Cuando enseño matemáticas me pregunto qué aporta lo que enseño a un montón de adolescentes que muy a menudo no tienen demasiado interés en pasar horas sentados escuchando a sus profesores. Supongo que hay miles de respuestas para estas preguntas, y que la mayoría de ellas las enumeró y consideró la comisión Cockroft. Pero mi respuesta personal es que lo que más aporta la enseñanza de matemáticas es un modo ordenado de pensar y expresarse, una mayor capacidad de abstracción y cierto desarrollo de la capacidad de resolver problemas. La vida está llena de situaciones en las que tenemos unas condiciones iniciales y queremos llegar a un nuevo estado de las cosas aplicando los recursos de los que disponemos. Resolvemos problemas cuando buscamos una ruta para llegar de un lugar a otro, un apaño a una avería, construímos una máquina para divertirnos... Tener habilidad para resolver problemas será siempre un punto a favor.

Hay algo de incertidumbre al enfrentarse a un problema, no sabemos si podremos resolverlo o no. Esto es para algunas personas un reto que les espolea a intentarlo y para otras es paralizante y les aleja de siquiera poner atención en los enunciados. Esta primera barrera a la resolución de los problemas es emocional, no se rige por la capacidad de resolverlos sino por la confianza en lograrlo. Demasiado a menudo los fracasos se gestan en esta etapa: ni siquiera se intenta.

Suponiendo que hayamos superado este primer obstáculo y nos encontremos en disposición de abordar un problema, ¿existe alguna técnica para facilitar el éxito? La referencia fundamental en la literatura sobre resolución de problemas es Pólya: https://es.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya
Dedicó bastante tiempo a comprender cómo se resuelven los problemas y cómo se puede mejorar en nuestra habilidad de resolverlos. Aunque algunas de sus conclusiones pueden parecer demasiado de sentido común como para merecer tanta atención hay que saber que fue el primero en formular estos principios y que explicitarlo en su momento es lo que ha hecho que ahora nos suene tan obvio, especialmente cuando algunas de sus ideas se introdujeron masivamente en las escuelas. Pólya proponía su método para resolver los problemas de cualquier ámbito, no necesariamente de matemáticas o en el ámbito académico.

La idea principal de Pólya es identificar las etapas de pensamiento para resolver un problema y proponer estrategias que ayuden en cada una de ellas. Por supuesto, como se puede leer en el texto de la derecha en este sub, hay que practicar cada una de estas habilidades para alcanzar cierta maestría. El esquema de resolución es circular y no se debería dar por resuelto y acabado un problema sin volver a la primera etapa, la que más veces se da erroneamente por sabida y superada.

Las etapas descritas son I Leer el enunciado II Diseñar una estrategia III Ejecutar la estrategia IV Reflexionar sobre la solución

I Muchísimo más a menudo de lo que nos confesamos leemos el enunciado de manera superficial y poco atenta. Es bastante habitual encontrar entre las respuestas a los problemas algunas que sencillamente responden a otra cosa, leemos con precipitación y aunque no lo creamos perdemos más tiempo del que ganamos por ello. En este punto podemos hacer algunas pequeñas cosas para estar seguro de que entendemos bien lo que representa el problema:
- escribirlo con otras palabras
- escribir por separado las condiciones y los datos del problema.
- escribir simplificaciones o complicaciones del problema
- traer a la memoria problemas similares que hayamos resuelto o leído en otras ocasiones.

II Diseñar una estrategia de resolución. La idea es generar un buen repertorio de ideas, para lo cual es preferible no rechazar ni siquiera las que suenen absurdas, locas o demasiado complicadas. Algunas no generarán más que inspiración para otras, pero eso también es importante. Cuando se trata de tener ideas creativas hay que dejar el pensamiento crítico apartado un rato y dejar que la mente vuele alto y lejos libremente; más adelante pondremos cada idea en su medida de utilidad.
En esta etapa nos será útil tener en la memoria otros problemas anteriores como se sugería en el punto anterior. Idealmente se debería analizar un repertorio lo más amplio posible de estrategias antes de elegir una de ellas. En cualquier caso se han listado algunas estrategias de aplicación en multitud de problemas.

- "divide y vencerás": abordar subproblemas menores, que pueden ser paralelos o consecutivos.
- probar casos particulares o simplificados
- hacer un esquema o diagrama
- suponer el problema resuelto y deducir consecuencias de él.
- empezar por el final
- buscar patrones
- hacer listas, probar casos
- conjeturar y probar las conjeturas
- aprovechar las simetrías del problema
- reformular el problema de un modo equivalente
- elegir una notación sencilla y ajustada a las necesidades

(sigue en https://www.meneame.net/go?id=2715597

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Desactivado

hace 7 años

editado

Mis alumnos distinguen entre "leer un problema" y "decir qué pone en el problema".

El primer paso, leer el problema, requiere el cuaderno, libro o pantalla donde esté el problema escrito.

El segundo, decir qué pone o de qué va, requiere apartar la vista y sin leer, describir de forma global el problema, donde no es necesario conocer las cantidades exactas pero sí haber comprendido el problema.

Esos dos pasos los hacen dos alumnos distintos, en voz alta. El primero lee tal cual el texto, el segundo explica como si no lo tuviera escrito y se lo hubieran contado.

Lamentablemente, en 1o y 2o ESO, no todos los alumnos son competentes en este segundo paso.

V 3

K 48

#10

Respecto a la fase 2, cuando el problema es de práctica rutinaria (por ejemplo calcular la altura de un árbol usando semejanza dentro del tema de semejanza) la estrategia que pido a mis alumnos es replicar lo que hemos hecho anteriormente. No reinventar la rueda.

Si es un problema distinto, de pensar y de aplicar cualquier herramienta disponible, como los problemas de competencia de pruebas de diagnóstico, hago un brainstorming, tomando algunas ideas de ellos y enrutándolas a ver si conducen a un callejón con o sin salida. Puesto que mi destreza es habitualmente superior a la suya (de todo he visto ya ) si la idea puede conducir a la solución por un camino largo o tedioso lo hago a un lado de la pizarra para conservar espacio en el centro para resolver el problema sin borrar esa alternativa y luego comparar o profundizar. Si la idea no va a conducir a la solución, lo hago en el centro y agoto el camino, borrando cuando queda claro que hay que descartar esa vía. Al final debería quedar la solución óptima en el centro y soluciones alternativas a los lados.

No me gusta esa distinción que hacen en primaria de 1/3 del espacio para datos, 1/3 para operaciones y 1/3 para solución. Reduce los problemas a ejercicios de sustituir y los convierte en mecánicos.

Sí que pido que, al igual que leemos de izquierda a derecha y de arriba abajo, los problemas se escriban respetando ese orden. Nada de flechas y cosas que van al final se pongan arriba.

#11

Otra puntualización:

Mis alumnos y yo bromeamos con ésto (si alguno me lee me va a reconocer )

Ejemplo: lo hago yo.
Ejercicio: lo hacen ellos, pero saben lo que tienen que hacer.
Problema: lo hacen ellos, pero no saben lo que tienen que hacer, deben averiguarlo y hacerlo.

Ejemplo: mira como aprieto este tornillo con un destornillador
Ejercicio: aprieta tú este tornillo con tu destornillador
Problema: regula el carburador de tu moto.

La diferencia entre los dos últimos es brutal.

#12

fantomax

autor

#11 En mis clases de 4º de ESO se hacen ejercicios de los de siempre, y los hacen más o menos todos los alumnos. Pero cada semana propongo un problema como los que pongo en el sub (los primeros problemas que puse en el nótame eran en su mayoría de los de mis alumnos) que se resuelve con herramientas que conocen pero no aplicadas de la manera habitual sino de otra completamente creativa.
Los chavales deciden si entregan o no los problemas resueltos, les corrijo intentos que no han llegado a soluciones con el mismo detalle que si fueran intentos completos. Los comentarios van en el sentido de:
- Comentar la resolución del problema, ideas principales, estrategia de resolución, escollos encontrados...
- Comentar la redacción del documento y si la presentación es suficientemente ordenada para que se entienda.
- Enseñar una ventanita a las mates como se harán en cursos superiores si es pertinente.

Este año una chavala ha decidido que quiere estudiar mates, a ella le hago muchos comentarios que no le haría a otros, porque no sólo le interesan más, sino que los entiende mejor.

Estoy estudiando con una compañera la posibilidad de poner problemas de menor nivel en otros cursos y seguir la misma dinámica.

V 2

K 33

El texto me quedaba inmenso sin comentar las estrategias particulares, pero estoy abierta a cualquier pregunta que tengáis o a ampliar información y referencias.
Tampoco incluí una reflexión acerca de la importancia de los problemas en el avance de la ciencia matemática o el origen de los problemas, la dificultad de plantear cuestiones interesantes...

K 41

Xtrem3

#1 Pero el origen de los problemas es la vida en sí ¿no?

V 1

K 26

#3 el origen de los problemas es múltiple. Los hay que surgen de la vida, los hay que surgen de la ingeniería, de las ciencias aplicadas... y los problemas surgidos de la propia investigación matemática, que suelen ser más raros de comprender.