En este vídeo, el Dr. Gastón Giribet, profesor de la Universidad de Buenos Aires, nos explica los fundamentos de los diagramas de Penrose y cómo podemos usarlos para resolver la aparente paradoja del tiempo infinito para cruzar el horizonte. Este vídeo complementa la discusión en el episodio 349 del podcast Coffee Break: Señal y Ruido.
#2 Me han dado permiso para publicar esto aquí pero se entiende mal tal como me lo han pasado. Bueno (por si sirve de alguna cosa algún punto):
Tenemos dos «cosas» con dos sucesos p y q cada una, p (la cosa del suceso p ) tiene su línea de tiempo su línea temporal y en un momento de esa línea denotado con r se lanza un rayo de luz que da a q (a la cosa del suceso q cuando le ocurre dicho suceso q y rebota en este y vuelve a llegar a p en el momento s. Si denominamos q’ el momento de la línea temporal de p a cuando en su tiempo ocurre q; y t1 al tiempo propio de p entre p y s y t2 al tiempo propio entre p y r entonces y la distancia espacial entre p y q como d y la distancia temporal entre p y q’ donde de r a q’ será 1/2(t1+t2) y de q’ a s será 1/2(t1+t2) siendo C constante
Por tanto t1*t2 = (d^2/C^2) – t^2
t1*t2 es el elemento geométrico fundamental denominado intervalo
Si multiplicamos ambos lados por C^2. Tenemos C^2*t1*t2 = d^2- C^2*t^2
Espacio es igual a velocidad por tiempo y bueno S^2=d^2-C^2*t^2
Si ponemos g(n) que indiquen la curvatura en cada dimensión y por Pitágoras sabemos que en geometría plana (antes de aplicar los g(n)) d^2=x^2+y^2+z^2 etc podemos escribir la obviedad:
S^2=x^2+y^2+z^2-C^2*t^2
Y con los g(n) de la curvatura:
S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)C^2*t^2
Pue vale Si utilizamos metros de tiempo para el tiempo o sea C le damos valor 1 y todas las velocidades en semienteros de 0 a 1 (1/299792458 de segundo es un metro de tiempo) entonces:
S^2=x^2+y^2+z^2-C^2*t^2 se nos va a S^2=x^2+y^2+z^2-t^2 en estas unidades y S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)t^2
Pue vale. Si ponemos el tiempo en unidades imaginarias donde ahora tiempo es C*segundos * i o metros de tiempo*i y si es un valor real es el de una dimensión espacial y si es valor imaginario de una temporal tenemos S^2=x^2+y^2+z^2+t^2 y S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2+g(4)t^2
Etc y se puede seguir con S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)C^2*t^2 escribir la primera ecuación de campo de la relatividad general para esa expresión que es la habitual o bien seguir hasta tener Sum(i,k)[g(i,k)*x(i)*x(k)] pero bueno. Quería llegar hasta aquí para señalar algo volviendo al intervalo después de todo esto t1*t2 = (d^2/C^2) – t^2 Y a este le ponemos el tiempo en metros y C= 1 : t1*t2 = d^2 – t^2
Con lo que S^2=t1*t2 Si C=1 Y eso es algo que me parece muy relevante Que cuando C=1 y la luz son 45º en el gráfico t1*t2 equivale a S^2
Ahora con esas unidades utilizamos valores imaginarios para el tiempo y reales para espacio t1*t2 = d^2 + t^2 o sea t1*t2=x^2+y^2+z^2+t^2 Como ahora C no es una velocidad más sino la velocidad inmersa en las mismas unidades t1*t2 no sólo es distancia temporal sino espacial porque va marcada por C por lo que si en t1*t2 = d^2 + t^2 cambiamos el valor de d se ha de cambiar el de t para que t1*t2 siga teniendo el mismo valor. Como si todos los sucesos se determinaran o relacionaran por la velocidad C y para que siga teniendo sentido un intervalo que va marcado con tiempos para situar algo en el espacio-tiempo pues al cambiar el espacio cambia el tiempo o al cambiar el intervalo cambia el espacio tiempo conforme a C
Pero tachán cuando tengo S^2 tenemos sus valores pero cuando C=1 esos valores equivalen a intervalos t1*t2 . El caso es que se puede cambiar t1 y t2 de forma que t1*t2 siga valiendo s^2 si se cambian adecuadamente ambos valores para conseguir esto y habría una representación temporal del suceso q (q’) sobre la línea temporal del suceso p incorrecta. Con la relatividad general tal como está expresada por Einstein no importa porque los g(n) se aplican al lado derecho y tienen efecto en el izquierdo y se pueden distinguir entre los g(n) y los valores x,y,z,t sobre los que se aplican.
Estos puntos se me antojan muy relevantes puesto que cuidado al meter curvatura de forma inapropiada en esta situación porque s^2 equivale a intervalos t1*t2 y pueden tener el mismo valor aunque t1 y t2 no lo tengan
La geometría kruskal mezcla las dos cosas un poco para tener un esquema único donde:
ds^2= (4/r)*e^(-r) *[dT^2 + dX^2] + r²(d-simbMatAngu^2 + sin^2simbMatAngu * SimbMatDia^2)^2 -> ds^2= (4/r)*e^(-r) *[dT^2 + dX^2] + r² Omega^2 en configuración plana aún.
C igual para todos y configuración plana ningún problema (por cierto interpreto normalmente el agujero blanco como el agujero negro pero para la gravedad para la energía de curvatura)
y recuerdo que s^2 ahora sigue equivaliendo a intervalos t1*t2 perfectamente pero ningún problema porque esto no cambia los valores de t1 y t2 sin variar t1*t2
X^2-T^2 = (r-1)e^r etc donde r=1 es el horizonte de sucesos en T= +/-X y la singularidad que es un límite donde r=0 en T +/- Sqrt[X^2 + 1]
Se cambian variables para que el espacio-tiempo gire q=T-X y p=T+X quedando el límite de la singularidad en p= 1/q
Y ahora viene el meollo de la cuestión, Otro cambio, se cambian las variables (p, q) por (V,U) para que las coordenadas infinitas nos queden compactas en un espacio-tiempo finito
Y aquí la cuestión. Esta configuración YA NO es plana
Se vuelve a girar Tau=U+V R=U-V etc y de las cuatro secciones que resultan se eliminan dos y se dejan dos por considerar meros artificios matemáticos las dos que se eliminan (Como los números imaginarios o la predicción de la antimateria)
Defiendo el Maxima con wxMaxima y GnuTexmacs que son libres etc pero realmente escribir eso para el Maxima es un poco coñazo y el W Mathematica es más sencillo. Por ejemplo 50 dígitos de Pi:
wxMaxima
fpprec:50;numer:true$bfloat(%pi);
Comentarios
Muy recomendable el podcast para cientófilos Coffee Break. Ahora mismo lo estoy viendo en el directo de YouTube.
Para el WolFram Mathematica (diagramas de Penrose sobre la geometria de kruskal):
Manipulate[
theta0 = ArcTan[t0 + x0] - ArcTan[t0 - x0];
tau0 = ArcTan[t0 + x0] + ArcTan[t0 - x0];
pt1 = ;
pt2 = ;
pt3 = ;
pt4 = ;
Show[
l,
k,
Graphics[],
Text[Style["Tiemponinfinito", 15], ],
Line[, , , , }],
Thick, Point[],
Line[],
Line[],
If[tlf, {Opacity[0.5, Green],
Polygon[{, pt4, , pt1}]}, Opacity[0]],
If[tlp, {Opacity[0.5, Green],
Polygon[{, pt3, , pt2}]}, Opacity[0]],
If[sl, {Opacity[0.5, Red],
Polygon[{, pt1, , pt3}],
Polygon[{, pt2, , pt4}]}, Opacity[0]]
}],
ParametricPlot[, ,
PlotRange -> [Pi], PlotPoints -> 1000, Axes -> True,
PlotStyle -> ]
],
, -5, 5, Appearance -> "Labeled"},
, -5, 5, Appearance -> "Labeled"},
, -5, 5, Appearance -> "Labeled"},
Delimiter,
, },
, },
, },
SynchronousInitialization -> False, TrackedSymbols -> Manipulate,
Initialization (
l = ParametricPlot[, ]}, , PlotRange -> [Pi] + .5,
Ticks -> , }, PlotStyle -> Orange,
PlotPoints -> 800];
k = ParametricPlot[, ]}, , PlotRange -> [Pi] + .5,
Ticks -> , }, PlotStyle -> Orange,
PlotPoints -> 800];
)]
#2 Me han dado permiso para publicar esto aquí pero se entiende mal tal como me lo han pasado. Bueno (por si sirve de alguna cosa algún punto):
Tenemos dos «cosas» con dos sucesos p y q cada una, p (la cosa del suceso p ) tiene su línea de tiempo su línea temporal y en un momento de esa línea denotado con r se lanza un rayo de luz que da a q (a la cosa del suceso q cuando le ocurre dicho suceso q y rebota en este y vuelve a llegar a p en el momento s. Si denominamos q’ el momento de la línea temporal de p a cuando en su tiempo ocurre q; y t1 al tiempo propio de p entre p y s y t2 al tiempo propio entre p y r entonces y la distancia espacial entre p y q como d y la distancia temporal entre p y q’ donde de r a q’ será 1/2(t1+t2) y de q’ a s será 1/2(t1+t2) siendo C constante
Por tanto t1*t2 = (d^2/C^2) – t^2
t1*t2 es el elemento geométrico fundamental denominado intervalo
Si multiplicamos ambos lados por C^2. Tenemos C^2*t1*t2 = d^2- C^2*t^2
Espacio es igual a velocidad por tiempo y bueno S^2=d^2-C^2*t^2
Si ponemos g(n) que indiquen la curvatura en cada dimensión y por Pitágoras sabemos que en geometría plana (antes de aplicar los g(n)) d^2=x^2+y^2+z^2 etc podemos escribir la obviedad:
S^2=x^2+y^2+z^2-C^2*t^2
Y con los g(n) de la curvatura:
S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)C^2*t^2
Pue vale Si utilizamos metros de tiempo para el tiempo o sea C le damos valor 1 y todas las velocidades en semienteros de 0 a 1 (1/299792458 de segundo es un metro de tiempo) entonces:
S^2=x^2+y^2+z^2-C^2*t^2 se nos va a S^2=x^2+y^2+z^2-t^2 en estas unidades y S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)t^2
Pue vale. Si ponemos el tiempo en unidades imaginarias donde ahora tiempo es C*segundos * i o metros de tiempo*i y si es un valor real es el de una dimensión espacial y si es valor imaginario de una temporal tenemos S^2=x^2+y^2+z^2+t^2 y S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2+g(4)t^2
Etc y se puede seguir con S^2=g(1)x^2+g(2)y^2+g(3)z^2-g(4)C^2*t^2 escribir la primera ecuación de campo de la relatividad general para esa expresión que es la habitual o bien seguir hasta tener Sum(i,k)[g(i,k)*x(i)*x(k)] pero bueno. Quería llegar hasta aquí para señalar algo volviendo al intervalo después de todo esto t1*t2 = (d^2/C^2) – t^2 Y a este le ponemos el tiempo en metros y C= 1 : t1*t2 = d^2 – t^2
Con lo que S^2=t1*t2 Si C=1 Y eso es algo que me parece muy relevante Que cuando C=1 y la luz son 45º en el gráfico t1*t2 equivale a S^2
Ahora con esas unidades utilizamos valores imaginarios para el tiempo y reales para espacio t1*t2 = d^2 + t^2 o sea t1*t2=x^2+y^2+z^2+t^2 Como ahora C no es una velocidad más sino la velocidad inmersa en las mismas unidades t1*t2 no sólo es distancia temporal sino espacial porque va marcada por C por lo que si en t1*t2 = d^2 + t^2 cambiamos el valor de d se ha de cambiar el de t para que t1*t2 siga teniendo el mismo valor. Como si todos los sucesos se determinaran o relacionaran por la velocidad C y para que siga teniendo sentido un intervalo que va marcado con tiempos para situar algo en el espacio-tiempo pues al cambiar el espacio cambia el tiempo o al cambiar el intervalo cambia el espacio tiempo conforme a C
Pero tachán cuando tengo S^2 tenemos sus valores pero cuando C=1 esos valores equivalen a intervalos t1*t2 . El caso es que se puede cambiar t1 y t2 de forma que t1*t2 siga valiendo s^2 si se cambian adecuadamente ambos valores para conseguir esto y habría una representación temporal del suceso q (q’) sobre la línea temporal del suceso p incorrecta. Con la relatividad general tal como está expresada por Einstein no importa porque los g(n) se aplican al lado derecho y tienen efecto en el izquierdo y se pueden distinguir entre los g(n) y los valores x,y,z,t sobre los que se aplican.
Estos puntos se me antojan muy relevantes puesto que cuidado al meter curvatura de forma inapropiada en esta situación porque s^2 equivale a intervalos t1*t2 y pueden tener el mismo valor aunque t1 y t2 no lo tengan
La geometría kruskal mezcla las dos cosas un poco para tener un esquema único donde:
ds^2= (4/r)*e^(-r) *[dT^2 + dX^2] + r²(d-simbMatAngu^2 + sin^2simbMatAngu * SimbMatDia^2)^2 -> ds^2= (4/r)*e^(-r) *[dT^2 + dX^2] + r² Omega^2 en configuración plana aún.
C igual para todos y configuración plana ningún problema (por cierto interpreto normalmente el agujero blanco como el agujero negro pero para la gravedad para la energía de curvatura)
y recuerdo que s^2 ahora sigue equivaliendo a intervalos t1*t2 perfectamente pero ningún problema porque esto no cambia los valores de t1 y t2 sin variar t1*t2
X^2-T^2 = (r-1)e^r etc donde r=1 es el horizonte de sucesos en T= +/-X y la singularidad que es un límite donde r=0 en T +/- Sqrt[X^2 + 1]
Se cambian variables para que el espacio-tiempo gire q=T-X y p=T+X quedando el límite de la singularidad en p= 1/q
Y ahora viene el meollo de la cuestión, Otro cambio, se cambian las variables (p, q) por (V,U) para que las coordenadas infinitas nos queden compactas en un espacio-tiempo finito
V= arctac(q) -> dV = 1/(1+q²) dq -> dq = (1+tan^2 V)dV
U=arctac(p) -> dU = 1/(1+p²) dq -> dq = (1+tan^2 U)dU
Quedando
ds^2= (4/r)*e^(-r) * (1+q^2)*(1+p^2)·[-dV · dU]
Y aquí la cuestión. Esta configuración YA NO es plana
Se vuelve a girar Tau=U+V R=U-V etc y de las cuatro secciones que resultan se eliminan dos y se dejan dos por considerar meros artificios matemáticos las dos que se eliminan (Como los números imaginarios o la predicción de la antimateria)
#2 " " no un emoticono
Defiendo el Maxima con wxMaxima y GnuTexmacs que son libres etc pero realmente escribir eso para el Maxima es un poco coñazo y el W Mathematica es más sencillo. Por ejemplo 50 dígitos de Pi:
wxMaxima
fpprec:50;numer:true$bfloat(%pi);
Mathematica
N[Pi,50]