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Así terminó el sueño de las matemáticas infalibles (y de paso, nació la computación moderna)

Así terminó el sueño de las matemáticas infalibles (y de paso, nació la computación moderna)

En 1874 el matemático conjuntista Georg Cantor despertó a la bestia y aparecieron ciertas paradojas que resultaban ser un gran problema. La hasta entonces inquebrantable ciencia de la matemática comenzó a tambalearse. Así, a principios del siglo XX estalló la llamada “crisis de los fundamentos”, que llevaría a una terrible conclusión: las matemáticas no eran infalibles. Dos jóvenes matemáticos, Kurt Gödel y Alan Turing, fueron los encargados de demostrar, entre otros, aquellas limitaciones.

| etiquetas: matemáticas , georg cantor , kurt gödel , alan turing , computación
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Creo que confunden infalibilidad con ommipotencia

Serían falibles si dieran un resultado erroneo.

Lo impresionante es que en muchos casos son capaces de demostrar infaliblemente que es imposible alcanzar el resultado.
#1 No, no creo que lo confundan.

sea cual sea el sistema definido, si está construido de forma que no quepan contradicciones, existirán en él enunciados de los que nunca se podrá demostrar ni su falsedad ni su veracidad.

Si un sistema tiene enunciados de los que no se sabe su veracidad o falsedad, pues no se la puede definir como infalible, porque su mismos pilares no se sabe hasta qué punto son sólidos.
#3, en todo caso no podrás decir si es infalible pero tampoco podrás decir que no lo son.

En cualquier caso no has entendido el texto que acabas de citar (aunque resulta que efectivamente es cierto que no se puede demostrar que los pilares son sólidos :-P ), ahí lo que dice es que existen otros enunciados que lo sé pueden demostrar o determinar que son falso, pero se refiere a enunciados nuevos, no los axiomas.

En particular con los los axiomas Z-F (es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel) no se puede determinar si existe un conjunto más grande (en términos de cardinalidad) que el de los números naturales y más pequeño que el de los reales.
#1 #4 se puede declarar una funcion matematica que falla, la declaro la llamo "f" , ya esta, existe, para Godel y esta gente es suficiente, por ejemplo 7 mas 5 igual 22, esa funcion es erronea ahora a sacar conclusiones, estos tios las sacan
#9 Te acabas de marcar una demostración de falibilidad de las matemáticas en dos líneas.
#9 7+5 = 22 no sería consiste con el resto del sistema matemático (si acaso dicho sistema sirve para algo)
#14 si no es consistente sirve para todo, para demostrar cualquier cosa y su contrario. Poco útil.
#9 :shit:

Venga que ya pasó.
#28, te equivocas. Es posible demostrar que algo es indemostrable. En el comentario #4 cito un resultado que está demostrado que es indemostrable.
#31 Demostrar la inexistencia de una demostración de algo es imposible porque es un caso particular de demostrar la inexistencia de algo.

No puedes demostrar la inexistencia de ninguna cosa, al menos de forma científica porque la ciencia se basa exclusivamente en hechos.

No se puede demostrar la inexistencia de absolutamente nada.
#33, ¿no se puede demostrar que en el conjunto {0,1,2,3,4,5} no existe ningún número mayor a 10?

Anda, piensa realmente en lo que acabas de decir.
#34 ¿Te das cuenta de que en tu definición ya está implícito lo que existe y lo que no?
Yo puedo decir que las cosas inexistentes no existen.
Lo que no puedo asegurar es cuales son las cosas que no existen.
#42, también te puedo demostrar que no existe ningún número mayor que 5 que al cuadrado sea menor que 4 :-P

Se ha demostrado que no existen números naturales a, b, c y n con n además mayor que 2 que cumplan que an+bn=cn.

Si demuestras que A implicaba B estás demostrando que no existen simultáneamente algo con la propiedad A y que carezca de la propiedad B.

Se ha demostrado que es imposible determinar si existe un conjunto cuyo tamaño esté entre el de los naturales y el de los reales.

Etc.
#44 Insisto para ciertas situaciones recurrimos a convenios matemáticos.
4 * 0 = 0 = 5 * 0 siplificando por cero llegamos a, 4 = 5. Entonces llegan los matemáticos y dicen. No se vale, eso es trampa porque 0/0 es indeterminado (Eso es un convenio )

Lo mismo ocurre con el cero factorial y otras muchas cosas parecidas. Operaciones que hacen excepciones para ciertos valores asumiendo entonces un resultado conveniente.
#55, no es convenio, es que las cosas son así y punto. Si por definición a/b=c cuando c es el único número que cumple que a=b*c resulta que si a=0 y b=0 entonces se cumple que a=b*c para todo c por lo que al fallar la unicidad no existe.

Y no, 0/0 n les una indeterminación sino que es algo no definido y sin sentido.
#57 La indeterminación se ha definido y se le ha dado un sentido. Se usa para indicar que una ecuación o una expresión tiene infinitas soluciones.

Concretamente 0/0 responde la pregunta de cual es el valor que multiplicado por cero da cero. Respuesta cualquier valor.
Decir que preguntar cual es el valor que multiplicado por cero da cero no tiene sentido, es lo mismo que decir esa pregunta no me gusta y sin embargo tiene una respuesta que es la que quizá no guste a todo el mundo porque se sale de lo habitual.
#58, si no te gusta la definición de cociente lo lamento, pero si me vas a venir a decir que la definición es mejor tal otra pues qué quieres que te diga, no me hice doctor en matemáticas para discutir tonterías.

0/0 no es una indeterminación, es una expresión carente de sentido ya que el cociente es una aplicación de un subconjunto RxR en R y como aplicación a cada par del dominio en el que está definida le corresponde un único valor en la imagen. Decir que a (0,0) le corresponde cualquier valor de la imagen atenta contra la definición de aplicación en sí
#60 Si hacerte doctor en matemáticas crees que va a servir para hacer valer tus opiniones sin aportar otra cosa que afirmaciones categóricas basadas en principios de autoridad, descubrirás que este es el tipo de verdades más frágiles que la ciencia maneja.

Os hacéis trampas continuamente. Sabedores de un problema insoluble adecuáis las definiciones de las operacione y luego afirmais que las cosas son así tal y como las habéis definido. Una maravilla vamos.

Las cosas que los matemáticos…   » ver todo el comentario
#60 A "acastro" hay que dejarlo que coma sólo. Vista la experiencia del hilo, ayudarle para que entendienda un razonamiento es perder el tiempo.

Lo del convenio que ahora dice ya es cachondeo. Esta persona debe ser la típica que cuando le enseñas una manzana te dice que la manzana no existe porque hay un convenio: unos les llaman "manzana", otros "apple", otros "poma", etc. No es capaz de distinguir entre los convenios lingüísticos y los hechos.
#33 Estas bastante confundido.

Aquí te dejo un ejemplo de enunciado que claramente no se puede demostrar; en otras palabras, es indemostrable. El enunciado es "acastro es cristiano y ateo"
#36 Te estoy hablando del concepto de inexistencia de algo. Es algo que no se puede demostrar.
Puede que tu enunciado tenga toda la lógica del mundo, otra acosa es demostrarlo con hechos.
En física hay enunciados con toda la lógica del mundo que ha fallado miserablemente en la realidad.
Cuidado con usar la palabra ser o no ser. Hay un matiz interesante diferente al de existir o no existir.
Un electrón es y no es una partícula.
#41 Frase textual tuya: "Te estoy hablando del concepto de inexistencia de algo. Es algo que no se puede demostrar. "

Repasa tu sentido común porqué sin él vas a tener muchos problemas en tu vida. Eres tú mismo, en esa frase que te he pegado, el que dices que hay cosas indemostrables.

Si no te aclaras ni contigo mismo no esperes que los demás tomemos en serio tus dudas.
#43 Estoy repasando tus comentarios y vas de listillo faltón y de sobradito con todo el mundo. Usa tú el sentido común y verás que muy posiblemente el problema lo tengas tú. Podría ser más claro y decirte lo que opino de ti, pero lo más práctico para mí es ignorarte y es lo que pienso hacer. Paseante vete a paseo.
#1 #3 No le deis más vueltas. El concepto de falibilidad no es el adecuado para este caso. Ya existe conceptos lógicos bien definidos para eso que se expresa en el titular: completitud, decidibilidad, consistencia... Concretamente, el titular debería ser: "Así terminó el sueño de las matemáticas completas".
Pse... En caso de duda, sabemos que la respuesta es 42.
la indecibilidad y esas cosas
Matemática filosófica
Así, en plan filosófico-random, diría que la Razón fracciona/acota la realidad, para poder "hablar de ella", mientras que la palabra/símbolo Infinito es una simbolización que apunta a algo más allá de la "fraccionalidad", a lo Supraracional.
La Totalidad Cósmica excede la suma de sus partes.
Cuando me demuestre un matemático porqué Tau es 6.28... y no por ejemplo 2.145654 entonces las matemáticas serán consideradas una ciencia exacta y no especulativa.
#8 es.wikipedia.org/wiki/Tau_(2π)

¿Exactamente qué quieres que te demuestre? Tau es la longitud de una circunferencia de radio 1 y eso es fácilmente comprobable.
#20 demostración hecha. Ahora dime porqué es siempre esa relación exactamente y no otra.
#22, porque las traslaciones y giros son aplicaciones que conservan la longitud y las homotecias varían la longitud de forma proporcional según la razón de dicha homotecia. Y como con traslaciones, giros y homotecias puedes convertir cualquier par "circunferencia y uno de sus radios" en cualquier otro par "circunferencia y uno de sus radios", al pasar de un par a otro las longitudes han variado multiplicando por una constante "r" en cada uno de los elementos del…   » ver todo el comentario
Para ser más precisos en #30, donde digo unir por rectas tendría que haber dicho unir por segmentos, pero creo que se entendía igualmente lo que quería decir. Y cuando digo "tomar su límite" me refiero a conforme se va aumentando puntos (y para ser precisos es un límite de una red). Ah, y donde pone "conversa" es una errata y quería poner "conserva", aunque ahí tendría que haber puesto "conserva o aumenta la longitud de forma proporcional".
#22 Por definición: Pi es la relación entre el radio y el perímetro de una circunferencia, con lo que da igual el tamaño de la misma, la relación es constante y adimensional.

Por cierto, has escrito dos veces porqué en lugar de por qué
#22 Muy bien. ahora ,ya desde el teclado, dime por qué esa relación es 6.28318 y no por ejm, 2,718281828
#39, no sé si me querías citar a mi pero te has citado a ti mismo (el antiguo profesor no cometería ese fallo). Hay muchas formas de aproximar el valor de Pi o de Tau (el valor exacto con todos sus decimales obviamente no), y además en estos cálculos se puede controlar hasta una cota de error. Y formas de calcularlo:

- Como sabes que para todas las circunferencias la razón es la misma, basta coger una y medir tanto radio como circunferencia, controlando los errores de medición cometidos para…   » ver todo el comentario
#40 hablaba solo,en realidad, por lo que leo.
Yo te pedía que digas si la Matemática es capaz de explicar el por qué tau es siempre 6.28318, no que me demostraras que es dicha relación, aproximando hasta millones de decimales.Por qué es dicho número y no otro. O, si la matemática carece de respuestas, tendría que hablar mejor con un filósofo?
#45, en un comentario ya te he explicado como se demuestra que existe un número (que simplemente llamamos Tau) que cumple siempre que Circunferencia = radio x Tau.

¿Hasta aquí de acuerdo?

¿Qué preguntas entonces? ¿Que por qué Tau vale 6.28318? Es que Tau no vale 6.28318 sino que 6.28318 aproxima el valor de Tau con un error menor a 10-5. Si lo que quieres saber es por qué las primeras cifras de Tau son 6.28318 pues eso se hace calculando una aproximación de Tau con un error menor a…   » ver todo el comentario
#46 Falta que expliques por qué la razón de la circunferencia con su radio (que es el conjunto de puntos que están a igual distancia de otro, o también, el único polígono que tiene infinitos lados) es 6.28318 y no por ejm, 5.65346.

o que pasa, lo ha hecho Dios así y debemos aceptarlo? A la velocidad de la luz, la relación cambia?
#48, te he explicado cómo se hace, lo aproximas con el desarrollo de Taylor de arcoseno en 1 con término de error menor a 10^-6 y haces los cálculos, que no querrás que te escriba aquí en un comentario xD
#48 pues depende de en que base numérica digas ese numero. El numero es así porque lo hemos definido nosotros. El concepto que representa ese número es el mismo elijas el modelo numérico que elijas.
#51 sea en binario, en octal o en sexagesimal la relación es la que es, la pregunta es porqué es esa relación y no otra cualquiera.
#52 ¿Por qué 1+1=2 y no cualquier otro número? Tu pregunta parece muy trascendental, pero solo se diferencia de esta en que buscas una relación matemática ligéramente menos obvia.
#53 Esperaba que alguien me lo dijera,al fin. Sí, porqué 1+1 dá 2? porqué las matemáticas son como son? quién las ha programado así?
El enlace es de BBVA. Ellos sí que hacen matemáticas imaginativas.
oh no, BBVA en portada :shit:
Como siempre que sale algo sobre el tema no puedo dejar de recomendar "Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle".

Las partes de las fábulas me aburrían mucho pero el resto es oro puro.
El artículo es bastante generalista, no entra en detalles y da bastante la impresión de que quien lo escribe no sabe demasiado sobre el tema.

Para empezar, es falso que no puedan existir sistemas axiomáticos correctos, recursivos y completos. La lógica de primer orden cumple con todas estas propiedades. La demostración de la completitud de la teoría es uno de los grandes logros de Gödel, precisamente:

en.wikipedia.org/wiki/Gödel's_completeness_theorem

Es la lógica de segundo…   » ver todo el comentario
#18 Filósofos aburridos que tienen que justificar su sueldo. Es cierto que las matemáticas se basan en axiomas pero es porque la ciencia aún no ha conseguido demostrar su veracidad con los recursos actuales.
Y lo que también es cierto es que sin las matemáticas estaríamos todavía viviendo en cuevas mientras que la filosofía actual es inútil como reconocen incluso miles de filósofos actuales.
#21 Las matemáticas necesitan axiomas. No se puede razonar formalmente sin partir de la aceptación de unos principios. La idea es que esos principios sean lo más útiles posibles.

En todo caso, la incompletitud de la lógica de segundo orden no hace inútiles las teorías que se basan en ella, solo acaba con el "sueño húmedo" de algunos matemáticos de tener un sistema formal perfecto.

En cuanto a la filosofía moderna, pues sí, es más bien un fraude. Cuesta entender cómo alguien puede autodenominarse filósofo (alguien que ama el saber) y no ponga todo su empeño en tratar de acercarse al conocimiento científico, que es la forma más avanzada de conocimiento que tenemos actualmente.
#18 Por lo que comentas te veo puesto en este tema así que permíteme que te aclare un error que has cometido (ya que creo que te puede ser útil). En el mundo de la lógica hay palabras que tienen más de un significado; y esto lamentablemente suele ser bastante problemático (i.e., es muy fácil meter la pata al haber esta polisemia). El caso más célebre en el mundo de los fundamentos de las matemáticas es el de "decidible" (tanto puede referirse a la noción de demostrable en un sistema…   » ver todo el comentario
#18 Mucho más interesante es uno de los corolarios de los teoremas de Gödel, precisamente el que apunta a la equivalencia entre demostrabilidad sintáctica y semántica: hay proposiciones verdaderas que no podremos demostrar, pero que siguen siendo eso, verdaderas. Es enigmático, casi delirante (si no fuera porque es así) y algo "místico".
#26 Veo que hay mucha confusión. Voy a intentar aclarar almenos un par de cosas.

El teorema de completud de Gödel habla de la lógica de primer orden. Y lo que dice es que se puede dar un listado concreto (y efectivo en tanto computable) de reglas para el cual las 2 nociones siguientes coinciden exactamente: 1) la noción de consecuencia lógica, 2) la noción de derivable usando el listado de reglas.

El teorema de incompletitud de Gödel no habla de la lógica de primer orden, sino que lo que dice…   » ver todo el comentario
Lo que se deduce es que la lógica es un tipo de pseudomatemática o protomatemática que a un nivel mucho mas básico establece relaciones binarias en específico o multivaluadas en general que permiten definir las propiedades de un ente llamado sistema, si el sistema se trata de definir formalmente caemos en la inconsistencia, si dejamos que apliquen factores de logica difusa aplican factores de indeterminación.... ¡¡¡¡El Universo grita que es estadístico!!! y estructuralmente pseudodeterminista... lo siento por los formalistas...saber que se van a extinguir ayuda tolerar su arrogancia...
Yo creo que confunden indemostrable con no demostrado.

El problema es que pretender demostrar que algo es indemostrable, creo que es por definición indemostrable y eso no es un fracaso de las matemáticas sino un problema de lógica.
#28 El resultado de Gödel no tiene ningún problema, no hay ninguna confusión.

Una dificultad para entender sus resultados radica en que la gente se cree que hay una noción conceptual de "demostrable", la gente cree que cualquier enunciado matemático o bien cumple la propiedad de "demostrable" o bien la de "no demostrable". Eso es totalmente erróneo.

Para entender a Gödel lo primero es tener claro que para cada elección de axiomas, hay una noción diferente de…   » ver todo el comentario
#28 imagino k x lo menos eres matemático. Básicamente estas refutando la historia de estas personas. No entiendo xk todo el mundo cree en respuestas absolutas. Como si las necesitarán. Puedes asumir sinceramente x un momento k esto es cierto? Que sientes? Salut
#38 Las verdades basadas en principios de autoridad no valen gran cosa.
El único principio de veracidad al cual yo considero valioso es el que se basa en hechos probados.

Hasta ahora ha servido para hacer avanzar el conocimiento humano en la medida que ciertos hechos pueden ser verificados de forma independiente.

Con las matemáticas entramos en terrenos resbaladizos que dependen de la forma en que definimos los diferentes conceptos y el concepto cero y el concepto infinito son fuente de problemas que necesitan convenios especiales para ciertas situaciones.
No es lo mismo un convenio que un hecho.
#47 de acuerdo estamos en lo util y fuerte que es la ciencia. Pero tiene limites. De eso estamos hablando. Caos, cuantica, paradojas, fractales. Yo soy de ciencia pero me molesta el fanatismo en general de aquellos k ven la ciencia como a un dios. Hay mas cosas tambien. Gracias x el comentario
He hablado de esto en varios comentarios y se ma han echado todos encima. Queridos fanaticos de la ciencia: la ciencia no es infalible. Tendrán k buscarse algo nuevo en k creer. Espero k aquellas personas lean este articulo y despierten de una vez.
Es lo más infalible que de momento conocemos y el método científico es con el que más hemos avanzado. Mucho mejor que la religión y su método basado en la fe.
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