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La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

Una breve y bonita historia de la Hipótesis del continuo
etiquetas: matemáticas, infinito, cantor, hipótesis, continuo
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23comentarios mnm karma: 609
#1   Cierta y falsa a la vez... interesante.

Esto no lo enseñan en la ESO.
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#10   #1 No es cierta y falsa a la vez, es independiente de la teoria de conjuntos que estudiaban.
Se podria estudiar una teoria de conjuntos en la que la hipotesis fuese cierta, y otra en la que la hipotesis fuese falsa (bastaria anadirlo como axioma, si no me equivoco, es decir, como punto de partida).

Disculpad por la falta de comas y de ~!
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#20   #10 o sea que sí, que es cierta y es falsa, dependiendo de la construcción matemática que se haga.

¿ verdad ?

Consecuencia del primer teorema de Gödel: si un sistema (aritmético, recursivo) es consistente, entonces es incompleto.

En un sistema aritmético tenemos card(N) y card(P(N)) y que exista un cardinal entre ambos es indecible, en el sentido de Gödel, ¿ no es eso ?
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#22   #20 Ehm, no sé la respuesta a tu última pregunta. Con respecto a la primera, es una forma diferente de decir lo comentado en #10, pero creo que esa forma es un poco desorientadora... de esa manera puede uno contárselo a los demás y que nadie entienda nada.
Las cosas no son ciertas y falsas a la vez. Si tus axiomas implican que una afirmación es cierta y falsa a la vez, entonces son contradictorios y no sirven. Si tus axiomas no permiten deducir la veracidad o falsedad de una afirmación,…   » ver todo el comentario
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#23   #22 Ok, muy clara tu explicación, gracias.

No andaba yo muy desencaminado. Me faltó incluir el punto de que es cierta en un sistema y falsa en otro, pudiendo existir ambos.
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#2   Recomiendo el cómic, donde además de hablar de este tema, explica el triste destino que Cantor y otros insignes matemáticos tuvieron: Acabar en el manicomio.  media
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#4   #2 Ups, olvidé el nombre del cómic: Logicomix.
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#6   #2 Imperdible para todo aquel que tenga un mínimo interés por las matemáticas o la lógica.
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#3   Si Cantor levantara la cabeza y viera lo que se hace ahora, entonces sí que se iba a volver loco.

Está demostrado que el infinito de los números naturales y el de los reales es distinto (la hipótesis del continuo lo que dice es que no hay ningún conjunto más grande que el primero y más pequeño que el segundo). Pues bien, está demostrado que dado un modelo de la teoría de conjuntos, cumpliendo todos los axiomas ZFC, con sus naturales y reales incluidos ahí (y por tanto conjuntos de distinto…   » ver todo el comentario
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 *   zurditorium zurditorium
#5   #3 ¿Podrías añadir un enlace a eso que has afirmado? O al menos nombrar algún teorema que le haga referencia. No es que dude, es simplemente curiosidad. Bueno, también dudo. Pero sobre todo es lo segundo :-D

Por cierto, sobre la paradoja del hotel infinito... :-) www.llaviana.com/yisusito/?p=149
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#7   #5 Más sobre la paradoja del hotel infinito eltamiz.com/2008/09/02/el-gran-hotel-de-hilbert/
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#8   #7 Me refería a lo que ha indicado #3 sobre que se puede crear un modelo que cumpla las axiomas y que incluya el modelo actual, pero de modo que card(|N) = card(|R)

Pero bueno, echaré un ojo al enlace, cómo no :-)
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#9   #5 pues bueno, te comento que lo que digo se hace con una técnica que se llama "forcing", que de hecho también sirve para demostrar que la hipótesis del continuo se puede afirmar o negar sin contradicciones. A groso modo digamos que la técnica consiste en tener un modelo, añadir una propiedad y generar con ese modelo y la propiedad algo nuevo.

Te paso un link sobre el forcing, lo he mirado por encima y parece que entre otras cosas habla de lo de la hipótesis del continuo y de lo que yo he dicho antes. Si no entiendes mucho, no te preocupes, sería lo normal :-D

www.encyclopediaofmath.org/index.php/Forcing_method

De hecho esta técnica fue creada precisamente por Cohen.
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 *   zurditorium zurditorium
#11   #5 he mirado mejor el enlace que he puesto en #9 y ahí no aparece claro lo que digo en #3. He googleado y he encontrado un link mejor:

en.wikipedia.org/wiki/List_of_forcing_notions#Levy_collapsing

Ahí se habla de varios tipos de forcings, el link te lleva a los del tipo collapsing. Concretamente lo que se consigue es esto: "These posets will collapse various cardinals, in other words force them to be equal in size to smaller cardinals."

Por cardinal se refiere "al…   » ver todo el comentario
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#16   #11 Gracias por las referencias, de nuevo. Echaré un ojo con calma, a ver qué saco en claro. :-)

Por otro lado, sobre esto:

Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

Supongo que con tamaño te sigues refiriendo al cardinal, ¿no? En ese caso, no entiendo este párrafo. N y R ya tienen distinto cardinal en el modelo usual. :-S
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#17   #16 sí, por tamaño me refiero a cardinal (para que la gente que no conozca el término lo entendiese).

A ver, llamo M1 al modelo pequeño y M2 al modelo grande. N son los naturales contenidos en M1. A partir de los naturales se construye los números reales dentro de M1 así que lo voy a llamar R1 (en vez de R a secas porque en M2 cambia). Los números naturales son los mismos en M2, sin embargo al construir los reales en…   » ver todo el comentario
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#19   #17 Ah vale vale, ahora lo he entendido. Pensaba que siempre teníamos el mismo R, ahora comprendo las explicaciones.

La verdad que no se me hace tan raro entonces. Al hacer un modelo M2 que contenga a M1, lo esperable es que M2 posea menos propiedades que M1. Y por tanto se pueden hacer cosas menos "intuitivas", como por ejemplo aplicar biyecciones entre conjuntos donde antes no podíamos. Supongo que los tiros irán por ahí, ¿no?
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#14   #3 Para mi que el problema es que insisten en ver solo la arista del cubo.
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#12   Leonard Cohen no es un cantor de ópera, sino un cantante.
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#13   ¿No tiene esto que ver con el axioma de Zorn?

Es que cuando le dije a un matemático que yo sí aceptaba la hipótesis del continuo me llamó "zornicador"...
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 *   azenbugranto
#15   La teoría de conjuntos era una teoría preciosa en su origen, con sus dos axiomas de los que se derivaban todas las ramas de la matemática.
Y entonces llegaron las paradojas y hubo que trocear los axiomas en 7 y quitar y añadir pedazos nuevos.
Al final quedó algo que da toda la matemática, pero es feo como el monstruo de Frankenstein.
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#18   Lo que no todos saben es que la teoría de los números transfinitos tuvo su origen en una visita que hizo Cantor a Bilbao, en la que oyó la siguiente conversación de dos alumnos que salían de un examen de Matemáticas:

-Patxi, ¿Qué resultado te salió en el tercer problema?
-Infinito.
-¿Sólo?
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#21   Ah la belleza de la indecibilidad  media
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menéame