¡Hemos montado una fiesta increíble! Nos hemos vuelto locos a hacer tortitas, cientos y cientos de tortitas. Y tenemos nutella, mermeladas, nata de flis, siropes...
Y hemos montado un juego: hay dos torres de m y n tortitas, con m distinto de n. La última tortita de cada torre es de chile picante, y si alguien come una de esas pierde. Hay dos jugadores, 1 y 2, que por turnos comerán tortitas de la torre en la que haya más, con una condición: la cantidad de tortitas que coman debe ser un múltiplo de la cantidad de tortitas de la torre pequeña (si la grande tiene 20 tortitas y la pequeña 6, podría comer 6, 12 o 18).
¿De qué depende la victoria, en qué casos ganará el jugador 1 y en qué casos el 2?
Comentarios
#8, ah, de hecho ese límite que saldría permitiría definir la estrategia ganadora de forma sencilla. Quizá atacando desde ahí sea más fácil deducir ese límite que por lo que tú dices es irracional, y es más, creo que el número que digo es raíz de 5 menos 1 todo partido de 2.
#10 Perfecto! #11 Edito aquí para no dar pistas
#11, no te has dado cuenta de que mi número es el inverso del tuyo, así que dependiendo de desde que lado des la proporción sale uno u otro. Y he querido dar el menos famoso en el comentario...
Y no puedo revisar cuentas, que lo he hecho todo de cabeza y me ha dado la sensación de que va a salir eso, me falta papel y boli para hacerlo
#11, no había visto tu edición. No digas "perfecto" cuando solo he medio acertado
. No seas menos exigente conmigo de lo que lo soy yo contigo 
#13 hombre... si has llegado a ese punto, por inducción sé que llegarás a toda la resolución. Y además, se nota que ya lo has sacado, y si no pones la resolución dejamos espacio al resto para sacarlo.
#14, nada, ya está hecho con papel y boli. Me imaginaba que la sucesión que decía es la dada por el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, y de dicha sucesión conocía ya el límite.
Y luego he dicho, voy a hacerlo distinto. Sabiendo ya el número, voy a definir la estrategia ganadora y comprobar que funciona sin tener en cuenta las cuentas hechas anteriormente. Ganas cuando te encuentras que el número de tortitas del bloque grande o pequeño (es con uno de los dos, no especifico para que el resto de gente piense) es mayor o menor (lo mismo, no especifico) al otro multiplicado por un número. La estrategia es comer tortitas para que al adversario no se le de esa misma propiedad. Para ver que la estrategia funciona hay que comprobar que puedes conseguir que el contrario no se encontrará con la misma propiedad y que cuando te devuelva las dos torres a ti se te volverá a cumplir. Y se comprueba que esto es así gracias a que dicho número que llamemos x cumple que
(x-1)=1/x
De hecho se puede hacer al revés, intentar buscar una estrategia de ese estilo y darse cuenta que la x que te hace falta para que se cumpla lo que he puesto en cursivas tiene que cumplir la igualdad anterior. De hecho esto último sería la forma más directa de hacerlo ya que no te haría falta hacer ningún límite para encontrar x.
#0 mola!
#2 Han llegado a votar sensacionalista a los problemas, buscan algo de karma o vengarse de otra cosa o algo completamente ajeno a resolver problemas.
Este problema escapa a mi "estado actual" incluso tras leer los comentarios.
Estoy asi:
#15 Simula con cartas por ejemplo. No te fijes tanto en la cantidad de las cartas como en la relación entre m y n.
#17 #15 Yo estoy perdidísima. A ver si esta noche pienso algo . Justo lo único que se me había ocurrido era probar con cartas, jajaja.
#20 #15 Venga que echo una mano Sabemos que m es distinto de n, porque lo dice el enunciado. Supongamos que m > n, si no lo son, qué más dará, cambiamos de nombre a las torres y punto. Llamamos r al ratio: r = m/n
¿En qué casos estamos obligados a coger n tortitas de la torre grande? Pues cuando en la torre grande no hay suficientes tortitas... es decir, cuando r está comprendido entre 1 y 2. Así que el nuevo ratio, r' = n/(m-n)
Si los igualamos:
m/n = n/(m-n)
A partir de aquí, si identificáis esa igualdad lo tenéis muy directo, en caso contrario: https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
#15, en los comentarios en realidad no hemos dicho nada, yo he dicho lo justo para que@Fluffy pudiera entenderme sin dar pistas al resto
#8, cuando el pequeño es mayor que la mitad del otro. El problema está en sí en la siguiente jugada el otro puede elegir. Y en el caso de que tampoco pueda elegir si en la siguiente jugada al volver el turno hay posibilidad de elegir o no. Puede pasar varios turnos sin poderse elegir.
De momento lo que he pensado ha sido todo de cabeza, no lo he pensado demasiado. Tengo una idea en la cabeza, pero tengo que sentarme y coger folio para ver qué sale. Que debería calcular el límite de una sucesión y de cabeza no me apetece intentar sacar el término general de dicha sucesión
¿Por qué este envío tiene 2 votos negativos?
Y sobre el problema, de primeras creo que el ganador sería el primero que pueda elegir cuantas comer, no sé si habrá una forma más sencilla de expresarlo, pero tengo en mente lo que creo que es la estrategia ganadora.
#1 No sé por qué tiene 2 negativos, ni sé mirarlo. La verdad es que estoy flipando bastante.
Puedo prometer que el problema es muy bueno No sé por qué los negativos.
En cuanto a la resolución... te anticipo que nada tiene que ver con la estrategia escogida, por eso no la pregunto. Tiene que ver con un conocido número irracional muy empleado en matemáticas.
#2, ¿me estás diciendo que el ganador no depende de la estrategia que siga? Pues algo no entiendo.
Imagina que hay 8 y 2 tortitas.
Si el primero come 6 gana. Si come 4 el segundo puede comer 2 y ganar.
Así que ¿qué se me escapa?
#5 Me expresé mal. Dentro del sentido común. En el ejemplo que pones, el primero ya tiene un movimiento ganador.
Hablando en plata... mmmm... el ganador depende de... mmm... usa las matemáticas Solamente tienes dos datos, m y n, así que si gana el primer o el segundo jugador dependerán de esos m y n.
PD.: Sé que no lo vas a buscar, pero por poner contexto histórico este problema es de las Olimpiadas Matemáticas de la Unión Soviética de 1978.
#6, a ver, entonces suponemos que son jugadores perfectos, ¿no?
Cuando yo decía que gana el primero que puede elegir jugada me refería a:
13 y 4.
El primero puede elegir entre coger 4, 8 ó 12. Gana si come 8.
13 y 9.
El primero no puede elegir, tiene que coger 9. Al segundo le quedan 4 y 9. El segundo es el primero que puede elegir, y efectivamente ganará si coge 4.
Osea, lo mío solución es (no os he explicado por qué gana el primero que puede elegir). Luego pienso si está relación se puede expresar con algún número.
#7 Cíñete a eso. Busca cuál es la condición en la que el jugador no puede elegir, y está forzado a un movimiento único. Rasca ahí que algo encuentras.
Respuesta no seria: mueren ambos competidores de un entripado colosal mucho antes de llegar a las bases de las torres.