Demostrar que la diferencia entre los valores numéricos de las expresiones (x³+y) y (y³+x) es siempre divisible por 6 si x e y toman valores enteros
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Comentarios
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Da miedo la palabra "demostrar" pero de verdad que es sencillo.
x e y tienen que ser valores enteros y distintos, ¿no?
A no ser que 0 se considere divisible entre 6
#2 Cero es divisible por cualquier entero, pues 0*n=0
#2 Da cero... 0 dividido entre 6 el resto es cero.. se puede considerar divisible.
Tendria que volver a las clases de analisis matematico...
Wolfran dice que...
((x^3 + y) - (y^3 + x)) mod 6 = 0
Por lo tanto...
-6 *(1/6 (x^3 - x - y^3 + y)) + x^3 - x - y^3 + y = 0 es TRUE
Y ahora que se usar el geogebra, me voy a dedicar a los triangulos. No pienso volver a clases de analisis matematico.
(x^3+y) - (y^3+x) = (x^3-x) - (y^3-y). Esta expresión nos sugiere intentar demostrar que, para cualquier N entero, N^3-N es múltiplo de 6.
Ahora bien: N^3-N se puede expresar como N*(N^2-1). Y sabemos que N^2-1 es igual a (N+1)*(N-1). Entonces, N^3-N es igual a (N-1)*N*(N+1), esto es, el producto de tres números enteros consecutivos.
Y dados tres números enteros consecutivos, sabemos que siempre hay exactamente uno que es múltiplo de tres; y también sabemos que hay al menos un número par (puede ser N, o pueden ser tanto N-1 como N+1). Entonces, N^3-N es múltiplo de 3 y también de dos, por lo cual es múltiplo de mcm(3,2) = 6.
Como N^3-N es múltiplo de 6 para cualquier N entero, entonces x^3-x, así como y^3-y, lo son también, puesto que x e y son enteros.
Así pues, (x^3+y) - (y^3+x) = (x^3-x) - (y^3-y) es la diferencia de dos números múltiplos de 6, y por lo tanto también es divisible por 6.
#4 Admito mi alcoholismo. Tu ganas
Pero a las 7 de la manyana aun voy fresco.
#4 Muy perfecto.
#4 2+3+4 = 9 que no es divisible por 6...
#10 Es el producto, no la suma. 2*3*4 = 24, que sí es divisible por 6.
#11 si si me di cuenta aluego... vine a comentar que era una cagada mia.
#11 Me costó pillar lo del mcm... ahora lo entiendo, si digo lo mismo que tú con otras palabras.
Al ser par, su descomposición en producto de primos tiene un 2 * ...
Al ser multiplo de 3, su descomposición en primos tiene un 3 * ...
Y como todo se multiplica, puedes juntar 2 * 3 * ...
Me costó pillarte.
#4 Hacia decadas que jugaba a estos juegos, neuronas oxidadas y no creo que hubiera llegado a caer en los nº correlativos => multiples de 2 y 3, genial! muy buena.
Se va descomponiendo el polinomio hasta dar con una cosa parecida a 6 x [....] y yasta hecho, pq valga lo que valgan x o y siempre se multiplicarán por 6 y por lo tanto el resultado final es divisible por 6.
Me da que al estar dos elementos elevados al cubo va a haber un 6 en alguna parte...