En el rectángulo ABCD, AB = 3 y BC = 4. El punto E es el pie de la perpendicular desde B a la
diagonal AC. ¿Cuál es el área del triángulo AED?
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Se puede calcular usando sólo el teorema de Pitágoras (y las áreas de rectángulo y triángulo).
Conociendo AB y BC se calcula AC = 5
Conociendo AC se calcula BE = 12/5
Conociendo BE se calcula EC = 16/5
Conociendo EC se calcula EF = 48/25 (donde F es el pie de la perpendicular desde E a BC)
Conociendo EF se calcula EG= 27/25 (donde G es el pie de la perpendicular desde E a AD)
Conociendo EG se calcula el área del triángulo AED
Resultado 54/25 = 2,16
No hace falta calcular raíces porque la proporción del rectángulo es 3x4.
#11 Corrijo: Hace falta calcular raíces, pero todas son números enteros porque el rectángulo es 3x4.
#12 En estos problemas muy a menudo usamos ternas pitagóricas... Y es para que no salgan raíces no exactas.
... :-m El cos(AB,AE) es fácil de obtener por el producto escalar (3,0)·(3,4)/(3*4)=3/5. Por lo tanto la distancia (A,E) es la proyección de AB sobre AC, esto es 3*3/5=9/5. El producto vectorial de los módulos 9/5*4*sen(complementario del anterior, que casualmente también es 3/5 ) esto es (9/5)*4*(3/5)=108/25. El área el triángulo es la mitad del parelelogramo que abarcan los vectores, por lo que el área de AED = 54/25
#1 #3 #4 Según mi dibujo imaginario el triángulo definido es exactamente una cuarta parte del rectángulo. Siendo el área del rectángulo 12, quedaría en 3.
#5 Ah! Es que la perpendicular es trazando desde B hasta la diagonal AC (entiendo), no cae en el centro exactamente y entonces no sería el cuarto de rectángulo.
#3 Necesitaría un café contigo para asimilar esto. O un dibujo, no sé porque usas el producto escalar. Tampoco entiendo porque usas luego el producto vectorial. Si no quieres perder el tiempo en explicarlo lo entiendo, pero si me lo explicas te lo agradezco
#7 Pues no sé si fantomax aprobará esta solución (espero que esté bien)
Yo he colocado el rectángulo en coordenadas A=(0,0) B=(3,0) C=(3,4) D=(0,4) Dibújalo en papel cuadriculado.
a) El producto escalar de dos vectores es un número u · v = u| * v| * cos α ... y esto hay que aprendérselo porque permite despejar el cos α. Esto vale para miles de cosas, por ejemplo:
Si multiplicas escalarmente u · v , en este caso el vector AB·AC es (3,0) · (3,4) = 3*3+0*0 = 9
El módulo de u| * v| en este caso AB|*AC|= 3 * 5
Por lo tanto ya sabes el ángulo que forma los vectores AC y AB. Que no es poco... cos α = 3/5 porque por trigonometría puedes obtener la proyección de AB sobre AC ¡Simplemente multiplicando 3 (módulo de AB) * cos α = 9 / 5 ¡Y esto es AE|!
El área que pide, AED, es el triángulo que forma el vector AE| y AD| que ya las sabemos... Pero el ángulo que forman es el complementario de α, que es ß. La broma que dije antes para atajar es que el sen de un ángulo es el coseno de su complementario. Pues nada más, porque el producto vectorial ataca directamente el problema y calcula la superficie, mira en la wiki. Es el módulo de un vector perpendicular al plano que forman y bla, bla, bla... En resumen:
Área(AED) = 1 / 2 *AE| * AD| sen ß = 1 / 2 * ( 9 / 5 ) * 4 * ( 3 / 5 ) = 54 / 25
A lo mejor es un poco ingenieril con tanto vector. ¡A ver que opina fantomax! Ánimo y saludos.
#14 Ya suponía que era una cadena de cálculos, AB, BC > AC, de AC BE > BE, etc, etc.. Pero me parecía un poco pesado. Aunque mi explicación es larga para explicárselo a raquelita en #7 #8 (debe pensar que me fui por los cerros de Úbeda ),
Pero es que se tarda más en contarlo que en hacerlo. Desde el punto de vista del cálculo vectorial está tirado, porque en lenguaje normal se piensa "Proyecto AB sobre AC y calculo el área con AD". Pin-pan, dicho y hecho. Un escalar y un vectorial.
Pero lo bueno de todo esto es como aborda cada persona el mismo problema. ¡Genial!
#7 El producto escalar es el teorema de pitágoras pero con otro enfoque, y como solo depende de las coordenadas de los vectores, puedes despejar el ángulo.
#3 no esperaba el uso de vectores...
A mí me sale aprox. 3'7575897214875242 u.s.
#9 Ni caso. Está mal, esto me pasa por hacer las cuentas en el Paint en vez de en un papel.
Pues será 3 digo yo, ¿es un problema del cole?
#1 O será 2.
#0 ¿B es el mismo punto que E? Es que no lo visualizo y dibujarlo es difícil con el enunciado.
#2 Aquí tienes una figura.
Trigonometría y geometría... yo era un crack con esto. Viendo la figura de fantomax #13 se entiende el enunciado... y yo a lo bestia lo resolvería por que son perpendiculares. O sea, la recta que va de la diagonal a la base es perpendicular a la diagonal, y de ahí lo vas sacando todo.