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¿Qué poliedro regular es más "esférico"?

Pues eso: si tuvieras que elegir uno de los cinco poliedros regulares como el más “esférico” (el más “cercano” a una esfera) ¿cuál elegirías? Mientras lo piensas vamos a contar algunas cosas. En principio parece una cuestión sencilla…o quizás no tanto. Como al estudiar ciertas situaciones en matemáticas puede ser conveniente irse a casos más simples vamos a hacerlo ahora también, a ver si esto nos ayuda. Vayámonos a dos dimensiones. ¿Cuál es el polígono regular más “circular”? Aquí la respuesta es sencilla, ¿no?
etiquetas: poliedro, esfericidad, geometría, esfera, poliedros
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46comentarios mnm karma: 701
Comentarios destacados:           
#1   Hubiera jurado que es el icosaedro, precisamente según el criterio de la esfera circunscrita, que es el que no cumple. Si todos los vértices tocan esta esfera, aparentemente el icosaedro es el que deja "huecos" más pequeños entre sus caras y la esfera, y por lo tanto el que tiene mayor volumen y se aproxima más a la esfera. Pues no.

Mala intuición.
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#2   En menéame como siempre intentando buscar la cuadratura del circulo :troll:
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#13   #2: En este caso es más bien la esfericidad el cubo. :troll:
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#3   ¿Y en relación al volumen de esta esfera, que no sé como se llama en castellano (¿mediosfera?)? ¿igual de esféricos?

en.wikipedia.org/wiki/Midsphere
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#4   #3 Como curiosidad he mirado en un par de libros de Geometría Descriptiva y en los dos la denominan "esfera tangente a las aristas". Un nombre poco glamuroso pero muy descriptivo.
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#5   #4 Bueno, a veces es que nos pierde la estética xD
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#25   #3 En italiano la llaman "intersfera" que correspondería a "interesfera" en español. También se me ocurre "esfera interscrita" por analogía con la inscrita y la circunscrita.

#18 En el caso de los poliedros regulares, también conocidos como sólidos platónicos, hay dos grandes competidores: el dodecaedro y el icosaedro, y cada uno de ellos se puede inscribir en el otro de forma que cada uno de los vértices de uno queda en el centro de una cara del otro (es lo que…   » ver todo el comentario
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 *   sabbut sabbut
#45   #3 Tenía un código por ahí que se me ha ocurrido que podía apañarse para calcular eso numéricamente; lo que me sale es esto:

Volumen de la esfera unidad: 4.188790
Volumen del dodecaedro al que la esfera unidad interscribe: 3.416407
Volumen del icosaedro al que la esfera unidad interscribe: 4.120226

Es decir, que por ese lado también sería más esférico el icosaedro.

... y como efecto lateral ha expulsado este bonito dibujo que os pongo para que por lo menos no vayáis a creer que me he inventado los números.

Ahora que alguien listo lo confirme "geométricamente" :-D  media
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 *   --249036--
#6   Y digo yo... cuando el numero de caras tienda a infinito... sera una esfera... por lo que el area de cada cara tendera a cero. Si asi, se piensa, el area menor encerrada entre varias aristas.. debe ser el de un triangulo.
Por lo que sera aquella figura con un numero de caras tendente a infinito con cada cara de forma triangular.
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#7   #6 ejem... NO hay más poliedros regulares. Son únicamente 5. Es imposible que el nº de caras tienda a infinito... ni siquiera llega a ser 21.
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#37   #7 Eso fue lo único que me sorprendió del artículo, que solo hay 5 poliedros regulares :-O
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 *   klam klam
#38   #37 El artículo es erroneo, no hay cinco poliedros regulares, hay nueve, cinco son poliedros regulares convexos (los del articulo) y cuatro poliedros regulares cóncavos.
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 *   Ka0 Ka0
#42   #38 Siguen siendo muy pocos. En dos dimensiones hay infinitos polígonos regulares, y me sorprende que en tres dimensiones el número sea, no sólo limitado, sino directamente pequeño.
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#46   #37 #42 Y en dimensiones mayores son aún menos. En general son solo tres los politopos regulares en N dimensiones (para N>4), y remiten al tetraedro, el cubo y el octaedro. Las excepciones son en dimensiones más pequeñas siendo infinitos los polígonos regulares, 5 (o 9) los poliedros regulares y 6 los polícoros (el análogo cuatridimensional) regulares.

Se pueden tratar de visualizar mediante analogías. (atención: mates inside)

En el caso del tetraedro, tenemos:
- Segmento: un…   » ver todo el comentario
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 *   sabbut sabbut
#44   #38 Pero los poliedros regulares cóncavos son los menos esféricos de todos.

Encierran un volumen demasiado pequeño para toda la superficie que ocupan sus caras y la desproporción de volumen entre ellos y sus esferas inscrita y circunscrita es muy grande. Fallan estrepitosamente para todas las definiciones de "esfericidad", o al menos para todas las planteadas en la noticia.
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#39   #37 El artículo es erroneo, no hay cinco poliedros regulares, hay nueve, cinco son poliedros regulares convexos y cuatro poliedros regulares no convexos.
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Ka0 Ka0
#8   Los que jugamos al rol, sabemos bien que los dados D12 son los mas peligroso de salir rodando debajo del sofá
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#9   #8 Discrepo. Los D20 son peores (aparte de que el sistema apesta y los tiras con más rabia).
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#11   #9 Desavengo. Los D100 eran unas putas canicas. (Una vez ví uno)
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#12   #8, #9, #11 Sin hablar de los D∞
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#31   #9 #11 para tantos números mejor estos www.awesomedice.com/image/cache/data/double-dice-clear-500x500.jpg el número del dado exterior son las decenas y el del interior las unidades. Mucho más práctico que un D100.
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#19   #8 Jajaja por otro lado los D4 son como: "Corre platano"
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#36   #8 Iba a decir lo mismo, los D12 no se paran nunca :-D
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#14   ¿Por qué hay sólo 5 poliedros regulares? ¿Eso está estudiado?

Lo digo en serio, es un poco extraño poder afirmar algo así.
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#15   #14 Claro que está estudiado. En esta entrada lo explico

gaussianos.com/%C2%BFcuantos-poliedros-regulares-hay/

y doy datos sobre la situación en dimensiones superiores a 3 :-)
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#16   #15 Muy interesante, muchas gracias.

En más de 3 dimensiones me pierdo siempre, me cuesta mucho pensarlo y más al final del día, pero para el caso de 3 dimensiones está explicado estupendamente, dobles muchas gracias.
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 *   Ragnarok Ragnarok
#34   #16 Te cuesta a ti y a cualquier, no creo que podamos aspirar a "verlo" en más de 3 dimensiones :).

#27 Pues sí, tienes razón, quizás deberíamos ser algo más cuidadosos en ese aspecto y especificar siempre si nos referimos a los convexos solamente o a todos los regulares. Gracias por el apunte :).
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#27   #15 #24 A mi siempre me quedará grabado que hay 9, no 5 como se suele decir, gracias a un profe de mates que nos pilló a todos en un examen, un gracioso que era. Los 5 habituales son los convexos, pero existen también 4 cóncavos ya que en ningún sitio de la definición se dice que un polígono regular deba ser convexo. Aunque por norma general sin ser estrictos se suele hablar de los 5 convexos.

mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html
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#33   #27 Muy interesante, gracias.
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#24   #14 Hay que leer más a Platón...


es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos
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 *   DenisDiderot DenisDiderot
#17   Hay mucha gente que tiene los huevos cuadraos.
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#18   A mayor número de lados más esférico no?? Al renderizar en programas como 3DS max o Maya es a lo que se tienede, aumentar el número de lados para conseguir acabados mas suaves y realistas
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#23   #18 Hablamos de poliedros regulares.
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#20   obviamente el dodecaedro que tiene pentagonitos como los balones de fútbol también conocidos como esféricos...

PD: No había leído la parte final del artículo...sorry.  media
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 *   --349511--
#28   #20 Por cierto, los balones de futbol no tienen pentagonos..tienen pentagonos Y hexagonos y eso no es ningun poliedro regular, eso es el icosaedro truncado del que hablan en el articulo, y en los programas de modelado 3d algo parecido es la subdivision de un isocaedro (bueno, en realidad no, porque se obtiene una especie de icosaedro truncado pero dividido todo en poligonos de 4 caras, que por eso tiene la mejor topologia para esferas en 3d)
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 *   jr6 jr6
#21   Yo no veo sino dados de rol por todas partes. :-P
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#22   Como comentan arriba, jugar a Rol te hace muy familiar con los poliedros regulares. Aunque como muchos antes habría asumido el icosaedro en todos los escenarios, hay un dato curioso para explicar lo que dice el artículo, y es que el D20 está "más afilado" que un D12. Es decir, un vertice de un D20 tiene 5 aristas, mientras que en el D12 solo tres, haciendo que séa más puntiagudo y sobresalga del cuerpo principal, haciendo que el volumen de la esfera circunscrita sea mayor.

Creo que me explicado fatal, pero si teneis unos dados a mano, lo vereis bien
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#26   facilisima respuesta y no necesito ni leer el articulo, a ver si acierto, el icosaedro, que por que? porque el sustituto que te dan los programas de modelado 3d para una esfera xD
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jr6 jr6
#29   El fullnereno!! es.wikipedia.org/wiki/Fullereno
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#30   Yo hubiera dicho aquél cuya relación Volumen/Superfície sea mayor (la esfera maximiza el volumen minimizando la superfície), que en realidad es la última clasificación que hace.
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#35   Yo tenía la teoría personal de que también se podía calcular a partir del ángulo interior que forman las aristas. A mayor ángulo mayor proximidad a la esfericidad.
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#40   El que pinche menos!
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 *   nachon
#41   Rolemaster forever! :-P (prefiero 2d10 que 1d100) xD
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#43   Hay relación con dados de rol, hay meneo! :-)

Por cierto, yo estoy con los que decís que el d12 rueda mejor.
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menéame