Sabiendo que
4^(x)+4^(-x)=7
Calcular
8^x+8^(-x)
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Ojo Spoiler
llamo t=2^x
t^2+t^-2=7
9=t^2+ t-2 +2= (t+t^-1)^2 -> t+t^-1=3
3^3=(t+t^-1)^3=t^3+3t+3t^-1+t^-3
8^x+8^-x=t^3+t^-3=27
3(t+t^1)=27-9=18#12 ¿Tu primera ecuación no debería ser t 2+t -4=7? Eso cambiaría las cosas...
#19 No, sorry, es un problema esto de copiar mal no sé qué hago con los dedos. Mira el enunciado ahora que lo he corregido.
#20 Ahora si que tiene mas sentido tu solucion
#12 Entiendo la solución, pero me pregunto: ¿cómo se te ocurrió poner (t^2+t^-2) en función de (t+t^(-1))^2 ?
#27 Pues dando vueltas a qué cosas puedo hacer con cuadrados, identidades notables... y la gracia de que sean inversos.
#12 Mi HP me da la razón. Ahora voy a ver si hago algo a mano con cambio de variable o sin ella
Llego tardísimo, pero se me ocurre una solución elegante (sin cálculo numérico ni expresiones complicadas resultantes de resolver la ecuación de segundo grado):
Partimos de 4x+4-x=7.
Elevamos al cubo y obtenemos:
43x+3·4x+3·4-x+4-3x=73=343.
Operando:
64x+64-x=343-3(4x+4-x)=343-3·7=322.
Por otro lado, sea 8x+8-x=K (desconocido de momento).
Elevamos al cuadrado:
82x+8-2x+2=K2.
Esto es:
64x+64-x=K2-2.
Igualando las dos expresiones de 64x+64-x obtenemos:
K2-2=322 -> K2=324 -> K=18 (asumimos que x es real y por tanto 8x+8-x es siempre positivo, descartando K=-18).
Y así queda demostrado que 8x+8-x=18. Después de obtener esta solución he visto que es muy parecida a la propuesta en #12, aunque esa solución hace primero la "raíz cuadrada" y luego el "cubo" (o sea, pasa del 4 al 2 y luego al 8 ), mientras que la mía sigue el orden inverso.
#46 Muy bonito y distinto al resto.
Me salen dos soluciones: 4.36545976841377 y 18.4930827295850.
#3 A mí me sale una sola y entera.
Pero comparte tus métodos, por favor.
Pues a mi me ha salido 1 solución entera.
14cc #3 #4
#5 A mí me sale 18
#6 Hmm, cuento mi solucion? Aunque pude que me haya equivocado, hace tiempo que no hago matematicas en papel.
#7 Cuenta, cuenta.
#8 nada nada, me callo. la he liado.
#8 Pues no se, es mas complicada de lo que esperaba.
Hay 2 cosas a lo que he llegado.
1. se convierte con sustitución una ecuación de tercer grado que ya es complicada de por si, a partir de la cual se tiene que resolver la potencia.
2. Se que 8^x + 8^(-x) = 7*2^x
Dado que x tiene 2 soluciones reales con bastantes decimales creo que #3 tiene razón. (aqui tirando un poco de herramientas externas)
Pero creo que con las solución que has dado estas troleando
#10 Nopes, pero es que yo no intento averiguar x en ningún caso, me dedico a calcular lo que me piden. he hecho una sustitución en ambas ecuaciones 2^x=t
#11 Y si yo no la he liado mucho te quedas con
t^2+t^(-4) - 7 = 0
#13 Por qué ese exponente 4?
#14 Pues porque 4^(-2x) = 2^(-4x) = (2^x)^(-4) = t^-4 siendo t = 2^x
#17 Mío el error se me fue un 2 he editado. Siento tanto cambio, no sé qué me pasa al copiar.
#10 #11 A ver, existe una única solución para x>0 ya que 4^x+4^(-2x) es monótona creciente y la imagen es [2, +oo]. Razonando análogamente, se ve que hay una única solución para x
#15 Ops, otra vez metí la pata, ahora edito:
4^x+4^(-x) =7
#16 Ahhhh, si es que ...
#21 Perdón.
18
8^(log(7/2 - (3 sqrt(5))/2)/log(4))+8^(-(log(7/2 - (3 sqrt(5))/2)/log(4)))
#28 como lo haría Euler
A mi me sale 18.
Primero, hago sustitucion de variables:
t = 4x
Por lo que la ecuacion original se quedaría:
t + t-1
t + 1 / t = 7
Multiplico por t:
t * (t + 1 / t) = t * 7
t2 + t / t = 7t
t2 + 1 = 7t
Cambio el 7t de lado, tengo una ecuación de segundo grado:
t2 + 1 - 7t = 7t - 7t
t2- 7t + 1 = 0
Sacamos la formula cuadratica y simplificamos:
t = (- (-7) ± √( (-7)2 - 4*1*1) ) / 2*1
t = (7 ± √(49-4)) / 2
t = (7 ± √(45)) / 2
Si lo calculamos, tenemos que t puede tener dos valores. Aproximadamente 6,86 y aproximadamente 0,14. Por comodidad, llamemos a estas dos variables u y v. Notese además que 1 / u = v, y por tanto 1 / v = u. Podría, por anto, resumirse a u y 1 / u.
Volvamos a la sustitucion para hallar el valor de x para u y 1 / u:
u = 4x
Tomamos logaritmos:
log u = log ( 4x )
Por la propiedad de los logaritmos, la potencia del logaritmo se extrae:
log u = x * log 4
x = log u / log 4
De nuevo, se puede calcular. Tengase en cuenta que esto es igual tanto para u como para 1 / u. Numéricamente, los resultados son, aproximadamente, 1,39 y -1,39. Por comodidad, llamemos a estos dos valores w y -w.
Vamos a la segunda ecuacion, y sustituimos:
8 ^ w + 8 ^ -w = ?
Llegados a este punto, se da uno cuenta de que las dos soluciones de las que partíamos son, en realidad, una ( 8 ^ w = 8 ^
((w))). Si calculamos, veremos que da aproximadamente 17,94 y 0,06.Si guardamos todos los valores sin aproximar hasta el final de la ecuación, nos da como resultado 18.
¿Que tal?
#42 Correcto todo.
#43 Gracias . Que me he registrado y todo en Menéname solo para poder contribuir con una solución, jajaja
#44 Pues encantada de que te guste. Bienvenido al sub si quieres resolver, proponer o comentar problemas.
#0
4^x + 4^(-x) = 7
(4^x + 4^(-x))^2 = 7^2
8^x + 8^(-x) + 2*4^(x-x) = 49
8^x + 8^(-x) + 2 = 49
8^x + 8^(-x) = 47
#24 (4^x)²=16^x=/= 8^x
la respuesta es 42
18 me sale a mí también.
4^(x)+4^(-x)=7
4^(x)+4^(-x)=(1/2)*14
2*[4^(x)+4^(-x)]=14
8^(x)+8^(-x)=14
Lo veo muy fácil y tengo que haberla liado segurísimo
#25 Te has equivocado, 72 es 49, por lo que ese 14 no debería ser un 14, debería ser un 49
#25 2*4^x=/= 8^x
De hecho muy distinto.
Menos mal, porque me estaba volviendo (más) gilipollas. Bueno, en realidad imaginaba que podría ser algo así, pero también pensaba que podía ser que no y... bah, da igual.
#0
#1 Tengo que mejorar mi capacidad de concentración en los detalles.
Como soy un puto vago lo he resuelto por métodos numéricos, y la solución es 18.
#34 Como soy aún más vago que tú, y hay tres confirmaciones..diremos.. 18
¿La respuesta no sería 14?
La expresión 8^x+8^(-x) puede ser puesta de esta otra forma:
2 x (4^(x)+4^(-x)) --> Propiedad Distributiva
y como dice el primer enunciado, 4^(x)+4^(-x)=7, se sustituye y:
2 x 7 = 14
#37 No. No puedes hacer eso con potencias. Te pongo un ejemplo:
3^3 = 27.
2*(3^3) =/= (2*3)^3 = 6^3 = 216 =/= 2*27
Resumiendo, que 2 * (4^(x) + 4^(-x)) no es igual a (2*4)^(x) + (2*4)^(-x) sino a 2*(4^(x)) + 2*(4^(-x)) que es muy diferente.
#38 ¡Gracias por la aclaración!
#37 Ojo con las propiedades de las potencias:
2·4^x=2·(2^2)^x =2·2^ (2x)=2^(x+1)
Hay que tener cuidado aplicando la jerarquía de las operaciones, en la que las potencias siempre se calculan antes que los productos.