El cuadrado de la figura del primer comentario está dividido en 4 regiones por lineas que unen los vértices y los puntos medios de los lados. ¿Qué fracción del área del cuadrado está sombreada?
#13 Aunque si nos ponemos técnicos, no es un mal camino, la línea que va de la arista al punto medio es la misma que seguiría de arista a arista en un rectángulo de 2:1 (o de 1:2, lo que quieras), conforme se divide en ese punto, por los lados compartidos, podemos ver que, si decimos que, por lo que sea, el "cuadradito pequeño" tiene lado 1 (por hacer los cálculos fáciles), por los ángulos y lo que he dicho, el rectángulo de arriba habría de ser, necesariamente, un 1:2, o lo que es lo mismo, el doble de área que el pequeño, con el lado que no tiene común con él de lado 2, pero eso haría que el lado del cuadrado grande fuese 2, con lo que ya tenemos los lados de 3 de los rectángulos, y todos ellos con un 50% de gris, sólo se trataría de ir sumándolos, nos queda una porción muy pequeñita, que, por los ángulos ya dichos, si tiene lado 1, y se correspondería con un 1:2, el lado que nos queda sería de 0.5, con lo cuál tenemos que el área gris sería de un área la mitad del área del cuadradito pequeño. Si sumamos los lados de los cuadraditos pequeño y mediano, tenemos que el lado del cuadrado que hemos estimado sería 3, que podemos dividir en 9 cuadraditos de 1 para hacer más sencillos los cálculos.
Eso hace que:
- el cuadradito mediano sean 4 cuadraditos pequeños, sobre 9, siendo el 50% grises.
(1/2)*(4/9)=(4/18)
- el cuadradito pequeño sea el 50% de un cuadradito sobre 9:
(1/2)*(1/9)=(1/18)
- El rectángulo primero, sea el 50% de 2 cuadraditos sobre 9:
(1/2)*(2/9)=(2/18)
- El pequeño resquicio que nos queda, que sería el 50% de medio cuadradito sobre 9:
(1/2)*(1/18)=(1/36)
Si lo sumas todo sería:
(4/18)+(1/18)+(2/18)+(1/36)=(8/36)+(2/36)+(4/36)+(1/36)=(15/36)
#0 Haciendo "algo de trampa" me sale 5/12 más o menos (dividir el cuadrado por el punto donde se intersectan las dos líneas, comprobar que ese cuadrado es más o menos 1/9 del total, usarlo como medida para ver qué fracción de cada subcuadradito así obtenido estaba sombreada, y sumarlo todo )
#8 A ver, es correcto, pero no está demostrado.
Puedes comprobar que los triángulos de abajo a la derecha y arriba a la izquierda son semejantes (rectángulos isósceles con dos ángulos de 45 grados) mientras que el gris de abajo a la izquierda es semejante a los de arriba a la derecha. Con esa información marraneando un poco llegas a que a un lado hay 1/3 y al otro los otros 2/3, no sé si me sigues
#1 ¿La mitad del área? La he liado bastante para sacarlo, pero va foto. (No contaba con subirla, es un poco bastante caos).
Ps: no me deja subir la foto, no sale ningún error concreto, sólo no sube.
Sigo intentándolo.
#2 Uno, me encantan tus ejercicios fotografiados, que ya lo he dicho otras veces... Me gusta tu letra, no se lo digas a quien se pueda poner celoso, que me van a mandar manuscritos a mansalva...
Dos, hay argumentos sin trigonometría, pero los que tienen trigonometría también sirven. Se lo he puesto a chavales desde 3º de ESO, que no saben la definición de seno.
#7 A ver, hay un problema. Yo "comprendí" la trigonometría antes que la semejanza de triángulos (que es lo que imagino que usan los chavales de 3° de la ESO), entonces he mezclado un poco. ¿El resultado era ese entonces?
Gracias en cualquier caso por la molestia de ponerlos y por el follón de corregirnos
Edit, ya he leído que sí
De los dos triángulos sombreados, el mayor tiene los mismos ángulos que el menor y el lado que coincide con el del cuadrado el doble que el de su homólogo. Así las alturas son 2/3 y 1/3. El área del grande es 1/3 y el área del pequeño 1/12. Suman 5/12
Si nombramos las cuatro partes del cuadrado, empezando por la sombreada más grande y siguiendo el sentido del agujas del reloj, como A, B, C y D; tendremos que:
A+B = C+D = 2/4*L2
B+C = 1/4*L2
A+D = 3/4*L2
#21, uhm, no sé si entiendo lo que quieres decir con la respuesta a #14. En cualquier caso de las ecuaciones que ha puesto #14 no se puede deducir el valor de A+B, básicamente porque los vectores (1,1,0,0) (equivalente a A+B), (0,0,1,1) (equivalente a C+D), (0,1,1,0) (equivalente a B+C) y (1,0,1,0) (equivalente a A+C) son linealmente independientes
P.d. No he mencionado la última ecuación porque depende de las 3 primeras.
Comentarios
#19 Ooooooooooohhhhhhhhhh
#13 Aunque si nos ponemos técnicos, no es un mal camino, la línea que va de la arista al punto medio es la misma que seguiría de arista a arista en un rectángulo de 2:1 (o de 1:2, lo que quieras), conforme se divide en ese punto, por los lados compartidos, podemos ver que, si decimos que, por lo que sea, el "cuadradito pequeño" tiene lado 1 (por hacer los cálculos fáciles), por los ángulos y lo que he dicho, el rectángulo de arriba habría de ser, necesariamente, un 1:2, o lo que es lo mismo, el doble de área que el pequeño, con el lado que no tiene común con él de lado 2, pero eso haría que el lado del cuadrado grande fuese 2, con lo que ya tenemos los lados de 3 de los rectángulos, y todos ellos con un 50% de gris, sólo se trataría de ir sumándolos, nos queda una porción muy pequeñita, que, por los ángulos ya dichos, si tiene lado 1, y se correspondería con un 1:2, el lado que nos queda sería de 0.5, con lo cuál tenemos que el área gris sería de un área la mitad del área del cuadradito pequeño. Si sumamos los lados de los cuadraditos pequeño y mediano, tenemos que el lado del cuadrado que hemos estimado sería 3, que podemos dividir en 9 cuadraditos de 1 para hacer más sencillos los cálculos.
Eso hace que:
- el cuadradito mediano sean 4 cuadraditos pequeños, sobre 9, siendo el 50% grises.
(1/2)*(4/9)=(4/18)
- el cuadradito pequeño sea el 50% de un cuadradito sobre 9:
(1/2)*(1/9)=(1/18)
- El rectángulo primero, sea el 50% de 2 cuadraditos sobre 9:
(1/2)*(2/9)=(2/18)
- El pequeño resquicio que nos queda, que sería el 50% de medio cuadradito sobre 9:
(1/2)*(1/18)=(1/36)
Si lo sumas todo sería:
(4/18)+(1/18)+(2/18)+(1/36)=(8/36)+(2/36)+(4/36)+(1/36)=(15/36)
(15/36)= ((3*5)/(3*12))=(5/12)
cc/ #0
#0 Haciendo "algo de trampa" me sale 5/12 más o menos (dividir el cuadrado por el punto donde se intersectan las dos líneas, comprobar que ese cuadrado es más o menos 1/9 del total, usarlo como medida para ver qué fracción de cada subcuadradito así obtenido estaba sombreada, y sumarlo todo )
#4 ¿más o menos?
#5 A mi al sumar me sale eso
lo que pongo en duda es la fiabilidad del método 
#8 A ver, es correcto, pero no está demostrado.
Puedes comprobar que los triángulos de abajo a la derecha y arriba a la izquierda son semejantes (rectángulos isósceles con dos ángulos de 45 grados) mientras que el gris de abajo a la izquierda es semejante a los de arriba a la derecha. Con esa información marraneando un poco llegas a que a un lado hay 1/3 y al otro los otros 2/3, no sé si me sigues
#13 Pues por eso digo que es "hacer trampa"
#4 #6
Sí, son 5/12, mi argumento es más por razones de semejanza.
Figura
#1 ¿La mitad del área? La he liado bastante para sacarlo, pero va foto. (No contaba con subirla, es un poco bastante caos).
Ps: no me deja subir la foto, no sale ningún error concreto, sólo no sube.
Sigo intentándolo.
#2 menos que eso.
#3 No había dividido Ainf entre 2. Son 5/12 del área total ¿no?
(Ya hay foto arriba).
#2 Uno, me encantan tus ejercicios fotografiados, que ya lo he dicho otras veces... Me gusta tu letra, no se lo digas a quien se pueda poner celoso, que me van a mandar manuscritos a mansalva...
Dos, hay argumentos sin trigonometría, pero los que tienen trigonometría también sirven. Se lo he puesto a chavales desde 3º de ESO, que no saben la definición de seno.
#7 A ver, hay un problema. Yo "comprendí" la trigonometría antes que la semejanza de triángulos (que es lo que imagino que usan los chavales de 3° de la ESO), entonces he mezclado un poco. ¿El resultado era ese entonces?
Gracias en cualquier caso por la molestia de ponerlos y por el follón de corregirnos
Edit, ya he leído que sí
#10 Gracias por el interés en resolverlos.
De los dos triángulos sombreados, el mayor tiene los mismos ángulos que el menor y el lado que coincide con el del cuadrado el doble que el de su homólogo. Así las alturas son 2/3 y 1/3. El área del grande es 1/3 y el área del pequeño 1/12. Suman 5/12
ÁreaCuadrado= L2
Si nombramos las cuatro partes del cuadrado, empezando por la sombreada más grande y siguiendo el sentido del agujas del reloj, como A, B, C y D; tendremos que:
A+B = C+D = 2/4*L2
B+C = 1/4*L2
A+D = 3/4*L2
#14 Aaaaaahhhh
#16 Eeeeeeeehhhh
#18 Iiiiiiiiihhhh
#14 interesante, pero no sé si acotas suficientemente los grados de libertad del problema
#21, uhm, no sé si entiendo lo que quieres decir con la respuesta a #14. En cualquier caso de las ecuaciones que ha puesto #14 no se puede deducir el valor de A+B, básicamente porque los vectores (1,1,0,0) (equivalente a A+B), (0,0,1,1) (equivalente a C+D), (0,1,1,0) (equivalente a B+C) y (1,0,1,0) (equivalente a A+C) son linealmente independientes
P.d. No he mencionado la última ecuación porque depende de las 3 primeras.
Muy bueno, me ha hecho pensar un buen rato. Bendita semejanza de triángulos.