Se me han descolocado los coeficientes de un polinomio de grado 6, pero sé que tienen que ser estos: -4, -3, -1, 0, 1, 3, 4 . Demostrar que mi polinomio tiene una raíz entera independientemente de cómo los coloque. Colocar los coeficientes de modo que tenga tres raı́ces enteras distintas.
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No es una solución general ni elegante pero es la más fácil y rápida (para mí):
Hacemos 0 el coef de x^3 y sacamos factor común x^4.
los polinomios de grado dos que quedan son iguales pero de signos contrarios.
ajusto sus coeficientes para que el discriminante de cuadrado y par.
factorizamos y sacamos factor común.
a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6=P(x)
a3=0
a0+a1x+a2x2+a4x4+a5x5+a6x6=P(x)
a0+a1x+a2x^2+x^4(a4+a5x+a6x^2)=P(x)
ajustando el discriminante y resolviendo:
x^2-4x+3=(x-3)(x-1)
regresando a mi polinomio
3 - 4x+x^2+x^4( - 3+4x - x^2)=P(x)
sacando factor común
(3-4x+x2)(1-x^4)=P(x)
(x-3)(x-1)(x-1)(x+1)(x^2 + 1)=P(x)
Cuatro raíces enteras.
#1 Siento el desastre de notación pero soy lentísimo escribiendo y me ha dejado sin poder editar a medio trabajo. Ademas me acabo de dar cuenta de que he respondido a lo que no se preguntaba en primer lugar. Alguien puede borrar estos comentarios si no es mucha molestia.
#2 Respecto a lo que se pregunta en primer lugar lo he hecho rápido a ver si cuela:
si ai=k y aj=-k con i>j, agrupamos los seis términos que quedan tras haber hecho un cero:
kx^i-kx^j=kx^j(x^(i-j) -1) que tiene como raíz a 1 el cuál anula el polinomio.
El caso a0=0 da como raíz al cero.
Espero no haber enguarrado demasiado el hilo, pido disculpas.
#3 No te disculpes, lo leo mañana que me caigo de sueño y no puedo concentrarme. Gracias por participar, ese es el sentido del sub.
#3 Lo de la primera pregunta es muy sencillo. El valor numérico de un polinomio en x=1 es siempre la suma de los coeficientes, y estos coeficientes suman 0, por lo que es inmediato que x=1 es siempre raíz en estas condiciones.
Lo de lo otro, pues a mí me salía más fácil la raíz x=0, poniendo el 0 en el término independiente. Y luego busqué la raíz x=-1 poniendo los positivos y los negativos en potencias pares o impares para ir compensando...
Tu opción no la había pensado, pero me resulta interesante.
Escribo el polinomio sin factorizar para comprobar que los coeficientes salen:
x6-4x5+3x4-x2+4x-3
#5 Ese es el polinomio, lo pensé por simetría por eso eliminé a3.
#6 Ya te digo, lo pensé con las soluciones obvias (-1,0,1) y esta idea no se me había ocurrido.