Tengo 144 cubitos de madera, exactamente de 1 cm de arista cada uno de ellos. Formo con todos ellos prismas cuya base tiene exactamente 20 cm de perímetro, y anoto la altura de cada uno de los que cumplen esto. Si sumo todas esas alturas, ¿qué número obtengo?
Portada
mis comunidades
otras secciones
Comentarios
#20
Por si no quedó claro...
En mi respuesta quería expresar que el enunciado tiene ambigüedades, que dan lugar a distintas formas de entender el problema.
Se dice "Formo con todos ellos prismas".
El decir "con todos ellos" parece dejar claro que hay que usar todos los cubitos... pero no se sabe si
A. es usar 144 cubitos para formar un solo prisma, y luego deshaces ese y formas otro con todos ellos.
O bien, como lo entendí yo:
B. formas varios prismas de forma que hayas usado los 144 cubos para formar esos n prismas... En mi caso yo formé 6 prismas de altura 1, o bien 3 de altura 2, o bien 2 prismas de altura 3 (el de un prisma de altura 6 lo descarto porque entendí que había que formar varios).
Luego está lo de convexidad... Si el enunciado quería dejar claro la necesidad de que sean convexos debería haber dicho "paralelepípedo" en lugar de prisma. Un prisma, por definición tiene como base un polígono, pero puede ser irregular, claro está (si fuese base regular en este caso debería ser base cuadrada = 5x5), y puede ser cóncavo, por supuesto.
Esto abre numerosas posibilidades, y el problema no es tan sencillo.
Suponiendo el problema en su forma A.
A1: 1x9x16 = 144; 9+1+9+1 = 20
A2: 2x8x9 = 144; 8+2+8+2 = 20
A3: 4x6x6 = 144; 6+4+6+4 = 20
A4: base perímetro 5+5+4+1+1+4 = 20;
área = 24
altura = 6
Esa base se formó quitando una esquina al 5x5
Pero hay otras figuras que se forman quitando 1 cubito a la base de 5x5.
A5: Por ejemplo, quitando un cubito del centro de un lado.
LLLLL
LLLLL
LLLL
LLLLL
LLLLL
Perímetro: 5+5+2+1+1+1+2+5 = 20
área = 24
altura = 6
A6:
Quitando un cubito de la segunda posición de un lado:
LLLLL
LLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLL
Habría otro que tiene simetría especular, aunque no simetría de rotación, que se formaría quitando un cubito en la cuarta posición:
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLL
LLLLL
Pero hay muchos más.
Incluso, con otra altura diferente a las consideradas antes.
Antes se consideraron:
base 9, altura 16.
base 16, altura 9
base 24, altura 6
Pero también se puede con base 12 y altura 12:
A7:
Variante del área 3x7 = 21 quitando 9 cubitos, quedan 12.
Ejemplo:
LL
LLLLLLL
LLL
perímetro: 3+2+1+5+1+4+1+3= 20
Voy a ver las diferentes alturas posibles:
Para formar 144 = 2^4 * 3^2 = 2*2*2*2 33
Podemos ver los divisores de 144:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 y 144.
Y ver si alguna de esas áreas (en cm^2) pueden las de una base que tenga perímetro 20.
1: No puedes tener un perímetro de 20 con 1 cubito, el perímetro es siempre 4.
2: No puedes
3: No puedes
4: No puedes
6:
Con base 6 cm^2 no puedes tener perímetro 20. A lo sumo, llegas a perímetro 14.
--L
--LL
LL
L
8: Sí se puede, altura = 18
----LL
--LL
--L
--L
--L
LL
9: --> hecho 1x9 x 16
12: hecho en el ejemplo A7: altura 12
16: ---> hecho 2x8 x 9
18:
Puede hacerse quitando 3 a un 7x3
Altura: 8
24: ---> hecho 4x6 x6
36:
36 = 6x6 y el perímetro se nos pasa: 6*4 = 24.
No podemos hacer menos de perímetro 24
Con otras bases mayores de 36 también nos pasaremos de perímetro.
RESUMEN:
Las diferentes alturas que pueden tener los prismas son:
18, 16, 12, 9, 8, 6
La suma: 18+16+12+9+8+6 = 69
Bueno, esta respuesta es para la suma de las diferentes alturas... y no la suma de las alturas de prismas diferentes... pero es que esa otra variante llevaría mucho más tiempo.
El enunciado dice "anoto la altura de cada uno de los que cumplen esto" así que entiendo que se permiten prismas diferentes con la misma altura... pero, claro, a ver quien resuelve eso sin ordenador en el tiempo que dan para el ejercicio!
#20 Metí la pata en #21
A5 y A6 tienen perímetro 22...
El perímetro se conserva cuando se quitan cubitos de las esquinas pero no en mitad de un lado.
--------
A5: Por ejemplo, quitando un cubito del centro de un lado.
LLLLL
LLLLL
LLLL
LLLLL
LLLLL
Perímetro: 5+5+2+1+1+1+2+5 = 22
-----
Esto hace que en el 5x5 solamente pueda quitarse de 1 esquina, que es equivalente por rotación a cualquier otra esquina.
La figura formada quitando de el de 3x7 sí sería válida porque quité de esquinas... pero ahí podrían formarse muchas figuras (polígonos) de perímetro 20.
Por último: asumí una cuadrícula, pero si los cubos pueden estar desplazados un valor que sea un número real entonces habría infinitos prismas.
L
LLLLLLL
LLLL
perímetro =
= x + 1 + 1 + 1 + (7-1-x) +1+3+1+4+2 =
= 1 + 1 + 1 + 6 +1+3+1+4+2 =
= 20
Para todo x real entre 0 y 6 (intervalo abierto)
se forma un polígono de 10 lados con perímetro 20 cm.
Uhm, #0, a ver que quede claro. Se forma prismas en los que se usan todos los cubos, ¿no?
Sencillito este.
@admin, ya me pasó una vez, la página iba rara aquí y para escribir el comentario #1 al bajar para llegar al botón enviar se me subía. He podido bajar hasta medio botón y hacer click.
Y para escribir el mensaje que estoy escribiendo ahora, no podía bajar hasta la caja de comentario por lo mismo, he tenido que cambiar el ancho de la ventana y ya me deja. Se ve que es un problema debido al tamaño de ventana o algo. Quizá tenga que ver algo con el hueco que queda entre el texto del meneo y la publicidad, justo para que los comentarios empiecen después de la columna de la derecha. Desd el principio de la página queda un hueco ahí (véase captura adjunta), pero si desplazo la página desaparece el hueco subiéndose toda la parte de comentarios.
Chrome en Ubuntu y resolución de pantalla 1920x1080. Me pasó lo mismo anteriormente también en un artículo corto.
@admin, sigue de #2. ahora con el tercer comentario ya no tengo el problema, lo mismo que la otra vez, con suficientes comentarios ya no da el problema aunque lo del hueco que aparece y desaparece sigue pasando, subo captura para comparar.
Es curioso,@admin a mi también me pasa lo mismo que #3 de hecho me pasa ambos a la vez. Uso chrome ultima versión en windows 10 ultima versión, e igual, resolución fulll hd.
Si pongo la pagina arriba del todo se ve ese espacio en blanco, en cuanto bajo un poco se pone correcta. Tiene que ver con la sección derecha (el "margen" donde el menéalo, clicks, fantomax, cometarios, etc). Cuando esta arriba es cuando da el fallo, pero en cuanto "sigue" al contenido se pone todo correcto,
#4, la cosa es que con pocos comentarios (0 ó 1 el problema es que es difícil o imposible acceder a la caja de escribir comentario, salvo que redimensione ventana). Me había pasado solo una vez antes aquí, de hecho en este sub donde sueles encontrarte con artículos cortos.
#1 Es sencillo, ciertamente, pero estaba en la olimpiada matemática de este año, nivel bachillerato. Se ha presentado una alumna y si mando a alumnos hacer problemas los resuelvo yo todos, aunque los haya planteado otro.
#5, pues más o menos me he ido enterando de los problemas de olimpiadas y diría que con diferencia es el más sencillo que ahora mismo recuerdo. Esta fase debe de haber sido del mes pasado o algo así, ¿no?
#7 Es la muy primera, y sí, me ha parecido muy fácil.
#12 Bueno, casi lo tienes...
#10 Eso lo haces en segundos aprendiendo la teoría de conjuntos y grupos
Que es justo lo que estoy repasando para las malditas redes neuronales. Tengo memoria de pez, por eso me hice administrador de sistemas.
#11 #10 Los combos son 9x1, 8x2, y 6x4
Solo nos sirven las bases siguientes 9x1, 8x2, 7x3, 6x4, 5x5; de perímetro 20
La base 9x1 tiene 16 alturas
La base 8x2 tiene 9 alturas
La base 7x3 tiene 6,857 alturas
La base 6x4 tiene 6 alturas
La base 5x5 tiene 5,76 alturas
Si cogemos solo los prismas completos, osea que no tenga decimales, las alturas serán:
16 + 9 +6 = 31 cubos
Creo que esto, ¿no?
#15 Muy sencillito, como decíamos. Enhorabuena.
#15 Esos que has dicho son las bases de prismas cuadrangulares...
El enunciado decía " prismas cuya base tiene exactamente 20 cm de perímetro".
El enunciado no decía que fuesen cuadrangulares.
Hay prismas cuya base tiene 6 lados (hexagonales, hexágonos no regulares, ni convexos):
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLL
Ahí hay una base formada por 24 cubos.
Con esa base puedes hacer un prisma con 24 cubos * 6 de altura: 24*6 = 12*12 = 144
O puedes hacer 6 prismas de altura 1. La suma en este caso es 6.
He hecho 6 prismas de altura 1 (o bien 3 de altura 2, o 2 de altura 3... ) ... usando los 144 cubos, y cada prisma tiene base con perímetro 20. En todos los casos, varios prismas de forma que si sumamos las alturas da 6.
#16
#17 No sé cómo piensas formar algo distinto de un rectángulo con bases de cubos...
#18
Te lo he dibujado.
coloco 5 filas de 5 cubos, eso son 25 cubos, y quito un cubo de una esquina, y queda el mismo perímetro pero en lugar de ser base cuadrada es hexagonal (6 lados: un lado de 5, otro de 5, otro de 4, otro de 4 y 2 lados de 1 cm)
#19 Vale, había asumido la convexidad, ciertamente. Gracias
O se no entiendo el problema, la pregunta es si debo usar TODOS los cubitos para hacer el prisma
#9 Vale, haces la descomposicón en primos para ver divisores de 144...
son 2^4 y 3^2
los mezclas en combinaciones para ver cunatas dan 20 y tachaan
#9 Sí, todos ellos.