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La taza cuyo mapa coloreado requiere 7 colores distintos

La taza cuyo mapa coloreado requiere 7 colores distintos  

La Taza de 7 colores es un ejemplo del Teorema de los 4 colores aplicado a la superficie de un objeto tridimensional. El enunciado original de este teorema matemático dice así: "Cualquier mapa geográfico se puede colorear con cuatro colores diferentes de forma que no haya regiones adyacentes con el mismo color." Pero una taza tiene un «agujero» así que es topológicamente equivalente a un toro (o toroide) y resulta que ese tipo de mapas requieren un máximo de 7 colores.

| etiquetas: teorema , colores , toro , maths gear , taza , mapa
80 60 6 K 341 ocio
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Más fotos de esta curiosa taza en la web del diseñador mathsgear.co.uk/collections/shapes/products/7-colour-torus-mug
#2 en el enlace de #1 se ve suficiente superficie para fabricarte una tu mismo. Una taza blanca y rotuladores de colores indelebles.
Gracias #0, ahora quiero necesito una taza que cuesta 24 libras :take: :take: :take: :take: :take: :take:
#2 yo también necesito una para reforzar mi imagen de friki sin remedio, pero por ese precio casi que me compro una en algún chino y la pinto yo xD
#2 #4 Y que parece que la haya pintado un niño. Y no uno de esos niños que se limpian solos los mocos.
Es cierto que 2D cualquier división puede pintarse con cuatro colores, peeeeeeeero no es cierto que cualquier "mapa" pueda serlo.

Los paises no tienen necesariamente que ser conexos, hay países que tienen regiones separadas, enclaves, exclaves... Desde que leí acerca de ello, en mi frikismo matemático-geográfico, siempre me he preguntado si existe o ha existido un mapa político de países o regiones que no se pueda pintar con cuatro colores.
#5 Hmm, si, supongo que de hecho el asa se podra deformar a una especie de enclave.
#5 Cualquier mapa 2D, entendiendo mapa como un conjunto de regiones del espacio cerradas en un plano 2D, es coloreable con 4 colores, sin que 2 regiones adyacentes tengan el mismo color. Hace años hice un trabajo sobre esto, e investigué sobre el teorema del mapa en 4 colores y sus demostraciones a lo largo de la historia.
#30 Pero no cualquier mapa politico es coloreable con cuatro colores. Porque los países no son regiones conexas.
#31 Si eres tan amable, pon un ejemplo de mapa político que no lo sea. Cualquier mapa político en el que se considere sólo la tierra y los paises no es completamente conexo (pues están mares y océanos), pero eso es un subconjunto de un mapa plano 2D completamente conexo, por lo que el teorema aplica igual.
#32 Píntame con 4 colores este hipotético mapa político, con la condición de que todas las regiones de España tengan el mismo color, porque son el mismo país.  media
#33 Ahí has cambiado las restricciones del problema. Las restricciones dicen distintas regiones, no distintos países. Evidentemente, si cambias las restricciones, cambia el problema y por tanto la solución. Pero eso no invalida los razonamientos anteriores. En todo momento he hablado de regiones de distinto color, no de países con todas sus regiones del mismo color.

Distinto problema, distinta solución, evidentemente. Pero insisto, eso no extiende al caso en que hablábamos y que deriva de la noticia.
#34 Ya lo sé, se que con las restricciones habituales de la topología siempre se cumple, por eso mi comentario es:

Se que es cierto para regiones conexas... pero me pregunto si existe o ha existido un mapa político de países o regiones que no se pueda pintar con cuatro colores

Porque el ejemplo del enunciado clásico habla de "mapas politicos", y no es verdad que se cumpla siempre con los "mapas políticos".
#35 Pues lo dicho. Mientras no impongas que varias regiones deban ser de un mismo color (las pertenecientes a un mismo país, por ejemplo), todos son pintables con 4. Con restricciones, unos sí, otros no.

Creo que estamos de acuerdo.
#36 Estamos de acuerdo, pero mi curiosidad friki-geografica se queda con la duda de si hay algún mapa político que no se pueda pintar con cuatro colores. Es una chorrada geográfica del tipo de las que publican en Fronteras Blog:

fronterasblog.com/
#37 Necesitas encontrar al menos un país con región A, y una región inconexa B que linde con otro país que no linda con la región A. Es como decir que la región inconexa B pega un salto de al menos dos fronteras. Esto existe?
Requiere un máximo de 7 colores o un mínimo de 7 colores...
#6 mínimo 7 colores, es una pequeña errata en el texto, ya no puedo editar
#8 No importa, thanks!
#8, uhm, quizá sea que necesite exactamente 7 colores ya que posiblemente aparezcan solo 7 países haciendo todos frontera con todos.
#8 Es máximo siete colores, no mínimo. Si solo tienes dos países, te bastan dos colores.
#23 cierto, cierto, me han liado, el texto del artículo es correcto
#24 No. Es un minimo de 7 colores. Puedes colorear un mapa plano de 100 paises con 100 colores diferentes. Pero como minimo necesitas 4. En una taza necesitas como minimo 7 colores para poder colorear cualquier mapa
#6 En realidad es el máximo del mínimo de colores para cualquier mapa.
Desde que hice el curso de topología, confundo a menudo una taza con una rosquilla. Y claro, al intentar mojar una en la otra, se me cae todo el café con leche.
#10 A mi me pasaba lo mismo, te aconsejo hacer como yo y apuntarte a un curso de "tecnica de desayunos y alimentación matutina", te lo explican todo de puta madre y además el curso avanzado viene con prácticas
#13 ¿Pero hay que hacer trabajo de fin de máster?
#14 sí, pero aunque es presencial, puedes ir o no ir, con lo cual si tienes trabajo u otras responsabilidades lo negocias con la universidad y errrr, llegas a un acuerdo y te ponen pues... un notable
#14 Sí, pero el título que te dan es topológicamente equivalente a una etiqueta de Anís del Mono.  media
#10 Eso te pasa por mojar. Los que no mojamos :foreveralone: no tenemos esos problemas
La "historia" tiene varios gazapos. Las superficies esféricas se comportan igual que un plano si les quitas un punto, que no es lo mismo.
math.stackexchange.com/questions/814495/sphere-homeomorphic-to-plane

También gazapean al decir que "ese tipo de mapas requieren un máximo de 7 colores". 7 colores es el mínimo para pintar cualquier subdivisión de una superficie toroidal. Eso no quiere decir que cualquier mapa dibujado sobre esa superficie requiera 7 colores…   » ver todo el comentario
#12 Es Microciervos, se hacen eco de cosas que pasan pero sin contarlas completamente o adaptándolas. Como son tan listos no permiten los comentarios para arreglar o enriquecer el post
#12, ahí no ha dicho que sean iguales, lo que dice es que en este caso se comportan igual. ¿Cómo lo probamos? Sea X el número de colores para el plano e Y para la esfera.

-Si tenemos un mapa en la esfera, le quitamos un punto del interior de un país y lo convertimos en un plano. El del plano necesita X colores, lo pintamos así y lo devolvemos a la esfera con ese dibujo. Así tenemos cualquier mapa de la esfera pintado con X colores de donde deducimos que Y<=X.

-Si tenemos un mapa en un…   » ver todo el comentario
#18 Sí, es cierto lo que dices, pero el párrafo es muy confuso.

Pero un «mapa geográfico» es normalmente plano (2D). Curiosamente las esferas se comportan igual que los mapas planos en este sentido y también necesitan 4 colores como máximo – como en el caso de los países de la superficie de la tierra. Pero una taza tiene un «agujero» así que es topológicamente equivalente a un toro (o toroide) y resulta que ese tipo de mapas requieren un máximo de 7 colores.

Si nos limitamos a hablar…   » ver todo el comentario
#20, creo que está pintada entera, o mejor dicho, se puede considerar pintada entera, la parte interior de la taza formaría parte del país número 1. La base no sé si está pintada o no.

En cualquier caso, los teoremas estos de colores necesarios para mapas valen para mapas que ocupan toda la superficie y para mapas que no la ocupan toda. Así que da igual su el mapa lo cubre todo o no.

Pd. Por cierto:

Plano y esfera 4 colores
Toro (y por tanto taza) 7 colores.
Botella de Klein y cinta de Moebius 6 colores.
Como curiosidad, demostrar que un toro (es decir donut, que al final es topológicamente equivalente a la taza y se aplica a la taza) se puede colorear cualquier mapa con 7 colores es mucho más sencillo que demostrar que en el plano se puede con 4 (todo mapa en el plano de países convexos se puede colorear con 4 colores). De hecho con la misma demostración se puede ver el número de colores necesarios para la cinta de Möbius y para la botella de Klein. Esa misma demostración para el plano (y esfera, que uno se deduce del otro fácilmente) nos daba una cota de 6 colores que por lo que ya he dicho no es el mínimo.
Por cierto, aprovecho para recomendar el canal de youtube de uno de los fundadores de mathsgear, James Grime (os sonará de numberphile), Singingbanana;

www.youtube.com/watch?v=HMGZVKwYNfk
Buen referido a mapas el término correcto son coropletas.
#28. No es exactamente lo mismo, los coropléticos miden intensidades para una determinada variable, se supone que hacen una gradación de múltiples tonos entre dos colores para representar una escala de valores.
es.m.wikipedia.org/wiki/Mapa_coroplético.

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