Sabemos que x²+1/x²=7. Calcular x⁵+1/x⁵.
Tiene una solución algebraica razonablemente interesante.
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Comentarios
x^2+(1/x^2)
Por la jerarquía de operaciones se entiende que es eso, primero multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas.
Vaya despiste.
#2, el comentario #3 era para responder tu pregunta, pero he olvidado citarte.
123...
Yo lo hice calculando x^3 + 1/x^3 = 18... y aprovechando que al multiplicar binomios x * 1/x se cancelan.
#9 ese es el modo que yo usé.
Pista para quien no lo vea. (x+1/x)^n no es difícil de calcular y como dice #9 hay cosas que se cancelan...
SPOILERS
#11 Gracias por la pista, no creo que lo hubiera visto Me ha costado calcular x+1/x (para ver que (7+/-3*sqrt(5))/2 = 3/2+/-sqrt(5) me ha tenido que dar una pista Wolfram Alpha...). Fórmula generalizada para x^n+x^-n da pereza
Juas, me doy cuenta de que me he complicado la vida muchísimo más de la cuenta, pero hecho está. Qué oxidao estoy...
O sea, que se puede calcular de forma recursiva muy fácilmente:
f_n=x^n+x^⁻n
f_=3*f_n-f
f_0=1
f_1=3
#12 Yo lo hice así:
(x+1/x)² = x²+1/x² +2
Usaré que x²+1/x²=7, dato del problema
así que (x+1/x)²=9 y (x+1/x)=3
Sustituyendo esto último en ambos términos de esta identidad (binomio de Newton)
(x+1/x)³ = x³+1/x³ +3(x+1/x)
3³=x³+1/x³+9
Despejando
x³+1/x³=18
Ahora multiplico, y luego sustituyo los valores ya conocidos:
(x²+1/x²)(x³+1/x³)=x⁵+1/x⁵ +x+1/x
7·18=x⁵+1/x⁵+3
Y despejando y haciendo cuentas
x⁵+1/x⁵=123
#13 Yo me he armado un pollo de la leche Al final he visto que haciéndolo así era muy fácil. Pero me he liado por ejemplo a calcular x+1/x a partir de la expresión de x. Pero sí, al final lo he re-resuelto por esta vía, esta forma es mucho más sencilla y elegante.
#14 Un problema se resuelve de muchos modos posibles. Encontrar varios siempre mola, y saber que algunos son más elegantes demuestra cierto buen gusto.
x⁵+1/x⁵... por el culo te la hinco.
¿Es (x^2+1)/x^2 ó x^2+(1/x^2)?
¿nadie dice nada?
No sé por donde van los tiros, pero si se resuelve la primera ecuación sale x=sqrt((7+-sqrt(45)), donde podemos coger el signo positivo porque con el negativo x( - )=x(+)^ 1.
Si sustituimos cualquiera de las soluciones en la segunda nos da la solución 123 (o -123 si se elige x negativo). Ahora bien, x es claramente irracional, y al elevarlo a 5 también es irracional, y como 123 es racional algo tiene que haber en la secuencia de sumar la potencia invertida porque probando con otras potencias también salen números racionales.
#5 Yo lo hice elevando un cierto binomio a varias diferentes potencias...
Sí, la respuesta es 123
#5 Leche, me lo había dejado a la mitad. Cierto, sale 123. Ya me ha picao la curiosidad.
Te has dejado un factor de 1/2 en x, por cierto.
#5 Cierto, sale 123. Ya me ha picao la curiosidad...
Por cierto, te has dejado un factor de 1/2 en la expresión de x.