Ato un lazo normal de raso con un nudo corriente, pero cuidando de que la cinta no se arrugue, que quede bien estirada y ciño todo lo que puedo la lazada , dejando todos los tramos lo más pegados posible a los pliegues que los circundan. Todo queda como el dibujo:
Demostrar que el pentágono es regular, es decir, que todos sus lados y ángulos son iguales entre sí.
Comentarios
Yo haría un segundo pentágono con la cinta que sobra. Después comprobaría que tiene las mismas dimensiones y ángulos que el primero. Esto lo haría poniendo un pentágono sobre el otro y girando uno de los pentágonos sobre el otro.
Si fuesen pentágonos regulares deberían de superponerse perfectamente cada vez que girase uno de los pentágonos.
#2 Con papel del rollo de w.c. sale perfecto
#2 Eso es una comprobación empírica sujeta a error. El ojo humano no distingue lo perfecto de lo imperfecto, pero el intelecto sí.
#6 De acuerdo. Toda la razón. ¿Qué instrumentos se tienen? ¿Se pueden usar reglas y medidores de ángulos?
#9 Es posible hacerlo sólo deduciendo, sin ningún instrumento. Los instrumentos de medida también tienen error.
#3 #2 #5
Ánimo, por ejemplo se puede uno ir fijando en los paralelogramos que salen por ahí si miras los trozos de cinta que están ocultos tras otros. Los paralelogramos son muy amables por sus propiedades.
#11 Es que estoy bloqueado porque no se puedan usar reglas ni medidores de ángulos, porque cualquier idea que tenga puede estar sometida a errores de observación. Por ejemplo, los paralelogramos de los que hablas ¿Cómo estás seguro de que son paralelogramos matemáticamente perfectos?
La otra alternativa que había pensado es:
Para hacer el pentágono con la cinta se hacen tres dobleces, o tres puntos en los que la cinta cambia de dirección, en el sentido de las agujas del reloj, saltándose una cara del pentágono cada vez. Si hicieses otros dos dobleces más, con el lado de la cinta derecho, (siguiendo el mismo patrón), terminarías en el mismo punto que empezaste, con el extremo final de la cinta orientada en la misma dirección que el extremo inicial, o extremo izquierdo.
Esto demostraría que en cada doblez se hace un ángulo de 72º, un quinto cada vez.
Pero claro, puede ser que no termine e-x-a-c-t-a-m-e-n-t-e en la misma dirección que el extremo izquierdo.
#12 A ver, si yo cruzo dos tramos de cinta con lados paralelos (hipótesis del problema, la cinta de raso es de las buenas) siempre es un paralelogramo. Además, si ambos tramos son del mismo ancho, ese paralelogramo tiene algo especial.
#12 Creo que el resultado que espera
fantomax es del tipo:
AnguloA = AnguloB...
Lado1=Lado2...
Sin tener que medir, imaginando un nudo perfecto.
Si demuestras que el pentágono esta formado por tres trapecios iguales y que los lados de los trapecios son iguales a su base corta, ya tienes 5 lados y ángulos iguales.
#14 Exactamente a eso me refiero, argumentos geométricos suponiendo el nudo perfecto.
#11, te he leído hoy y me has picado. He imaginado que estoy en la cinta como si fuera una carretera, y me fijo en el borde derecho. Avanzo por el nudo y lo voy siguiendo. Pasamos en este orden por los segmentos a, b, c y d (en rojo, sin mirar la parte emborronada con negro). Si hacemos lo mismo con el borde opuesto (en azul, por ejemplo) vemos trapecios que se solapan, y coincide que el lado mayor del trapecio es exactamente igual que la diagonal. Supongo que por aquí van los tiros. Los lados azules y los rojos deben medir lo mismo (la cinta es recta, no curva: sus dos bordes son de la misma longitud).
#16 Hay muchas maneras de hacerlo, esta puede ser una manera. El dibujo de la izquierda, de antes de apretar el nudo, está ahí para ver bien por dónde van partes ocultas del lazo.
#17, ¿entonces me das un cacahuete de premio?
He hecho lo mismo con el "lado azul" para visualizarlo. la longitud de a+b+c+d es la misma que la de e+f+g+h forzosamente.
Falta demostrar que b, d, g y e miden lo mismo entre sí. Lo mismo para a, c, f y h. Ahí es donde entraría el tema de que las diagonales y el lado mayor del paralelogramo (adeg, por ejemplo) son iguales.
Edito: también tenemos que a y e son paralelos forzosamente. Lo mismo con d y h; b y f; g y c
#18 Es un camino que no he eplorado mucho, y me parece realmente creativo e interesante. También te tienes que apañar con los ángulos, no lo olvides.
#19 El problema mas duradero del sub.
Yo no escribo mas del tema, me perdio google...
Un abrazo a nuestro querido Fluffy @--92492--
#19, mucha dedicación para muy poco avance, jajaja. Te comento en un par de comentarios lo que he conseguido (si me da tiempo).
Siguiendo el razonamiento de ayer de que a+b+c+d = e+f+g+h, y quitando el nudo a la cinta, se demuestra fácilmente que 1) los ángulos rojos del dibujo son iguales. 2) los segmentos rojos (de nombre g y b) son iguales.
Ya tenemos al menos que dos lados son de la misma longitud.
#21 Podría usar un argumento de simetría, pero "desacer el nudo " no me parece una demostración.
#22 ESto de los segmentos paralelos es el principal argumento que yo tengo en mi demostración. Lo que veo es que los paralelogramos son de hecho rombos y eso me hace que los ángulos a los lados de sus diagonales sean el mismo. Y de ahí que sean iguales entre sí y que sean un quinto de un llano (36º) y todo el resto rueda cuesta abajo.
Buen trabajo, se nota que te has esforzado mucho en sacarlo.
#27, gracias. Es verdad que me he esforzado bastante pero sin conseguir demostrarlo del todo. Me llamó mucho la atención que puedas conseguir un pentágono regular tan fácilmente con algo "natural". No sabía que se podían crear tan fácilmente.
Respecto a lo que comenté en #21, te intento demostrar de forma más clara lo de deshacer el nudo. Hay que tener en cuenta los pliegues al orientar los segmentos de los extremos. Dejo los segmentos con los nombres de los dibujos de #16 y #18. Como la suma abcd es igual a efgh, los ángulos rojos han de ser iguales. ¿Te vale así?
#28 Eso es mejor sí.
Enhorabuena, buen trabajo
#29 Me gusto lo de www.hackerrank.com pero sigo mirando el sub a diario.
Sois lo mejor
#19, por otra parte, se demuestra fácil (cómo cortan segmentos paralelos entre sí) que los ángulos de idénticos colores son iguales. Faltaría demostrar que también son iguales entre diferentes colores.
Y, tal vez, contiunará dentro de un rato... (creo que puedo demostrar que los segmentos f y c miden lo mismo).
#22 'Animo!
#19, extiendo b y g hacia abajo. Como b y f son paralelas, y g y c son paralelas, está claro que formo un rombo con c, f y los dos segmentos negros (les falta un trozo). Así que c = f.
Como b=g, y estos forman entre ellos un ángulo de los rojos (el ángulo de abajo del rombo, que no se ve), se demuestra fácil (por su simetría) que los segmentos cruzados a y h miden lo mismo entre sí.
Ya tenemos, hablando de longitudes de segmentos, que
1) b=g
2) c=f
3) a=h
4) a+b+c+d=e+f+g+h (de mis comentarios de ayer)
Sustituyendo 1), 2) y 3) en 4) y eliminando, se deduce que:
5) e=d
#19, por el mismo razonamiento (que se intuye en la simetría) de #24, vemos que los ángulos celestes y verdes son iguales. Así que los pinto todos verdes. Y además también sabemos que los nuevos segmentos morados son paralelos entre sí. De ahí sacaremos más ángulos...
#19, tenemos ahora una nueva hornada de ángulos morados iguales entre sí. Y muchos triángulos con los que hacer ecuaciones sabiendo (por ejemplo) que suman 180º. Me da la sensación que estoy dando 1000 rodeos para algo que se explicaría con mucha más claridad y brevedad.
2 morados + 2 verdes + 1 rojo = 180º
No tengo la solución, pero creo que los tiros van por la relación entre el lado del pentágono y el ancho de la cinta. Tenemos el ángulo rojo que es de 90º, y luego se detecta el ángulo restante (seguro que se puede calcular fácil, pero no lo he hecho) en color azul. En el triángulo que se forma, el cateto mayor es el ancho de la cinta. La hipotenusa es el lado del pentágono.
¿Va por ahí?
#5 Yo empezé más o menos por ahí. Tengo varias demos distintas, he elegido la que me parece más elegante.
Como no tengo idea de resolverlo, empíricamente, haciendo el nudo y dibujando los pliegues, sale un paralelogramo formado por 4 trapecios y su base estrecha (parece) mide el ancho de la cinta. Es posible (a ojo) que la base ancha sea igual a sus diagonales.
Por si sirve de algo a alguien...
#1 Está todo equivocado en #1
Los lados del pentágono están formadas por los lados del trapecio.
El pentágono suma de sus ángulos tiene 540º, entre 5 lados da 108º por vértice.
Cada vértice está formado por 3 triángulos isósceles (tres diagonales del trapecio)
El angulo de los laterales del trapecio debe ser 108/3=36º
Y aquí si que me quedo. Incapaz de demostrar nada...
#3 Demostrar es siempre un poco delicado, pero cualquier cosa que digas puede ser pie para que otras personas avancen más lejos, Además de trapecios ahí hay figuras con más regularidades y que nos permiten avanzar