En una isla hay 100 habitantes, todos lógicos perfectos. 15 años atrás no había ningún parentesco entre los que la habitaban, y entonces nació el primer niño. Cuando el tesorero fue a por la recaudación de impuestos, se dio cuenta de que ¡había exactamente 200 rupias! Curioso cuando de hecho las tasas que cobraron fueron de 3 rupias por hombre, 2.5 por mujer y 0.5 rupias por niño. Y entonces se dio cuenta de que no tenía ni la menor idea de cuantos hombres, mujeres y niños había en el pueblo, solo sabía que en total eran 100 y que todos los niños habían nacido en la isla. Y mientras pensaba en ello, decidió dar un paseo. Al salir a la calle vio a un chaval corroteando al que se acercó para preguntar...
- Hola chaval. ¿Sabes cuantos niños y niñas hay en la aldea?
- Hola señor. No, no lo sé.
- Y ¿no sabrás el número de hombres adultos o mujeres del pueblo?
- Tampoco.
- Oye, podrías decirme cuántos hermanos tienes, ¿no?
- ¿No lo sabe? Tengo el mismo número de hermanos que cualquier otro niño de la aldea, y todos los hermanos en el pueblo son puros, tanto por parte de padre como de madre.
- ¿No me puedes decir al menos si tienes muchos hermanos?
- Le diré que entre mis hermanos y yo, somos en total un número de una cifra. ¿Para qué me está preguntando estas cosas?
Y el tesoro le comentó su problema.
- ¡Ah! ¿Entonces es por eso? Pues ¡ahora sé la respuesta!
- Oye, pero dímelo y no corr...
Y él también sabía ya la solución. ¿Y tú?
Comentarios
#0 Bufffff, te digo que es largo:
Si llamamos:
x = número de hombres
y = número de mujeres
z = número de niños
n = número de hermanos por matrimonio
m = número de matrimonios
Tenemos que en la isla son, entre hombres mujeres y niños, 100, con lo que nos da la fórmula:
x+y+z=100 (1)
Tenemos que la recaudación es de 200, recaudando 3 por hombre, 2.5 por mujer y 0.5 por niño. Eso hace:
3x+2.5y+0.5z=200 (2)
Como con eso es muy difícil trabajar, lo multiplicamos por 2 a ambos lados, para hacerlo más sencillo:
6x+5y+z=400 (3)
Ahora, pillamos (1), la multiplicamos por 6 y se la restamos a (3), quedando:
6x+5y+z-6x-6y-6z=400-600
Y simplificamos, quedando:
y5z=-200Y si multiplicamos por (-1) en ambos lados:
y+5z=200
Despejamos 'y':
y=200-5z (4)
Con esto ya sabemos que el número de niños ha de ser, como máximo máximo 39, ya que de otro modo, el número de mujeres ('y') sería 0 o menos.
Ahora hacemos otra vez el paso anterior, pero en vez de multiplicar a ambos lados por 6, lo hacemos por 5, y restamos también, quedando:
6x+5y+z-5x-5y-5z=400-500
Simplificamos:
x-4z=-100
x=4z-100
Con lo que ahora sabemos que el número de niños ha de ser como mínimo 26, ya que de otro modo, el número de hombres ('x') sería 0 o menos.
Como el número de hermanos por matrimonio es fijo, podemos deducir que:
z=mn
Y que n10, ya que hay varias soluciones posibles con ellos
Por el mismo motivo anterior, se pueden eliminar las soluciones de tipo
Eso nos deja con las siguientes soluciones posibles (cada solución está dada de la forma [n,m]:
z=27 - siendo soluciones [3,9] y [9,3]
z=28 - siendo soluciones [7,4] y [4,7]
z=30 - siendo soluciones [5,6] y [6,5]
z=32 - siendo soluciones [4,8] y [8,4]
z=35 - siendo soluciones [7,5] y [5,7]
z=36 - , siendo soluciones [6,6], [4,9], [9,4],
Podemos eliminar los valores de la forma [4,k] ya que hay varios valores de 'z' para los que es una solución.
Por la misma razón podemos eliminar los valores [5,k], [6,k] y [7,k] y [9,k] eso nos deja:
z=27 - siendo solución [3,9]
z=32 - siendo solución [8,4]
Con 'z=27' tenemos que:
x=27*4-100=8
y=200-5*27=65
Si cada matrimonio tiene un padre y una madre, esta solución no es posible.
Con 'z=32' tenemos:
x=32*4-100=28
y=200-5*32=40
Que sí que es una solución posible, con lo quedarían:
28 hombres, 40 mujeres y 32 niños
#5, uhm, casi bien planteado. Veo 2 fallos. El primero es que te faltan casos por cada valor de z, no sé por qué no has incluido los casos de hijos únicos cuando z no es primo.
Y lo segundo es que antes de eliminar casos porque veas 2 soluciones posibles para cierto n, hay casos que tendrías que haber eliminado antes ya que x e y no pueden ser menores que m. De hecho eso lo has hecho para descartar uno de los 2 últimos casos, pero eso tendrías que haberlo hecho antes, la cosa puede cambiar bastante.
#6 En general se pueden eliminar todos los casos de hijo único, si lo pienso bien, ya que no son casos únicos para los valores de z
Y li de eliminar los casos en los que x o y son menores que m lo he hecho lo último para no tener que calcular x e y para todos los casos, que me ha parecido muvhp calculo
#7, pero es necesario hacerlo antes ya que ese razonamiento lo puede hacer el chaval y por tanto el n que no te pienses dar una sola solución. Y con el 1 pasa otra cosa, el uno no es que esté en todos los casos, es que no vale para ninguno (no habría nunca suficientes parejas de padres). Calcular la x y la y para cada caso no es tan largo.
Para z=26, x=4 e y=70 (como mucho 4 parejas).
Y cada vez que aumentas z, x aumenta en 4 e y disminuye en 5.
#8 ¿si son lógicos puros no tratarian de minimizar los cálculos necesarios? No veo el problema, si las deducciones son correctas, a que se hagan antes o después
Es más, yo supuse que lo habría calculado el niño, pero no cómo, lo que hice fue ver cual era deducible, que puede ser de más de una manera ¿no?
#9, imagínate que para n=7, que te sale en 2 casos (z=28, 35) en uno de los dos casos saliera que se puede descartar por no haber parejas suficientes. En tal caso pasaría que el chaval podría haber deducido los datos si no fuese 7, y por tanto el tesorero no podría descartar n=7.
Y sí pasara eso tendrías que plantearte si hay alguna cosa más que te sirva para descartar uno de los casos.
Pd. No te he dicho que tu solución sea la correcta o no.
#10 Entonces ¿he acertado o no?
#11, te dejo que lo determines tú
#12 Pues determino que llevo razón
#13, pero... ¿lo determinar al azar o lo has comprobado?
#14 comprobado:
28+40+32=100
28×3=84
40×2.5=100
32×0.5=16
84+100+16=200
#16, efectivamente, en #5 está la solución, pero la resolución no es correcta del todo como ya he comentado.
Este problema es una variación puesta por mi basado en un problema más sencillo (este es complicado, aviso).
He puesto el enunciado aquí y enlazado a cuando lo escribí en mi Blog. Allí hay comentarios que creo que lo dejan resuelto, no los miréis de primeras
Y no me votéis spam por enlazar mi Blog, que estamos en este sus desconocido
Dejo una pequeña pista. El chaval tiene un dato que nosotros no, y es que el número de niños es múltiplo de cierto número que él conoce.
El tesorero en un principio no sabe ese número, pero sabiendo que ese dato ha sido suficiente para el chaval, sí ha podido deducir lo.
#0 ¿se ha de suponer que no hay abuelos en la isla? o dicho de otro modo ¿en la isla hay madres adolescentes?
#2, tendría que haber bajado la edad de los niños para evitar eso
No hay madres adolescentes, con 15 o menos años se supone que son niños y no han muerto padres.
Venía a escribir pero ya está hecho.