Cuadrados con la T del tetris

Considerad un tablero de ajedrez e intentar rellenarlo usando la típica pieza en forma de T del tetris, es decir, la pieza formada por 4 cuadrados del tamaño de las casillas, 3 de ellos alineados y el cuarto en un lado del centro de la línea. Hasta aquí fácil, de hecho se puede hacer lo mismo con un cuadrado de 4x4 de forma muy sencilla (véase imagen en primer comentario).

Ahora inténtalo en un cuadrado de otro tamaño. ¿En qué cuadrados los consigues? ¿Se puede a partir de algún tamaño? ¿Puedes determinar para cuáles puedes?

[#6 Desactivado]

#5, suelta el argumento, porque parece ser bastante distinto al que tengo yo en la cabeza.

[#7 fantomax]

#6 Para lados múltiplos de 2 hay misma cantidad de negras y blancas y sin embargo un nçumero impar de fichas de 4 que igualen el área. Habrá por tanto una más de las que tienen tres pongamos negras que de las que tienen tres blancas...

[#8 Desactivado]

#7, no creo que nadie entienda lo que acabas de decir, salvo yo porque es el mismo razonamiento que yo me sabía

[#9 fantomax]

#8 no me parece tan complicado...

[#10 Desactivado]

#9, la forma de decirlo, has hablado de blanco y negro cuando en el problema no se menciona ningún color. Pero vamos, dejémoslo así para que la gente lo siga intentando

[#11 fantomax]

#10 Hombre, nos entendemos, y los que han intentado otros problemas también lo pillarán.

[#14 Desactivado]

#13 lo vi en #7 . Muy elegante.

[#15 fantomax]

#14 ¡Gracias! Los razonamientos por invariantes pueden tener una belleza simple. Pasa lo mismo con el principio del palomar, a veces sorprende por simple.

[#3 Desactivado]

#2, uhm, está claro que con los múltiplos de 4 se puede pero... ¿Y el resto? Para 3, 2, 1 obviamente no. Para 5 es fácil ver que no. De hecho para impar es fácil ver que no. Pero ¿y para 6? ¿Y para 10?

[#13 fantomax]

#12 la diferencia entre negros y blancos es 0

[#19 Desactivado]

#18, https://es.m.wikipedia.org/wiki/Esvástica

[#17 Desactivado]

A raíz de ponerlo aquí se me vino a la cabeza una variante, ¿y rectángulos? Por ejemplo, ¿se puede rellenar uno rectángulo de 5x8? Es fácil ver que no, basta empezar a rellenar un lado de tamaño 5 e intentar seguir.

¿Y uno de 10x8?

Si el número de cuadraditos total es múltiplo de 8, no podemos usar el razonamiento que hemos usado aquí para descartarlo. No lo he pensado, pero tiene pinta de ser bastante más complicado.

[#1 Desactivado]

Aquí la imagen prometida. Podéis ver cómo es la pieza y cómo formar un cuadrado de 4x4. El de 8 se hace por ejemplo dividiéndolo en cuadrados de 4x4.

[#2 tnt80]

#1 ^{_{(se supone que sólo se podría en los que su lado sea múltiplo de 4)}}

[#4 Desactivado]

Múltiplos de 4 todos simplemente colocando #1 's pegados unos a otros.
Impares ninguno porque las casillas que ponemos son n x (número de casillas de una T) = n x 4.
Ya tengo un 75% de los números. ¿ Esto es notable, no ?
Estoy que me salgo

[#5 fantomax]

#4 Los múltiplos de 2 no múltiplos de 4 salen por un argumento de invariantes.

[#12 Desactivado]

#5 ¿ y el invariante es...?

[#16 Desactivado]

#4 En cuadrados de 4m x 4n seguro que se puede. Donde m y n son números naturales mayores que 0.

[#18 fpove]

#1 Eres consciente que se hace la esvastica ? eeh eeeeeeeeeeeeeeeh.