Pues después de una charla muy amena de triángulos, recordé uno de rectángulos que me pareció interesante, de un curso INTEF. El suelo de una habitación de planta rectangular está enlosado con un número de baldosas en cuadrícula (supongamos m x n), rectangulares, enteras y exactamente iguales. Una hormiga se decide a cruzar la habitación en línea recta, de esquina a esquina y por la diagonal. ¿Cuántas baldosas pisará la hormiga?
Portada
mis comunidades
otras secciones
Comentarios
Yo lo he hecho por mi cuenta y me salió esta fórmula:
1 + (m-1) + (n-1) - ( MCD(m,n) - 1)
explicación:
1 baldosa inicial
(m-1) numero de baldosas horizontales que se cruzan
(n-1) numero de baldosas verticales que se cruzan
(MCD(m,n) - 1) número de esquinas que se cruzan. Este número hay que restarlo porque en cada esquina cruzamos al mismo tiempo una baldosa horizontal y otra vertical, pero solo pisamos una baldosa nueva, no dos.
y como al sumar todo los unos se cancelan unos a otros la solución final es:
m+n-MCD(m,n)
que viene a ser exactamente la misma solución de fantomax, pero expresada en los parámetros que nos han dado.
#1 ¡Genial! Es el típico problema que el enunciado parece trivial... pero después se atasca. A mí me sorprendió mucho y había quedado encantado al resolverlo
Spoiler, no votarlo para que no salga destacado y rompa la magia.
Sea d=mcd(m,n) y m=da, n=db
a y b son primos entre sí, así que cada rectangulito de dimensiones axb a lo largo de la diagonal de la habitación no tendrá en su interior ningún cruce que coincida con la esquina entre baldosas. De este modo se cruzan a-1 linesa interbaldosa horizontales y b-1 lineas verticales, por cada una de las cuales se añade una baldosa pisada a la cuenta, que se inicia en 1, así que en cada una de estas "etapas" del viaje se pisan 1 + (a-1)+(b-1)= a+b-1 baldosas.
Como esto ocurre d veces, el número de baldosas que pisa mi hormiga es (a+b-1)d
#2 Cuando se hacen muchos problemas al final salen bastante bien.
Este se lo voy a plantear a mis alumnos, me ha gustado.
#4 De acuerdo. Yo también lo razoné de esa forma. ¡Saludos!