Las longitudes de los lados de un triángulo obtusángulo son:10, 17 y x. Si x es un número entero,
¿cuál es la suma de los posibles valores de x?
No es complicado, son enteros positivos, lo peor que puede pasar es que mires los números del uno al infinito uno a unos
Para que no nos aburramos un poco más difícil, pero en la misma linea:
Isa tiene 30 varillas, de longitudes enteras y diferentes, entre 1 y 30 cm. Toma tres de ellas, de
longitudes 3 cm, 7 cm y 15 cm y las coloca encima de una mesa. Debe elegir una cuarta para
formar con las cuatro un cuadrilátero. ¿Cuántas de las 27 restantes puede elegir?
Comentarios
Perdón, 351 es la suma. El 325 era de otra cosa que estaba haciendo en paralelo a este ejercicio.
#13 La magia de Gauss es tan buena que la fórmula sirve incluso cuando sumas un número impar de elementos. Por ejemplo, de 1 al 5:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Si aplicamos n(n+1)/2 -> 5 * 6 / 2 = 15.
También se pude emplear (tras una adaptación) cuando no empezamos en el 1; en este caso la fórmula para sumar todos los enteros desde a hasta b es:
(b-a+1)*(a+b)/2
Por ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = 18
(6-3+1)*(3+6)/2 = 4 * 9 / 2 = 18
Puedes llegar a esta expresión haciendo lo siguiente:
1. escribes el sumatorio de todos los valores desde 1 hasta b
2. restas el sumatorio de todos los valores desde 1 hasta a.
3. añades otra vez el valor de a, porque en el segundo paso lo has suprimido.
Si te fijas, el primer término de la suma adaptada [b-a+1] es el número de elementos que hay entre a y b, ambos inclusive. El término [(a+b)/2] es la media aritmética entre los valores de los extremos. La fórmula es análoga a la del área de un trapecio rectángulo.
Y, de nuevo, también sirve para impares.
#17 Claro, no he dicho lo contrario. De hecho tan sólo 2 serán isósceles: con c = 10 y con c = 17. Los demás serán escalenos y por supuesto ninguno será equilátero.
Lo que ocurre es que para resolver el problema no basta con que contemos cuántos triángulos se pueden formar con laterales 7, 17 y c, siendo c un entero tal que 7 < c < 27. Debemos descartar los triángulos que no sean obtusos, si es que hay alguno, o demostrar que todos los valores de c que cumplen la desigualdad triangular generan triángulos obtusos. Demostración que no podemos hacer ya que el isósceles 10, 17, 17 no es obtusángulo (sí lo es 10, 17, 10). He hablado de los isósceles por dar una pista de un caso que fallaba.
#8 Si los catetos son 10 y 17 marcaría el "límite" el rectángulo cuya hipotenusa h=raíz(389). Si la hipotenusa es 17 y el cateto menor 10, el cateto restante nos marcaría el límite de 3*raíz(21). Por lo que para que sea obtusángulo el tercer lado tiene que ser x > 19,7 ó x < 13,7
Por la desigualdad triangular, tiene que ser >7 ó
#9 Acotar es una habilidad que no se trabaja mucho en la educación matemática, pero es realmente útil.
¿Y quién se anima con los cuadriláteros?
En este caso hay que aplicar desigualdades triangulares un par de veces.
#19 ¿No és un x>5 && x
#20 Yo a lo mejor peco de exceso de celo, pero pillé dos a dos las tres varillas que tenía y calculé las posibles diagonales que se daban para formar triángulos con cada pareja y de ahí si se podía o no hacer el otro triángulo con esa diagonal y la varilla que no había usado aún.
#21 Pero si es un cuadrilátero, el lado máximo 15 menos la suma de los otros dos (3+7) no se puede reducir... => x>5
De la misma forma la suma de los tres lados (7 + 3 +15) podemos cubrirlo como máximo con un lado de 25, y de aquí x
#22 Está acotado, ¿pero de verdad todos esos se pueden construir?
Falta retirar la varilla del 7 y la del 15 que ya están usadas, pero eso es un detalle idiota.
Perdón. Al final me estaba respondiendo a mí mismo...
#23 pero no entiendo para que usas los triángulos en este problema... Se nota que eres matemática No veo los que no se pueden construir. Entre 5 y 25 (y excepto con los usados de 7 y 15) creo que se pueden montar el cuadrilátero siempre. ¿No? Perdón por dar la lata. Un contraejemplo, please...
#25 Puede que no haya contraejemplo, pero en todo caso no está demostrado que la condición que has dado sea suficiente, sólo que es necesaria. Voy a mirar más de cerca.
#23 Y lo de que se nota que eres matemática lo decía sin segundas. Era por admiración. Los arquitectos somos unos chapuzas. Lo estoy razonando con un croquis cutre a estilográfica.
#27 Cada uno tiene sus habilidades. A nosotros nos gusta demostrar.
#20 pero no entiendo para que usas los triángulos en este problema... Se nota que eres matemática No veo los que no se pueden construir. Entre 5 y 25 (y excepto con los usados de 7 y 15) creo que se pueden montar el cuadrilátero. ¿No? Perdón por dar la lata.
#14 Pues no, de los triángulos que se pueden formar sólo algunos son obtusángulos.
#13 sirve para cualqueir progresión aritmética, no importa el número de términos.
El problema se trata de usar la desigualdad triangular así que no 7-10-17 no es un triángulo.
Veo que ambos problemas siguen la misma estructura de otro puzzle que nos propuso un profe hace años en el ciclo formativo de programación: "qué condiciones deben cumplir 3 segmentos para poder formar un triángulo?"
La respuesta a la primera pregunta es que el segmento con valor X no puede ser mayor a 27 cm (si no, el triángulo no cerraría). Así que ala, a sumar todos lso valores comprendidos entre 1 y 27 (que no pienso hacer por pura vagancia).
La respuesta a la segunda es: cualquiera de las 27 restantes que no supere los 24cm.
#2 Eso es lo que en mates llamamos la desigualdad triangular. El tercer segmento está acotado entre la suma y la resta de dos de los lados.
#5 Exacto, ese es el ejercicio que nos pusieron en clase en el ciclo formativo, deducir nosotros mismos ese teorema (igual alguno en clase ya lo conocía y se cayó como un putas, pero yo ya digo que no lo conocía. Creo que lo acabé sacando al final por pura potra probando con otros compañeros segmentos de papel que fuimos recortando
).
Al ver que casi nade lo sacó, al año siguiente lo metieron como pregunta en un examen.
#2 Nope, 1 no te sirve. No puedes construir un triángulo con lados de 1, 10 y 17.
Por cierto, existe una fórmula muy elegante para sumar todos los números de 1 a N: la suma de Gauss. Se cuenta que la obtuvo con 9 años. Es fácil de adaptar para sumar todos los enteros entre A y B.
Por último, una consideración: un polígono con lados 7, 10 y 17, ¿es un triángulo? Porque tendría área 0...
Bonus: ¿todos los triángulos que te estás imaginando son realmente obtusángulos? ¿Qué relación tiene que haber entre las "patas" o "brazos" y la "base" de un triángulo isósceles para que sea obtusángulo?
#7 Sí, la suma de Gauss la conozco, era eso de: de 1 a 100 se pueden hacer 50 sumas y todas suman 101, así que para sumar rápidamente los 100 primeros números enteros, es 50 * 101. Puto Gauss, era un jodido genio.
Solo que no se me había ocurrido aplicarlo en este caso (porque creo que solo sirve cuando la cantidad de números a sumar es par, no? Si has de hacer X parejas de números...), busqué otra manera y me salió esto: https://es.wikihow.com/sumar-5-n%C3%BAmeros-consecutivos-r%C3%A1pidamente
Por último, una consideración: un polígono con lados 7, 10 y 17, ¿es un triángulo? Porque tendría área 0... ;)
Sí, eso lo pensé a posteriori... pero muy buena apreciación, jeje
#7 Muchos de los triángulos que consideramos no son isósceles, sino escalenos
a) 63?
b) 6, 8, 9, 10, 11, 12 , 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24...
¡Creo :-P, estoy un poco espeso! Voy a ver con el Geogebra. Saludos!
#1 Por intentarlo de nuevo... No son 63
a) Creo que no son posibles los valores de x = porque sería acutángulo.
Por lo tanto, creo que sería la suma de 8 + 9 + 10 + 11 +12 + 13 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 224
b) Aquí lo veo más complicado. No podemos superar los 24cm., pero tampoco podemos bajar de 6cm. Por lo que mi respuesta es: 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ,14 ,16 ,17 ,18 ,19 ,20, 21, 22, 23, 24
A ver... PS. Bonito problema.
#6 En el problema del triángulo tengo que acotar entre lo que te dice el teorema de pitágoras y la desigualdad triangular. Y considerar que el tercer lado puede ser el mayor o no.
Al final he hecho la suma de todos los valores que puede tomar X desde 1 hasta su tamaño máximo de 26 (no 27, que antes me he colado. Si midiera 27, el triángulo quedaría colapsado en una linea recta). Y me ha salido 325. Ya me direis si lo he hecho bien o si he hecho un ridículo espantoso (yo voto por lo segundo, que ya me conozco).
#3 ¿Pero todos serían obtusángulos?
#11 Pues ahí ya no lo sé. Yo pensaba que lo de obtusángulos era solo para despistar.