Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.
Comentarios
El artículo está perfecto y es bastante claro... hasta que mete la pata en la última línea:
"No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa."
La geometría no es completa, como se explica en todo lo anterior, ya que contiene a la aritmética (si no estoy equivocado).
Alguien escribió una vez en MNM que cualquier conocimiento, por muy complejo que sea, puede ser explicado para que lo entienda mi abuela si quien lo explica tiene suficiente dominio del tema. Este artículo lo demuestra con el primer teorema de incompletitud de Gödel, que muchos juzgan esquivo.
A pesar de lo sencillo que parece, este artículo es una maravilla y veremos pocos iguales aquí. Maravilla precisamente por lo sencillo.
#1 "la geometría" tal como lo dices no tiene sentido, debes elegir un lenguaje y unos axiomas. La geometría real (de los números reales) con el lenguaje algebraico usual tiene una axiomatización completa (y es decidible, de hecho). Lo probó Tarski hace mucho tiempo.
#4 Entonces soy yo quien falla y el artículo es perfecto. Curioso lo de la geometría, no lo sabía. A ver cuando saco un ratito para darle una vuelta...
Meneame está lleno de informáticos, raro que esto no llegue a portada
#2 Serán de los que no aprobaron la asignatura.