por falsa y ya se sabía que estos dos cardinales estaban entre aleph sub cero y el cardinal del continuo.
Destaco de este artículo:
Or rather, since both were strictly between the cardinality of the natural numbers and the cardinality of the reals, they were widely believed to be distinct in some models of set theory where the continuum hypothesis fails.
#36 Comentario 11. Te advierto, es una explicacion informal de una estructura de datos, y calculos sobre ella...
#38 Eso no es una demostración rigurosa, no se aceptaría en ningún entorno académico de teoría de conjuntos.
#39 Lo se, pero en tu sincera opinion, la demostracion del Grafo Arbol Regular no es tan mala.
Todas las afirmaciones son informales pero no incorrectas. Por eso digo que es necesaria una colaboración.
Es lo que yo llamo, “entender” una fórmula, no solo demostrarla.
No se si lo has leido, pero la afirmacion de que ningun natural puede estar en dos habitaciones diferentes es totalmente obvia.
Tambien la de que los irracionales en [0,1] no tienen un cardinal superior al de expresiones regulares con los símbolos 0..9 si estas pudiesen tener una longitud infinita. De hecho el segundo conjunto “aparentemente” es mayor que el primero, puesto que 0,12350000000... no es un irracial.
De hechi, esas expresiones, no regulares, pero expresiones, se pueden modelar en un grafo, y un grafo regular, el cardinal de sus aristas, ”aparentemente” es superior al de sus caminos infinitos. Y eso si lo demuestro con un límite.
Por lo tanto, si las aristas de ese grafo son enumerables, pq doy una funcion para ello, tengo un conjunto con un cardinal aparentemente superior a los irraciobales que es enumerable.
Ahora viene la parte en que apelo a la colaboracion entre disciplinas. Si Cantor fuese cierto, mi contraejemplo no podria existir.
？Como voy a enumerar un conjunto con un cardinal no menor que el de los Irracionales？
Tu diras, tu funcion esta mal definida... pero ahi acudimos a la capacidad de razonar. Si lees como fubciona la CLJA, te das cuenta que es imposible que una bolita gris se asocie con dos huecos diferentes. Cada hueco representa una arista, eso es aplastantemente obvio.
Si apelo a tu calidad de buscador de la verdad, dime que el concepto, a pesar de informal, no te despierta dudas.
#41 No la considero una demostración, la veo como una idea en estado de germen que no ha considerado los detalles formales que la van a echar abajo muy probablemente, sorry. Y la verdad, que fuera un documento menos narrativo haría la lectura más sencilla.
Ya hace mucho que se demostró que hay biyecciones entre los naturales elevados a cualquier potencia natural (productos cartesianos) y los naturales sin elevar, no es nada novedoso, un estándar muy conocido.
No es una aproximación exenta de lógica, es una aproximación de alguien más centrado en algorítmica que en matemáticas, y no es válida desde el punto de vista matemático. En cualquier caso este tema sobreexcita mucho a mucha gente, ensayos como el tuyo o parecidos he visto a espuertas, todos han sido contestados negativamente en cuanto se ha formalizado lo suficiente y se han visto las lagunas
#42 No si lo digo en el ensayo. “los caminos finitos no aportan nada nuevo”. Son los infinitos los interesantes.
La laguna seria esa, decirme que existe un irracional que no se piede expresar como una sucesion de 0..9 infinita. Solo con eso me tumbarias.
#44 Hay dos definiciones de los reales a partir de los racionales ya construidos a partir de los enteros, ya construidos a su vez a partir de los naturales, construidos a partir del conjunto vacío y los pares no ordenados de la axiomática de Zermelo y Fraenkel, luego ya bastante asentados sobre los principios más iniciales, cuestionados por el teorema de incompletitud de Gödel de 1931, ciertamente, pero eso vale para cualquier cosa que intentes construir, así que nos movemos por fe a día de hoy. Las dos definiciones son:
La de las cortaduras de Dedekin: se toman conjuntos de racionales menores que una cota y se les da entidad de número, mola por un lado porque es puramente conjuntista, demostrar las propiedades de los reales en cualquier caso no es sencillo.
La de las sucesiones contractivas de Cantor
Se establece una correspondencia entre estas dos definiciones y también con la expansión en cualquier base de numeración, pero también se demuestra la imposibilidad de enumerarlos.
#45 Una pregunta de alguien que no tiene ni puta idea de matemáticas: ¿se sabe si el conjunto de los números primos es menor que el de los naturales?
A mí la intuición me dice que sí pero, claro, las matemáticas son a veces tan contraintuitivas...
#48 Se sabe que los primos son un conjunto infinito, hay una demostración en "Los Elementos" de Euclides.
Se sabe que no hay ningún infinito menor que el cardinal de los naturales.
Se sabe que el infinito de los primos no puede ser mayor que el de los naturales, por ser un subconjunto.
Así pues, hay exactamente la misma cantidad de primos que de naturales.
#48 Vale: esa me la plantearon una vez.
Consideras una maquina de Turing una función viable y correcta?
Partimos de un conjuntos de símbolos en la la cinta, y obtenemos otro conjunto de simbolos en la misma cinta.
No es difícil ver que los simbolos pueden representar un natural, y la salida ser la representación de un número primo.
Subamos un nivel, toda maquina deTuring tiene el mismo potencial que cualquier programa de ordenador escrito hasta la fecha: osea, si yo escribo un programa de ordenador, puedo crear una máquina de Turing equivalente.
La pregunta concreta es: ¿Es el cardinal de los primos MAYOR que el de los naturales? La pregunta la hago adrede, se que la correcta es la inversa.
Dado un primo: ¿Podríamos encontrar el siguiente?
Partiendo del primo P-i puedo ir recorriendo los naturales siguientes y aplicarles un algoritmo para saber si es primo o no. El primer primo que encuentre asi, puedo decir que es el primo siguiente al Pi, o sea, P -(i+1)... Pero podría no existir, el siguiente primo a uno dado.
a) Si la máquina no para en algún caso, significa que el conjunto de los números primos es finito, y simplifica el problema un poco.
b) Si para siempre, es que existe una equipotencia entre N y los primos.
El cardinal no puede ser mayor, puesto que los primos están contenidos en N. Las dos únicas soluciones posibles son:
a) Es finito
b) es equipotente con N.
Eso descarta que los primos sean infinitos y menores que N. ¿Alguien ha demostrado que los primos son infinitos?
#64 De hecho, pongamos los naturales, cualquier subconjunto de N, puede seguir esa norma:
¿Tienes una función de pertenencia a tu subconjunto calculable en un tiempo finito?
Le puedes aplicar el mismo truco.
Estoy seguro que todos los subconjuntos de N, que plantean dudas tienen una función de pertenencia en un tiempo finito. Por lo tanto se le puede aplicar lo de arriba.
Puedes decir que existen subconjuntos cuya función de pertenencia no se puede calcular en un tiempo finito. Pero entonces ni tú sabrías que forma tiene tu subconjunto. Con un conjunto así no podrías afirmar ni que su cardinal es 1. Resultaría imposible chequear la posibilidad de pertenencia al subconjunto de un elemento que le pertenece.
Todo subconjunto de N está "bien ordenado". Eso significa que siempre tiene un elemento menor a todos los demás. No lo digo yo, esto un truco de otra persona que he leído. Si quitas ese menor, el subconjunto resultante, tiene otro menor. Eso significa que la distancia entre dos de sus miembros es finita. La única forma de que eso no se cumpla, es que la distancia sea infinita, y la única posibilidad de eso, es que el subconjunto sea finito, y el anterior sea el mayor de sus elementos. En N ya no quedan más miembros que den un "SI" como resultado a la función de pertenencia.
#64 Euclides, hace milenios.
#73 Buah, pues si los primos son infinitos, solo queda la posibilidad de la equipotencia con N.
Lo único que podría estar entendiendo mal es la idea de que absolutamente todos los subconjuntos de N están bien ordenados. ¿Me estoy columpiando con eso?
#74 Todos los subconjuntos de N están bien ordenados y en ello se basan muchísimas demostraciones.
#75 Hay algo que no entiendo de los matematicos:
Una funcion, antes de serlo debe ser relacion.
Si ya hay ejemplos que demuestran que entre dos conjuntos infinitos se pueden definir relaciones, de equipotencia, de superioridad cardinal y de inferioridad cardinal...
Quien ha demostrado que si encuentras una relacion de un solo tipo entre dos conjuntos infinitos, el resto es imposible encontrarlas？
Rieman no lo entiendo, pero me suena a una demostración de que dado un x, los primos que hay entre cero y x son menores que los naturales en el mismo intervalo.
Pero eso solo es una opcion valida de las propiedades de los conjuntos infinitos.
Yo entiendo lo siguiente: yo he encontrado una relacion que demuestra x... si quieres llevarme la contraria debes enseñarme otra relacion y, y entonces aceptaremos que esos dos conjuntos infinitos forman un duo con relaciones contradictorias. Como N y los pares.
Pero que encuentres UNA no significa que sea imposible encontrar la otra. Es el mismo problema que Cantor, encuentra una relacion comparativa deficiente entre N e I, y ya decis que es imposible encontrar la contraria.
Si eso funcionase asi, sea g(n) ＝ n×2 + 4, la funcion compuesta:
f(g(n)) ＝( g(n) / 2) - 2
seria una prueba irrefutable de que los pares son mas que los naturales.
Acaso si te doy un primo no sabes decirme que orden ocupa？Dado un primo, resulta totalmente imposible decir si es el quinto, el vigesimo tercero o el 1248488646649 de la lista infinita ordenada de primos？
Dado un natural le puedo relacionar un unico primo, y dado un primo se puede averiguar cual es su lugar, su n, en la lista de infinitos primos. ？Que es costoso？Si, pero se puede hacer en un tiempo finito.
#80 No son funciones, en realidad nosotros hablamos de aplicaciones. Y sí, una aplicación se define como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que cumple una serie de condiciones.
Lo que demuestra Cantor no es que se pueda encontrar una aplicación inyecctiva, sino que cualquier biyección produciría una contradicción, por tanto no es una demostración constructiva sino por reducción al absurdo. La reducción al absurdo es de lógica proposicional y sin lógica de primer o segundo orden hacer demostraciones de teoría de conjuntos está completamente fuera del alcance. Demuestra que es imposible construir una, eso es inapelable.
#74 Es que el cardinal de los primos es el mismo que el de N. De hecho, el cardinal de N es el menor de los cardinales infinitos.
#90 Quedas oficialmente invitada a
problemas
Si te apetece, claro.
#91 Jajaja, lo descubrí hace poco y empecé a seguirlo la semana pasada aprox.
Creo que es el sub con más matemáticos de menéame, ya que el de matemáticas está un poco muerto.
#93 Bueno, pon problemas por allí si los encuentras.
#94 Claro, a ver si me animo, que conozco unos cuantos chulos.
#95 Me encantará verlos.
#97 Ya he publicado uno. Tengo muchos, voy a contenerme y ponerlos poco a poco
#99 Gracias, me alegra.
#93, ¿es que hay un sub de matemáticos?
P.d. Me dices que lo deje por imposible y vas tú y sigues
#90 Pero entonces pq estan con lavpregunta de si los primos son menos que los naturales？
#64 En primer lugar, la definición de conjunto infinito es la siguiente: un conjunto A es infinito si existe un subconjunto B estrictamente contenido en A que tiene el mismo cardinal que A.
Y sí, los primos son infinitos. Es de las primeras demostraciones que se estudian en la carrera de matemáticas. La prueba es por contraposición:
Se supone que el conjunto de los primos es finito y que consta de n elementos p1, p2, ... , pn, de tal forma que p1
#48, te complemento un poco lo que te dice
fantomax (del otro que te ha respondido pasa ). Lo que te ha dicho ella es todo cierto, pero te voy a demostrar que efectivamente son iguales en tamaño.
Coge todos los números primos y ordénalos, vamos, al primero que es el 2 lo llamas p1, al siguiente, el 3, lo llamas p2, y así sigues, es decir, la sucesión
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
la rellamas
p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9...
Pues bien, te voy a demostrar ahora que hay tantos primes como números naturales. Para ello basta encontrar una función que a cada número natural le asocie un número primo y que no haya 2 números naturales que estén asociados al mismo número primo.
Pues la función es muy sencilla, si coges el número natural n le asocias el primo pn y con estoy ya ves que son igual de grandes.
#48 Ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, es decir, hay tantos primos como naturales.
#45 Fíjate en una cosa.. si creo que hablas de lo que estas hablando: sobre cómo Cantor construía los ordinales:
0 +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1.... y nunca podremos llegar a w,un natural mayor a todos los demás... el conjunto de cada elemento "+1", su cardinal es el de los naturales...
Bien... imagina que yo tengo una función, que es más que obvia:
f(n + 1) = n, se podría expresar como composicion de funciones creo g(n) = n +1 y luego f (g(n)) = n - 1
El dominio de f() no incluye al cero. El conjunto imagen de f() es N.
Si el cero lo "emparejo" con el concepto w, ya tendría una relación 1 a 1 con todos "los conceptos" del primer ordinal infinito y sus menores.
¿Cómo superamos ese escollo, como "emparejar" conjuntos mayores que w? Como tu dices no es nada nuevo... si cambiamos w por N sub 0, que es un cardinal transfinito, podemos seguir (pq se supone que los ordinales no son un conjunto).
NxN tiene el cardinal (N sub 0) elevado al cuadrado. NxN tiene el cardinal de los racionales. Y Cantor ya planteó su relación biyectiva entre ambos. De hecho, como me sospechaba, ya existe una biyección entre N y cualquier producto cartesiano, o potencia de N.
La diferencia entre N elevado a i, y todos los posibles subconjuntos "finitos" de N, de i elementos , no existe. Tienen el mismo cardinal. Solamente hay algunas tuplas de N elevado a i, que no pueden ser subconjuntos, pq tienen naturales repetidos. Pero bueno, en el documento explico como crear una biyección entre N y todos sus subconjuntos finitos.
¿Como conseguir N sub cero elevado a N sub cero?
La CLJA, una de las más sencillas, explica como crear una partición de N, en infinitos subconjuntos infinitos cuya intersección es vacía:
Imaginate que tienes una bandeja con pasteles cuya cardinalidad es N sub cero.
Luego tienes el pasillo de un "hotel infinito", con infinitas habitaciones, y obviamente, puertas. En cada habitación hay un comensal infinitamente glotón. Debes repartir pasteles y no dejar insatisfecho nunca a ninguno, a cada uno le deben llegar infinitos pasteles, aunque tardes un poquito entre uno y otro.
El primer pastel lo das a la habitación 1, el segundo y el tercero a la 1 y a la 2, el 4, 5, 6 a las habitaciones 1, 2, y 3... A esto lo llamo yo el reparto triangular. ES OBVIO que permite crear una partición de N formada por infinitos subconjuntos con elementos infinitos, y no lo inventé yo, sino Cantor. Con una formula, no muy compleja de entender, si me dices la habitación, te puedo dar la lista completa de los pasteles que han acabado en ella. Y al revés, si me dices el pastel, te puedo decir en que habitación acabó.
Pero claro, las puertas, pueden dar a pasillos, no a habitaciones... Y en cada pasillo haber un repartidor como tú. Con un subconjunto infinito de N, pastelitos, que es equipotente con N (y esto es algo que está demostrado), los repartidores de los pasillos podrán repetir la operación con sus infinitas habitaciones y sus infinitos comensales.
Tienes N sub cer0 por N sub cero... N sub cero al cuadrado... dejas un pastel al principio de tu pasillo, ya puedes asociar un pastel al concepto N sub cero al cuadrado...
NO HE DICHO NADA RARO hasta el momento. Todo está basado en trabajos de otros, sólo que no se citarlos. Lo único que aporto yo, es un algoritmo, o fórmula recursiva, que dado un pastelito, te dice en que habitación acabó de todos esos pasillos. y viceversa, dado una habitación, te puedo decir la lista de pastelitos que acabaron allí. Y no es muy complicada...
Ahora: tu habitación podría ser un pasillo donde desemboca una puerta de un repartidor de pastelitos anterior... El hizo su partición de N, y te dió a ti uno de sus subconjuntos infinitos de N. Más bien, te los va dando, uno detrás de otro.
Tenemos tu N sub cero al cuadrado multiplicado por N sub cero... N sub cero al cubo. Si ese repartidor, el nuevo, no es el "primario", del que surgen todos los pastelitos, podemos repetir el truco, hay un anterior repartidor... bla bla bla.. N sub a la cuarta...
Siempre DEBE haber un repartidor original.. una bandeja de pastelitos originales de donde salgan todos.
Y se que no es una demostración formal, pero sabes que no he usado ninguna propiedad rara.
Puedes hacer un primer pasillo, cuyas puertas desembocan en conjuntos de pasillos con la siguiente propiedad:
La primera puerta va a unos pasillos que acaban en la potencia uno.
La segunda puerta va a un conjunto de pasillos que llegan hasta la potencia dos.
...
Nunca podrás llegar a la potencia N sub cero, pero si a TODAS sus anteriores.
Como N sub cero elevado a N sub cero, es UN concepto... le "apartas" un pastelito al principio del todo y yastá.
Con pastelitos del cardinal de N sub cero, conseguimos emparejarlos con habitaciones y "bandejas" cuya unión es un cardinal del orden de N sub uno.
Hay una forma más elegante de hacerlo...porque aquí... "aparentemente" tenemos mas pastelitos que elementos de N sub uno. Para el caso N sub cero a la quinta, repetimos todos los exponentes anteriores. Pero bueno, eso significa que N sub uno, "no tiene un cardinal mayor" que N sub cero.
La propiedad recursiva de N, le permite dividirse en particiones de subconjuntos infinitos. Estos son equipotentes con N cada uno, asi que se puede hacer de forma recursiva. Más el truco de apartar el concepto inalcanzable al principio. Nos permite crear una regla general para hacer N equipotente con N sub i. (fíjate, si N es equipotente con N sub 1, podemos conservar la estructura, pero ahora decir que el tope es N sub1 , y no N sub cero, al enumerar las habitaciones de un pasillo...( con +1 +1 +1 +1 llegas a un conjunto equipotente con N sub 1) y ya tendrías N sub 1 al cuadrado,al cubo, etc.. etc..)
Según Cantor no puedo hacer esto. Según yo, la diagonalización solo es una forma "poco eficiente" de "emparejar" a los irracionales en [0,1] con los naturales. Ya solo con pensar que el argumento más "simple", el qeu comentan en todos los videos, se desmonta si emparejamos los Irracionales, tal y como dice Cantor, con NxN, que es equipotente con N.
Simplemente sigues las instrucciones de Cantor, pero en vez de con N, los emparejas con (1, n)... y cuando construyas el Irracional supuestamente "no emparejable", lo puedo emparejar con (2,1). Hay diversas formas de crear la diagonalización, y cada una, define un conjunto infinito de posibilidades.. podríamos empezar por el irracional 1 y el decimal 2, el irracional y el decimal en la posicion tres... como hay k desplazamientos... hay infinitas formas de diagonalizar. cojonudo: (1, n1, n2)... Si se te ocurren más formas de diagonalizar, yo puedo subir el exponente de N. De esto deduje que la demostración debe ser más compleja que lo que la gente comenta.
#50 Para hacer cosas de ordinales no se usan las mismas técnicas que para hacer cosas de cardinales. Y la inducción transfinita es algo bastante más complejo que lo que cuentas.
#51 Eso es lo que me temía. Pero una cosa si es cierta, N sub cero elevado a N sub cero es N sub uno no? Según la aritmetica de transfinitos Un transfinito con subincice "a" elevado a otro con subindice "b":
Si b >= a , el transfinito resultante es N sub (b +1), como en este caso son iguales... (a +1)
Yo entiendo que el paso de uno a otro sea N sub (i + 1) = 2 elevado a (N sub i) , haciendo algo como que la "forma de llegar" de un cardinal a otro es "Partes de": El conjunto potencia de un conjunto con el cardinal N sub i, tiene el cardinal N sub (i +1). Es algo muy complicado que tiene que ver con conceptos que no domino ni entiendo. (El conjunto de operaciones sobre otro conjunto... y cosas que no entiendo, potaje mental en su máxima expresión)
Pero: si el cardinal de P(N) no es mayor que el de N... ¿Eso no se iría un poco al carajo?
Coge un folio:
dibuja un nodo raiz.
Ese nodo va a tener hijos con las etiquetas 1,2,3,4,5.... infinitos hijos
Cada nodo hijo también tiene infinitos hijos. Pero sus hijos empiezan por la etiqueta siguiente a la etiqueta de su padre:
Si tengo un nodo en el nivel 19, etiquetado como "1023"... sus hijos comenzarán asi: 1024, 1025, 1026...
1.-¿Existe un subconjunto de N con elementos infinitos que no se pueda representar como un camino infinito de ese grafo? Todos los subconjuntos de N están "bien ordenados".
2.- ¿Es posible que el mismo subconjunto infinito, tenga dos caminos posibles en ese GAR? No, en cuanto te desvías en un nodo, ya es un subconjunto diferente.
Si es un GAR, sus aristas, sus caminos FINITOS, no tienen un cardinal inferior al de los caminos infinitos. Y tu mismo has dicho, que está harto demostrado que la unión de todos los subconjuntos finitos de N es equipotente con N.
No es un conjunto de coordenadas como tal, pq no defino un espacio vectorial, solo es semantica informal. Pero dado un conjunto de etiquetas ( L, E-1, E-2, E-3, E-4, ... E-i, .. E-MD)
siendo E-(i-1) < E-(i) , ambos pertenecientes a N. MD es un natural cualquiera, i
#41 La otra pregunta seria: ？Existe algun irracional en [0,1] que no se pueda expresar como una expresion de tamaño infinito escrita con los simbolos 0..9？
Si me dices que si, mandas a la mierda mi teoria. Pero a mi me da que no lo piensas.
Yo soy tremendamente intuitivo y conceptual, el lenguage formal matematico para mi es una barrera personal. Pero eso no me impide desarrollar algoritmos que funcionen.
Por eso necesito “explicar” el concepto que tengo en la cabeza. Las matematucas abandonaron ese sistema pq es muy poco practico, pero no significa que todo lo que se haga asi es falso, solo dificil de comunicar.
#30 Por que primero definen claramente que quiere decir menor. Por ejemplo una definición considera que un conjunto es menor que otro si los elementos de uno son numerables y del otro no. Numerable quiere decir que puedes coger cualquier elemento del conjunto y averiguar que posición ocupa en el total. Por ejemplo los números naturales, los enteros y los racionales son numerables. En cambio hay conjuntos que es imposible hacer eso, por ejemplo el conjunto de los números reales.
#16, cuando hablo de distintos me refiero a distinto cardinal. Economía del lenguaje. Los matemáticos solemos hacerlo, iguales salvo isomorfosmos, iguales salvo biyección, iguales salvo isometría, etc.
#20 Vete al comentario #11, y observa como se crea una biyección entre N y
U
Es un documento de 50 pags. Vete al índice... pero no lo vas a entender si no te lees lo primero.
#20 #20 Si te aburres y has entendido como funciona el reparto triangular de un CLJA, te recomiendo el penultimo capitulo, donde defino una biyección entre N y el conjunto de los cardinales... de TODOS.
#18, tanto
fantomax como yo somos matemáticos, yo soy doctor desde 2007, y en mis investigaciones me he inflado a trabajar con conjuntos infinitos de distinto tamaño. Así que algo sabremos del tema.
No, no hay solo 2 infinitos, hay muchos, y esto se sabe desde antes de que tú nacieras.
Un conjunto y sus partes siempre tienen cardinal distinto.
Por último yo sí me he mirado el trabajo de esta gente (por encima) y he explicado lo que el meneo tendría que haber dicho que hacen, que solo crea confusión.
Si hubiesen demostrado que todos los infinitos son iguales se tambalearían las matemáticas de forma mala porque lo que realmente hubiesen demostrado con ello es que el sistema axiomático es incompatible y en particular se podría tirar a la papelera prácticamente todos los artículos de matemáticas del siglo pasado y este.
Así que créeme que no han demostrado lo que te piensas. Como me muevo en ese mundo me habría enterado.
#22 Pues échale un ojo al mio. Sé que sabes del tema, yo llevo obsesionado con el mas de 20, sabiendo que se podia hacer, hasta que en ABril di con la clave.
No te esperes grandes formalismos, pero aún asi me explico. Tengo hasta las funciones hash que van de P(N) a N y viceversa. Realemnte de la union de los dos conjuntos que te dije antes. Que "aparentemente" es mayor que P(N). Su cardinal. Perdona mi tono, pero estoy un poco alterado.
#25, ¿abril? El trabajo de esta gente fue publicado el año pasado...
#26 Mierda... yo lei que Julio, pero no el año.. mierdaaa...
#22 No te esfuerces con Fistro_Man. Justo en abril (lo que menciona en #25, supongo), estuve discutiendo con él del tema, intentando explicarle la cardinalidad, y él sigue convencido de que ha demostrado que el cardinal del continuo y el de los naturales es el mismo.
Tienes la discusión completa en este hilo jubilado-resuelve-uno-problemas-matematicos-mas-complejos-mundo/
Un jubilado resuelve uno de los problemas matemáti...
es.gizmodo.com#79 Ahi me faltaba la propiedad del GAR. Dias despues de hablar contigo, y descubrir que P(N) tiene el mismo cardinal que R, descubri que en un GAR, las aristas tienen el mismo cardinal que los caminos infinitos.
Eso se puede demostrar muy facil con un limite que tiende a infinito, de la resta del calculo de la cantidad de ambos que forma parte de la teoria de grafos.
Unos dias despues lo registre. La version registrada en Abril es posterior a nuestra discusion, y te menciono en el ensayo. Agradeciendo tu paciencia conmigo.
#81 A ver, ol que dices no es posible, pues ya se demostró hace más de un siglo que esos cardinales son distintos. Si tu demostración fuera correcta, habrías probado que toda la teoría de conjuntos es inconsistente.
#83 Tu solo calcula lo que te digo del grafo... la forma de hacer equipotentes las aristas con N, es otra cosa... pero la explico en el ensayo.
#84 No puedes demostrar nada de trasfinitos con grafos, no se hace así.
#79 Solo responde a esta sencilla pregunta, en un grafo cuyos hijos tienen todos los mismos hijos y niveles infinitos ？Hay mas aristas o caminos infinitos de la raiz a las hojas inalcanzables？
Simplemente escribe las formulas de cada una y restalas.
caminos ＝ hijos elevado al nivel
aristas ＝ sumatorio de h elevado a i
suendo h el numero de hijos por nodo e i el nivel del grafo.
la diferencia no hace mas que crecer, no entiendo como eso se puede invertir al tender a infinito. De hecho, el limite de la diferencia da infinito.
O dicen que demostraron ¿Quién se lo va a discutir?
Llegó a portada. Este es el Menéame que le gusta a la gente. El Nerd, no el House Organ de Podemos
#56, de hecho no dicen que demostraron. Y por cierto, en Menéame hay matemáticos (doctores, investigando y tal) que han comentado lo que realmente pasa en el artículo
#15 Sin demostración formal que un matemático pueda entender, a ningún lado. Los argumentos informales no valen
Ya lo decía mi profesor de matemáticas, infinito más infinito da un infinito más gordo.
#55, no, infinito más infinito da un infinito igual de gordo. 2 elevado a infinito sí da un infinito más gordo
#27, oye, que no me he mirado tus 50 páginas pero creo que me imagino lo que has hecho y dónde está el fallo.
Partes de un grafo, cada nodo con 10 hijos e intentas identificar a los números reales con ese grafo, y como el grafo tiene una cantidad de nodos numerables y aristas numerables deduces que así es R, ¿me equivoco?
Pues bien, el problema es que cada número real no iría representado por un nodo, cada número real (bueno, o el intervalo [0,1], pero da igual, claro) iría representado por un camino, en el caso de tener infinitos números sería un camino de longitud infinita. Y ahí está el problema, si bien es cierto que la cantidad de caminos finitos es numerable resulta que la cantidad de caminos de longitud infinita no es numerable.
#15, al manicomio
#24 Te prometo que voy al manicomnio después de que te leas mi escrito, sobre le que puesto un link en el comentario #11.
Dime si estoy loco joder: Lo mismo que publique en twitter en abril:
"Dado un grafo en árbol con niveles infinitos, donde todos sus nodos tienen 10 hijos, ¿hay mas aristas o caminos desde la raiz a las hojas?"
ahora piensa en un grafo cuyos nodos tengan cada uno 10 hijos... no? Te digo y te repito qu etengo la función hash de N con las aristas. En realidad mejor, Aristas Unión subconjuntos finitos de N.
#27 De hecho tengo la biyeccion entre N y el conjunto de los cardinales... me lo puse como reto, pero no se si aporta algo. Cuando digo los cardinales me refiero a TODOS. Todos los posibles indices sub i de N. Siendo N sub cero el cardinal de los naturales.
¿Entonces lo del aleph, los transfinitos, y toda la mandanga, no fueron más que una cantada del Cantor ése?
#1, eso sigue siendo verdad. Me he leído la mitad del artículo y ya veo que #0 debería cambiar entradilla y titular porque da lugar a confusión.
Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales. Concretamente el infinito p y t de los que hablan son estos (copiado del artículo, no traduzco, que total, las definiciones no salen completas)
Briefly, p is the minimum size of a collection of infinite sets of the natural numbers that have a “strong finite intersection property” and no “pseudointersection,” which means the subsets overlap each other in a particular way; t is called the “tower number” and is the minimum size of a collection of subsets of the natural numbers that is ordered in a way called “reverse almost inclusion” and has no pseudointersection.
Si demuestran que todos los infinitos son iguales, cuando hay cientos de formas de demostrar que hay infinitos distintos con pruebas sencillas significaría que las matemáticas básicamente están todas mal
#2 y las reclamaciones se las tendríamos que hacer a un tal Kurt Gödel...
Bueno, comento un poco el artículo.
Antes de nada el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números reales. Y se ha demostrado que es imposible determinar si hay conjuntos de tamaño intermedio. El que no lo haya se llama la hipótesis del continuo, y se ha demostrado que tanto la afirmación de dicha hipótesis como la negación son axiomas compatibles con la teoría de conjuntos (no ambos a la vez, claro), vamos, que se pueden construir modelos de la teoría de conjuntos que cumplan dicha hipótesis y modelos que no. Esto se puede hacer con una técnica llamada forcing.
Bien, el artículo habla de dos conjuntos más, P y T. El conjunto de los naturales es más pequeño que estos, P se sabía que era menor o igual que T y T menor o igual que el de los números reales.
Si P fuese menor que T se encontraría un conjunto de tamaño intermedio entre los naturales y reales, lo que demostraría que la hipótesis del continuo es falsa, y como esto no se puede hacer por lo que ya he comentado, pues es imposible demostrar que son distintos. De hecho lo que estaba claro es que en algunos modelos iban a ser iguales, por ejemplo cuando se cumple la hipótesis del continuo, en tal caso tienen que ser iguales. Por tanto o una de dos, o siempre son iguales o la relación entre sus tamaños era independiente a la axiomática de la teoría de conjuntos.
Vamos, resumiendo, que se ha demostrado que la relación entre sus tamaños es que son iguales, no era independiente de la axiomática establecida.
Pd. Voto errónea ya que no han arreglado titular y entradilla.
CC #0, #1, #4, #5.
#2 Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales.
No los infinitos, sino su tamaño. Y sí, para todos: La única restricción que ponían es que p fuese más pequeño que t. Si t es más pequeño que p se renombran, t pasa a ser p y p pasa a ser t. El único caso que quedaría es si ambos son conocidamente iguales, que para qué demostrarlo si lo ponemos de condición inicial.
#2 Desde mi ignorancia matematica. Como se puede medir algo infinito y llegar a la conclusion que dos infinitos son iguales.
No me entra en la cabeza.
#2 Demostrar que existen conjuntos infinitos más grandes que otros es muy sencillo. Vasta coger un conjunto infinito cualquiera y el conjunto de sus particiones. Los dos conjuntos tienen un cardinal infinito, y el cardinal del segundo es mayor que el del primero.
#52, sí, eso digo y demuestro en #3
#53 Eso me pasa por no leer todos los comentarios. Aunque cuidado con tu ultima frase que es confusa y como se lo cuentes así a un estudiante de matemáticas le puedes hacer un cacao más grande del que ya tiene.
#52 vasto
#2
#1, y si no supongamos que todos los conjuntos infinitos son iguales.
Sea A un conjunto infinito y sea B el conjunto formado por los subconjuntos de A
Supongamos que F:A->B es una biyección.
Sea C el subjunto de A definido como los elementos a de A que cumplen que a no pertenece a F(a). Sea ahora c el elemento de A tal que F(c)=C. Llegamos a una contradicción, porque si c pertenece a C, por definición de C no puede estar en F(c)=C. Y si c no está en C por definición c está en F(c)=C.
Acabo de demostrarte que un conjunto y el conjunto formado por sus subconjuntos son siempre distintos.
#3 "Distintos" si, pero el cardinal de un conjunto no tiene nada que ver con las propiedades de sus elementos, solo con sus "cantidades".
Negativo porque lo dice este y parece que sabe @2884769
Aquí se ve el sesgo importante que tiene el público de Menéame. Luego subes sobre otros temas y no los menea ni el elefante :o .
#85 un elefante.... se la meneaaaabaa... 🐘
#96 https://orig00.deviantart.net/9f53/f/2013/081/c/1/sexyelephant_by_neko_spiate-d5yw0iv.png
#98 https://media.giphy.com/media/IawikdHGoaYk8/giphy.gif
#77 En teoría un metro es infinito
No sé, yo estoy como tú.
#86 #77 Divide un metro en infinitas partes, si suma esas infinitas partes medirán un metro.
A ver gente, estos cabrones me han dado un susto: el trabajo de toda mi vida casi me lo pisan. Aquí teneis "argumentos" para poder "ver" que todos los infinitos son iguales.
Comienzo demostrando que R € [0,1] no tiene un cardinal superior a los naturales, luego hago lo mismo demostrando que P(N) no tiene un cardinal mayor que N... para encontrar una regla general... que aquí si tengo que manifestar ciertas dudas, que demuestra como hacer equipotente a N con cualquier conjunto equipotente con los cardinales:
N1 : el cardinal de los naturales
N2: el cardinal de los reales
N3: el cardinal de vete a saber que.. quizás los hiperreales
Ni: en general.
Soy programador, no matemático, lo que explico aquí es una estructura de datos que empareja ambos conjuntos. A veces logro una biyección perfecta, y otras "me tengo que pasar de rosca", o sea, en la relación tengo varios naturales por cada real posible. O creo una biyección entre un conjunto que es equipotente con los Irracionales, aunque "aparentemente" tengan más elementos, los naturales.
Lo acabo de registrar hoy en el registro de propiedad intelectual, pero la primera versión existe desde Abril de este año, cuando puse comentarios por twitter a lo loco a varios matemáticos al azar, buscando a alguien que chequease mis conclusiones. Esta fechada por notario así que me gustaría saber la fecha de publicación de esta gente. De hecho se lo propuse hace dos semanas a alguien y hoy me ha respondido que no estaba interesado... cuando lea la noticia de esta gente igual se lleva las manos a la cabeza.
Son 50 pags, de "yo mismo" siendo pedante y poco formal, pero es una explicación que cualquiera podría entender. Aquín os dejo un link donde descargar el pdf:
https://drive.google.com/file/d/0B2VUHhY6hzCzbjZ5Tkhra1FPU1U/view?usp=sharing
#13 El link a mi trabajo lo tienes en el comentario #11
#11 ¿Alguien sabe donde tengo que ir para reclamar que yo lo tengo ante notario antes de la fecha de publicación de esta gente?
Hace muchísimos años que lo estudié, pero si no recuerdo mal solo había 2 cardinales (tamaños) de infinitos: numerable y no numerable. El primero estríctamente más pequeño que el segundo. No se si se habrá avanzado en el tema.
#8 No, hay infinitos posibles cardinales infinitos. Cada vez que tomo el conjunto de las partes de un conjunto S me sale algo de cardinal estrictamente mayor que #S. Lo que pasa es que de los conjuntos usuales tenemos los numerables y los no numerables con cardinal igual al de los reales (cardinal del continuo). Podríamos seguir inventando infinitos más grandes pero no es usual porque no es útil. Lo que se acabó por ver que era indecidible es si hay un cardinal intermedio entre el de los naturales (numerable) y el de los reales (continuo) y decir que no es un axioma más que se toma en algunas ocasiones para determinadas situaciones
#10 El cardinal de Partes de A, no es mayor que el de A. Si N tiene el cardinal infinito más simple que existe, que si no me equivoco es el cardinal "N sub 0". Te puedo demostrar que P(N) no tiene un cardinal mayor que N.
Si, lo sé, Cantor demostró que no, estoy harto de escuchar eso... te digo que tengo una relación, con funciones hash, entre P(N) y N, y la puedo convertir tranquilamente en:
F(P(N)) -> (n1, n2, ..., ni, ..., nL)
O sea, tu me das un subconjunto de N, finito y yo te doy una serie de naturales, cuyas intersección es vacia con las otras series de naturales para los demás subconjuntos finitos... PERO no solo eso, puedo hacerlo con la unión de subconjuntos finitos de N y un conjunto que "aparentemente" tiene un cardinal superior al de todos los posibles subconjuntos infinitos de N.
Estaba a punto de publicar lo mio aqui, en forma de problema, cuando he leido esta noticia y lo he flipado.
El problema que iba a publicar es el siguiente:
Dado un grafo en árbol, si cada uno de sus nodos tiene 10 hijos, y sus niveles son infinitos. ¿Hay más aristas o caminos desde la raiz a los nodos hoja que nunca alcanzamos? La solución la sé, tengo una biyección perfecta entre los naturales y las aristas de ese grafo.
#13 Esto es lo que publique en Abril en twitter, añadiendo que que ese grafo eran los irracionales y que tenia la biyeccion con las aristas.
#10 Si no me crees joder, tienes el trabajo de estos tios, hay gente que les ha escuchado, asi que yo no digo ninguna locura. ¿Recuerdas cunado te comente que llevaba toda una semana con un "pedazo de problema"? Era rematando mi escrito para registrarlo. Pero la primera versión ya estaban los argumentos sobre P(N) |= N| y eso fue en Abril. esta gente ha publicado en Julio.
y digo yo....
1.- In-Finito = Sin - Fin
2.- Sin fin = Sin límites
3.- Sin límites = sin puntos de referencia
4.- Sin puntos de referencia = relativo/imposible medir tamaño
El tamaño, debería ser algo intrínseco al hecho de estar delimitado, no? No estar delimitado imposibilitaría tanto la medición como la comparación.
#47 Pues no. Algunos conjuntos infinitos se pueden medir. Esto es conocido como la paradoja de Zenón, más conocida por la paradoja de Aquiles y la tortuga.
#58 pero si SIEMPRE medirán lo mismo..(que es lo que dice el artículo) es decir, tienen el mismo tamaño, el cual es infinito.... y por tanto sin fin, no es absurdo de base el tratar de medirlos?? digo yo.. vamos... Así que no sé que medida habrán echado Zenón & company pero parece que no con el mismo metro!! (investigaré!!!)
Entonces infinito/infinito = 1
#12 No. Porque tu conoces esa fórmula en el contexto de los límites, y ahi hay que mirar que funciones forman parte de él. La farse correcta es:
El cardinal de cualquier conjunto infinito / el cardinal de otro conjunto infinito = 1