Publicado hace 7 años por --165145--
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Otro clásico... ahora lo leo despacio. Cuando vayan al cole.
#2, clásica la primera parte, la segunda ya no. Iba a publicar la segunda parte sola, pero he pensado que mejor poner la primera antes para que la gente pueda calentar motores.
#3 Yo lo había visto ya con varias respuestas encadenadas...
#5, ¿con tantas? Es posible, bueno, yo lo publiqué en mi web así hace unos años, podrías haberlo visto a partir de ahí, o de forma totalmente independiente también, claro.
#6 no recuerdo exactamente los números, puede ser que sea la más larga.
Para el clásico, por fuerza bruta y con la ayuda del excel he sacado cuatro combinaciones posibles:
#1 #2 Suma Producto
4 1 5 4
8 1 9 8
8 7 15 56
11 8 19 88
Tiene que ser sumas en las que cualquier par con la misma suma da un producto que se puede repetir en toda la lista para que se cumpla que "S: Sabía que no podrías saberlo."
Ahora de entre esos P debe identificar que un único par que dé su producto esté en la lista anterior (lo que no esté en la lista ya está descartado y si queda más de una opción no sabría el resultado).
Y después S debe identificar que un único par que dé su suma cumpla el criterio anterior. (Y sea sólo uno para que pueda saberlo).
He comprobado los ejemplos y me cuadran.
Me pongo con el otro pero supongo que puedo aplicar un enfoque similar.
#8, para el clásico los números van de 1 a 100, y creo que has considerado que sea la suma y el producto lo limitado por 100.
#9 No, lo que he considerado es el número de veces que aparece un producto y una suma como resultado de las posibles combinaciones. Una vez pasas de ciertos valores, aunque no se trate de números primos las posibilidades de que haya dos resultados iguales se reducen mucho (i.e. si tienes 72 y 99 sólo ese par puede darte el producto por lo que P sabría desde el principio el resultado.
#57, pues ya te aviso de que hay solo una combinación posible. ¿Usas el "sabía que no podías saberlo" ?
#2, #4, #8, perdonad, hay un fallo en la entradilla, en el enunciado de la primera parte (la segunda está bien). Los números escogidos no pueden ser ni 1 ni 100. Así que habría que coger
Se escogen 2 números entre 1 y 100
Y se cambia por
Se escogen 2 números entre 2 y 99
#14 Cambiado
#14
fantomax, que si no me equivoco es la admin del sub, te lo puede corregir también.
#16, bueno, ya está cambiado. Espero que ni se cabree nadie. El enunciado que tenía por otro lado decía mayores que 1 y menores que 100 (con lo que se descartabam ambos números).
Gracias #15
#17 llegué tarde pero sí puedo cambiar lo que sea.
#12, venga, doy una pista. Como S sabe que el producto no puede descomponerse de forma única deducimos que la suma es menor que 54. ¿Por qué? Porque si la suma fuese mayor que 54 entonces podría ser que el producto fuese de la forma
54x(suma-54).
Pero en este caso si factorizamos el resultado como producto de 2 números, uno de ellos es un múltiplo de 54 (por ser 54 primo), y el único múltiplo de 54 menor que 100 es 54, así que la descomposición como producto de 2 números menores a 100 sería única. Por tanto S no podría descartar que el producto dado se descompusiera de forma única.
Así que la suma que conoce S es como mucho 54.
Ya te he descartado una jartá de casos.
#13 Dos cosas:
) que fuese esa suma 45, por lo que sólo puedo deducir (y no estoy demasiado seguro de ello) que sabía desde antes que uno de los factores que componía ese producto era un primo entre 45 (por no "quemarme los dedos") y 22 (en otro caso aún habría combinaciones).
- 54 no es primo (33*2=54 )
- También diré que, más que menor que 54, diría que sabe que no hay factores primos superiores a 50 en el producto ¿cómo lo puede saber? La única forma "segura" es que la suma menos el menor de los pares fuese menor a 50, como el menor de los pares es 2, podemos deducir que la suma no es menor a 54, es, como mucho 51.
De todas formas, con esos datos, se me ocurre que, como además el producto no ha de ser factor de dos factores primos (de otro modo, podría averiguar los números fácilmente incluso sin lo que dice S) podemos descartar un montón de números como resultado de la suma. Quedando sólo:
8, 12, 16, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54
(dejo hasta el 54 por que te quedes contento, pero podría quitar el 52 y el 54 por lo dicho anteriormente)
Pero si eso es el producto de la suma, y hemos dicho antes que la suma era impar, sólo hay un número impar en toda esa serie, el 45.
Por lo que podemos deducir que la suma es 45 (si no me he equivocado en ninguna parte )
También sabemos, ahora que caigo, que a P le digo "algo" (la solución en este caso
Eso nos deja con las siguientes combinaciones:
(43,2), (41,4), (37,8), (31,14), (29,16), (23,22)
Y, si no he fallado en ninguna parte, ahí me quedo
#18 No, me he colado en la segunda parte
#18, 54 no es primo, es una errata. Me di cuenta del error del enunciado después de escribir el comentario y quise adaptarlo al enunciado correcto y lo del tiempo limitado de edición me hizo ir demasiado rápido. Lo que quise decir es que si la suma es mayor a 54 el producto
53x(suma-53)
es la que se descompomdria de forma única como producto de números menores a 100.
Vamos, que la suma es como mucho 54.
Nueva pista, hay que descartar las sumas que se pueden escribir como sumas de 2 primos (en particular todos los pares, no se sabe si esto es para todo par, pero sí para este tamaño). Así que los candidatos a sumas son:
11
17
23
27
29
35
37
41
47
51
53
Y esto es todo lo que se puede deducir de que S sepan que P no podía tener la solución.
#21 Bueno, yo creo que se podría quitar el 53 también, más que nada porque para que S estuviese seguro de que P no podía saberlo, la única forma es que supiera que no había factores primos por encima del 50, ya que 50*2=100 (y en particular, 51*2=102 y 53*2=106) por lo que el factor primo ni era 51, ni 53 y mucho menos mayores que eso.
En esas condiciones el siguiente primo más cercano es el 47, que para que la suma fuese menor que 50 y el otro sumando fuese par, sólo puede ser el 2, sumando 49, podríamos "estirar" la suma hasta 51 (como resultado de la suma, no como factor), ya que 47+4=51 y 47*2=94 (pero no lo creo).
Y a partir de ahí, yo me quedo en blanco
#22 51 no es primo, así que no valdría ese razonamiento.
Ahora ya hay que usar el resto de la conversación. La suma no puede ser 11. ¿Por qué? Porque si la suma es 11 puede que los números sean
4 y 7
ó
3 y 8.
En ambos casos sabría la solución tras hacer los descartes anteriores ya que 28 solo se puede descomponer de forma única como 2 números que sumen algunas de las cifras que nos quedaban y lo mismo para 24. Así que s al final no podría saber cuál de estos 2 casos es.
Y todavía nos queda la segunda parte
#23 Cierto 51 no es primo
#23 No consigo seguir la segunda parte de tu razonamiento en esa nota
#25, a ver, su el producto fuese 28 entonces P sabía la solución porque ni podría ser 2 y 14 (suman 16) así que sería 4 y 7. Si el producto fuese 24, no podría ser 2 y 12 (por sumar 14) ni 4 y 6 (por sumar 10) así que debería ser 3 y 8.
Por tanto si la suma fuese 11 P podría saber la solución en 2 casos distintos (la tercera línea de diálogo valdría para 2 casos al menos). Pero entonces S no podría descartar ninguno de los 2 casos así que S no sabría la solución final. Así que la suma no puede ser 11.
#26 Pero para 11 también puede ser (2,9) y (5,6) ¿o no?
#27, ¿para esos la descomposición del producto sería única? Da igual, ni lo pienso, en cuanto encuentres 2 para los que la descomposición del producto sea única, esa suman quedará descartada. No me hace falta ver si hay más.
#28 Dime qué piensas de esto:
Si la descomposición no puede ser única, siendo uno de ellos, por narices, par, si hacemos:
Sean 'n' y 'm' los números buscados, 'x' e 'y' dos enteros, llamamos 's' a la suma de ambos y 'p' a su producto:
n=2x
m=2y+1
z=2x+2y+1 (en condiciones estándar)
Para que no lo sepa, ha de existir una alternativa, que sin alterar el producto, también sume 'z', para cada par de sumandos que dan esos números.
O lo que es lo mismo, se cumple una de estas dos condiciones:
1- O bien se cumple:
x+2(2y+1)=z
2- O bien se cumple que:
2+x(2y+1)=z
Si es 1:
2x+2y+1=x+2(2y+1)
es equivalente a
2x-x=2(2y+1)-(2y+1)
x=2y+1
lo que sería equivalente a decir que n=2m
(aquí he tenido que empezar a echar cuentas a manta y me entraron ganas de estrangular incluso con el Calc)
Pero nos da más de una solución posible, luego no es este el caso (y las ganas de estrangular, se doblaron ).
Si es 2:
2x+2y+1=2+x(2y+1)
#29, no entiendo qué pintan x e y, no entiendo lo que haces. De todas formas 2 y 5 obviamente no son, p los habría descubierto al instante.
#30 'x' e 'y' los uso para indicar la paridad de 'm' y 'n' pero no sé donde he metido la pata
#31, paridad no, pero ya entiendo lo que son. Luego lo miro y te digo.
#22, uhm, en esta parte:
Para que no lo sepa, ha de existir una alternativa, que sin alterar el producto, también sume 'z', para cada par de sumandos que dan esos números.
¿Para que no lo sepa quién? ¿S o P? ¿Y en qué momento? No entiendo exactamente lo que dices, pero me da a mi que está mal esa parte, porque parece que dices que para que no lo sepa debe de haber 2 pares de números distintos que sumen lo mismo y den el mismo producto. Y eso no va a ser así.
#33 Pues entonces no veo, tendría que ponerme a descomponer todas las combinaciones para esos números y comprabarlas una a una, no, no, creo que seguramente se podría meter una criba antes de alguna manera
#34, ¿no has visto que en mi razonamiento anterior he dejado solo 11 posibles casos para las sumas y te he descartado uno? Ahí está casi hecho.
#35 Claro, por tener el 11 sólo 4 combinaciones posibles en tal antes de cribar, pero para uno de los 11 números va creciendo hasta llegar al 53 que tiene 25 combinaciones posibles. Que quedan 184
#36, no sé de dónde sacas esas cuentas, pero tal como de los 11 te he eliminado 1, eso se puede hacer con 9 más, siguiendo el mismo tipo de razonamiento. Y luego cuando ya te quedan los 2 últimos no es difícil terminar.
#36, venga, te lo pongo más fácil. Como no nos quedan pares, si los números son una potencia de 2 y un primo, la descomposición del producto es única (cualquier otra descomposición sumaría par, y eso está descartado). Así que con eso podemos descartar cualquier número que se pueda poner como potencia de 2 más primo. De hecho así eliminé 11. Los que nos quedaban:
11=4+3=8+4
17
23=4+19=16+7
27=4+21=8+19
29
35=4+31=16+19
37=4+33=8+29
41
47=4+43=16+31
51=4+47=8+43
53
Ahora ya solo nos queda 17, 29, 41 y 53. Me he cargado 7 números de 11 en un momento. No hacía falta ir a lo burro.
#38 Eso también se aplicaría al 53, que puede escribirse como:
53= 37+16 y el 16 es potencia de 2
Y el 29:
29= 13 + 16
y con el 17:
17=13+4
Pero es que:
41=37+4
#39, he dicho ponerlos de 2 formas, no de una sola. Lo de ponerlo de 2 formas es porque en cualquiera de ellas P sería capaz de resolverlo así que S no sabría al final la solución. En los 4 que has puesto, al ponerlo de una forma solo no podrías descartar ninguno, tendrías que hacer algo más.
Y mira, te hago uno, el 29 aparte deponerse como 13+16, también se puede poner como 4 y 25. Y 100 solo se puede descomponer como par e impar en 2 casos, el 4x25 y 20x5. Pero el caso 20x5 queda descartado ya que la suma es 25 y esa suma estaba previamente descartada. Así que si la suma es 29 hay al menos dos casos en los que P sabría la solución (en el caso 13 y 16 y en el caso 4 y 25).
Venga, ya te dejo solo 3 casos.
#40 Veamos si lo pillo esta vez:
Pongamos el 41:
Como de todas las posibles puede ponerse como
41=37+4 -> 37*4 = 148 y 148 sólo puede descomponerse de una forma de modo que de 41, tenemos un caso en que lo sabría
Pero también:
41=31+10 -> 31*10=310 y 310 sólo se puede descomponer de una forma de modo que sumen 41, tenemos otra.
Como son dos soluciones distintas también quedaría descartado (espero que sea así)
El 53:
53=47+6 -> 47*6=282 y 282 sólo puede descomponerse de una forma para que el resultado de 41, ya que en las otras dos se acaba con un número mayor que 53 por el otro.
53=27+26 -> 27*26=702 y en este caso, sólo tiene por alternaticas (26,27) y (13,54) y como (13, 54) no suma 53, sólo puede ser (26,27)
Como son dos casos, quedaría descartado también el 53
Sólo queda el 17
¿es así?
#41, y por tanto ¿los números son?
Pero ojo, el que descompone es P, él no sabe la suma, en este razonamiento:
41=31+10 -> 31*10=310 y 310 sólo se puede descomponer de una forma de modo que sumen 41, tenemos otra.
lo que tienes que ver es que 310 no se puede descomponer de una forma de modo que sumen 17, 29 y 51, que son las sumas que te quedan. Y efectivamente pasa así.
#42 Bueno, 31 es primo, y sólo puede descomponerse como 2*5*31, como el máximo es 51 no podemos multiplicar 31 por nada ya que se pasa, luego uno de los "términos" sería 31, y el otro, sería el producto de los demás factores primos, en este caso, 2*5 que es 10
incluso tiene otra
41=27+14 -> 27*14=378=2*7*27 como si multiplicamos 27*7 también se pasa, cada uno tiene que formar parte de un término distinto, pero 27*2 también se pasa (54), por lo que 2 sólo puede estar en el término contrario al 27, quedando entonces (27,14)
#42 Pues no lo sé ninguna de las descomposiciones que veo de las posibles sumas de 17 da 29, 41 o 53
17 puede ser:
15+2->15*2=30=2*3*5 --> 2+15=17, 6+5=11, 10+3=13 (11 y 13 están entre las posibilidades antes de la criba, pero no después)
13+4->13*4=52=2*2*13 -> Sólo 4+13=17 (de cualquier otra forma, serían pares los dos términos)
11+6->11*6=66=2*3*11 -> 22+3=25, 33+2=35, 11+6=17 (ni 25 ni 35 están entre las posibilidades)
09+8->9*8=72=2*2*2*3*3 -> Como todos los 2 han de estar a un lado sólo se puede 8+9=17, 24+3=27 (27 está entre las de antes de la segunda criba, esta no)
7+10->7*10=70=2*5*7 -> 2+45=47, 10+7=17, 14+5=19 (47 y 19 están entre las de antes de la criba también, no las de después)
5+12->12*5=60=2*2*3*5 -> 4+15=19, 20+3=23, 12+5=17 (19 y 23 están entre los de antes de la criba, no los de después)
3+14->14*3=42=2*3*7 -> 2+21=23, 6+7=13, 14+3=17 (23 está entre los de antes de la criba, y 13 ni estaba )
#44, es que te lo tengo que hacer yo todo...
Lo tienes casi hecho. Nosotros ya hemos concluido que la suma es 17. Pero eso lo sabemos nosotros con la conversación completa. Así que cuando dices:
15+2->15*2=30=2*3*5 --> 2+15=17, 6+5=11, 10+3=13 (11 y 13 están entre las posibilidades antes de la criba, pero no después)
P no había hecho esa criba final nuestra. Así que el razonamiento que él puede hacer en ese momento parte de que las sumas posibles son 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51 y 53.
Por tanto si su producto fuese 30, no podría descartar el caso 2 y 15 (que suman 17) ni 5 y 6. El caso 10 y 3 sí, el 13 estaba descartado de antes. Tendría 2 casos entre los que no podría decidirse por lo que de la tercera línea de diálogo deducimos que 2 y 15 no son los números.
Venga, que ya casi está.
#45 Si descartamos todas posibilidades que está entre dos valores de la lista queda más de una:
- 13 y 4 (en 17 y en ninguna otra con un término par y otro impar)
- 11 y 6 (en 17, 25 y 35 y como 25 y 35 no estaban en la lista, sólo queda el 17)
Pero P sabía el resultado de su producto, luego que supiese cuál era no tenía ningún secreto sólo tenía que escoger el par que, al multipicarlos, diese el producto que él sabía.
Pero .... eso ¿quiere decir que el producto también era único, que entre todos los productos posibles, que no se repetía?
Porque si es así entonces queda sólo una posibilidad:
11 y 6
#45 Calla, que me equivoqué al buscar
que el 66 sí está en otra, pero el 52 no, lo que hace que sean 13, 4 
Si no me he equivocado
#47, ahora te toca hacer la segunda parte del problema
#48 dos preguntas:
¿en la segunda parte se puede repetir número?
La segunda es algo escabrosa:
como son pocas las alternativas, me puse en un Calc todas las combinaciones sin repetición, que no son tantas:
- Con la primera línea eliminé "los extremos", pues en esos casos S lo sabría
- Con la segunda eliminé los productos de dos primos, pues entonces P lo sabría
- En la tercera, sólo pude presuponer que la suma no era única para los que quedaban, y eliminé las combinaciones que daban una suma única en las que quedaban.
- en la cuarta línea hice lo mismo para los productos.
- En quinta repito, quito todas las sumas no únicas para los que quedan
- Con la respuesta de la sexta línea me quedo con sólo dos posibles respuestas
Eso hace que en la séptima línea S sí sabría cuales son los números ya que las dos combinaciones que quedan, dan sumas distintas
¿he seguido una línea de razonamiento errónea?
#49, me da que en el segundo has eliminado a 6,¿verdad?
Pero 6=2x3=1x6
No podrías eliminarlo.
Pero vamos, este sale más fácil que el otro la verdad, aunque asusta más. Aquí no hay un sabía que no lo sabrías, que la lía bien liada.
#50 No, no, no, no, no, no lo he intentado así
Lo que he hecho es poner en una hoja de cálculo todas las combinaciones posibles (sólo son 100)
Como S no lo sabe, no son ni las dos primeras posibles (en orden ascendente por el valor de los números) ni las dos últimas.
Como P no lo sabe, no son todas las de (1,n), ya que entonces P lo sabría y tampoco son producto de primos, por lo mismo.
Entonces es cuando yo pienso: "si S no lo sabe, es que, para las combinaciones que quedan, la suma no es única" y todas las combinaciones con suma única las elimino.
Después veo que quedan muchas, por lo que cuando P dice que tampoco lo sabe pienso: "Si P aún no lo sabe es que, haciendo lo mismo que S (eliminando las de suma única), de las que le quedan puede ser más de una, osea, de las que quedan, el producto no es único" y entonces elimino las combinaciones restantes de producto único.
Y voy repitiendo hasta la sexta línea de la conversación, donde sólo me quedan 2 números, pero no me cuadra con el resto del problema
Se ve que he seguido una rama de pensamiento "algo distinta"
#51, acabas de decir que has eliminado productos de primos en el segundo paso, y justo yo te he dicho que 6 que es producto de primos no puedes eliminarlo en el segundo paso. Tienes déficit de atención, ¿eh?
#52 No, pero me he olvidado del 1 ahora que me fijo estaba haciendo toda la operación, sin el 1
#52 Vale, creo que ya está, es un método muy trabajoso para mi gusto, demasiado "picapedrero", pero creo que lo tengo:
)repetimos sobre las combinaciones que restan lo que ha sucedido en las frases 3 y 4.
Preparas un tablero con todas las posibles combinaciones (sin repetición, que así se quedan poquitas) y las ordenan de mayor a menor valor numérico.
Con la primera fase: S dice, en otras palabras, que las sumas triviales no son (1,1),(1,2), (9,9), (9,8) no pueden ser, por el resto puede ser cualquiera.
Con la segunda frase: P dice, en otras palabras, que el producto que le han dado, no es primo, con lo que todas las combinaciones que dan números primos se pueden ir (1,7),(1,5),(1,3).
Como no lo sabe, además podemos determinar que no tiene ningún factor primo de valor 5 o mayor, ya que de otra manera sabría qué números son, todos los pares (5,n), (7,n) quedan eliminados.
También podemos eliminar pares triviales que sabemos que pueden ser adivinados fácilmente con esa deducción, como (8,8) o (3,9).
Tercera frase: Como dice S que sigue sin saberlo, quiere decir que existen varias combinaciones para las que el número que le han dado, puede dar valores, por lo que todas las combinaciones que tengan una suma que no sea única entre las que quedan las podemos eliminar.
Cuarta frase: Como P dice que sigue sin saberlo, significa que, para ese producto que conoce, hay varias posibles combinaciones. Por tanto, todas las combinaciones cuyo producto sea único, lo podemos eliminar también.
Sucesivas frases: (si, estoy vago
Así hasta que llegamos a la décima frase: P dice que ya lo sabe, como sabe la descomposición, sólo podemos deducir que la combinación, en esas condiciones, ya es única.
Con la metodología anterior se ha podido eliminar muchas combinaciones, pero no todas, quedan las siguientes:
(1,8), 1*8=8, 1+8=9
(1,9), 1*9=9, 1+9=10
(2,8), 2*8=16, 2+8=10
(2,9), 2*9=18, 2+9=11
(3,3), 3*3=9, 3+3=6
(3,6), 3*6=18, 3+6=9
(3,8), 3*8=24, 3+8=11
(4,6), 4*6=24, 4+6=10
El único producto de la serie que resta es el 2*8 con lo que podemos afirmar que el par son (2,8)
Al escuchar S, en estas condiciones, que P lo sabía, sabía que el producto era único, y también adivinó el par.
Solución (según mi criterio): (2,8)
#54, no voy a repasarlo, pero la solución es esa.
No me veas a mi en su momento, no resolviendo el problema sino creándolo, a ver cómo de larga conseguía la conversación, entre qué números tomar los valores, que si empezar por S o por P
Por cierto, tampoco es tan pesado, tras la segunda línea del diálogo solo quedan 18 casos. Y a partir de ahí se eliminan rápidos.
#55 Tienen toda la pinta de ser problemas bastante jodidos de crear ha de ser complicado, pero por lo menos me he divertido (me he entretenido más que con cualquier Civilization o Trópico
)
La primera parte del problema es clásica por lo que puede que la conozcáis ya. La segunda parte es inventada por mi hace algún tiempo, así que es menos probable que la conozcáis.
No lo sé resolver, y sólo se me ocurren las siguientes suposiciones:
Si S sabía que P no podría saberlo, quiere decir que sabía que había más de una posibilidad de combinación, para que eso fuese así, debería saber al menos un número por el que alguno de los números es divisible.
Por las propiedades de la suma y la multiplicación, no es posible saber, a partir de la suma, si los dos sumandos son divisibles por un factor a priori, la única excepción (que tengo en mente) es con el 2, si la suma de dos números es impar, sabes que la única posibilidad es que sea la suma de un par y un impar, y por definición, los pares son divisibles por 2.
Si llamamos 'x' a un número e 'y' al otro, sabe que 'x' o 'y' es de la forma 2m, pero no ambos.
También sabemos, como S no lo supo determinar, que no son:
200 pues sólo se puede sumar (con dos términos) con los números 100 y 100
199 pues sólo se puede con 100 y 99
2 pues sólo se puede con 1 y 1
3 pues sólo se pude con 1 y 2
Además, como P no puede determinarlo, sabemos que x*y no es un número primo, o lo que es lo mismo, no es el 1 por un número primo.
Recopilando:
- Sólo sé que uno de los números es par y el otro impar
- no están los pares (100,100), (100,99), (1,1) ni (1,2)
- x+y entonces, ha de ser impar
- x*y necesariamente, ha de ser par
- X*y no es de la forma 1*p siendo 'p' un número primo
Eso me dice que, para que el otro lo supiera, de todas las combinaciones posibles, sólo 1 era con algún número impar.
Si el hecho de que uno de los números sea impar le dice tanto a P, siguiendo esta línea de razonamiento, quiere decir que todas las opciones que tiene son pares menos una.
La única manera de que ocurra esto (creo) es que el número sea una potencia de 2.
Si los números son entre el 1 y el 100, las únicas potencias de 2 que quedan, en estas condiciones son:
4096 = 212 que sólo tiene una combinación con números menores que 100 : 64*64
2048 = 211 que sólo tiene una combinación con números menores que 100 : 64*32
1024 = 210 (64*16), (32*32)
512 = 29 (8*64), (16*32)
256 = 28 (4*64), (8*32), (16*16)
128 = 27 (2*64), (4*32), (8*16)
64 = 26 (1*64), (2*32), (4*16), (8*8)
32 = 25 (1*32), (2*16), (4*8)
16 = 24 (1*16), (2*8), (4*4)
8 = 23 (1*8), (2*4)
4 = 22 (1*4), (2*2)
Pero hasta ahí llego, ya que no veo cómo "tirar para adelante"
#11 Y de hecho la última parte (la de las potencias de 2) está mal, puesto que también puede ser un impar tal que multiplicado por 2 sea mayor que 100 (63, por decir uno) por otro par, con lo que no les diria mucho
¿Se supone que S sabe multiplicar y P sumar?
#4, debes suponer que son tremendamente listos.