Calcular el menor natural N tal que 2N tiene 30 divisores y 3N tiene 18.
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Yo lo he hecho así:
N = 2n·3m·T, tomando T primo con 6 y con t divisores
2N=2n+1·3m·T con 30=(n+2)·(m+1)·t divisores
3N=2n·3m+1·T con 18=(n+1)·(m+2)·t divisores
Restando estas ecuaciones
12= (m-n)·t
n no aporta más que hacer crecer el número así que lo tomo como 0
y 12=m·t
ahora es casuística
m=1 t=12
posibilidades para N, tomando siempre los menores primos posibles para los mayores exponentes.
3·511
3·55·7
3·53·72
m=2
N tiene las posibilidades:
32·55
32·52·7
m=3
33·53
33·5·7
m=4
34 ·52
m=6
36·5
m=12
311
Estoy con una congestión nasal de campeonato, revisadme esto, por favor.
Me autocorrijo de #16 ahora que tengo algunos mocos menos
t no puede ser 4 ni 12 porque no son divisores de 6 y por tanto tampoco de 30 ni de 18.
Uno facilito, para resolver en la cena de Navidad entre chupito y chupito. Si está mal planteado... que me riña fantomax!!!
#2 #1
Lo miro y en cuanto pueda os contesto.
#2 #3 y #0 Peeerdón, cuuuulpa mía, ya he encontrado la combinación
es el segundo caso que he puesto, si entre los divisores de N estaba el 3 pero no el 2, al hacer 2N tendrías por narices que la única combinación para dar 30 sería:
Si luego nos fuésemos a 3N tenemos la muy próxima combinación (ya que al ir la cosa sumando 1, al restar algo a 2, "desaparece" ).
Si 2N es y 3N es entonces en 2N el primer exponente sería el 2 (al "desparecer" en 3N, desaparecería de la combianción), el 3 estaría el tercero (al sumarle uno tenemos que pasa de 5 a 6) y como se trata de hallar el mínimo, el factor primo más bajo que aún no hemos usado sería el 5, que tendría por exponente 3. (A todos ellos luego les restamos uno para calcular los números reales, que esta parte me estaba saltando decirla aunque luego la tengo en cuenta)
En ese caso 2N quedaría como 2*34*52 = 4050 y que tiene 30 divisores.
Y en 3N tendríamos 35*52=6075 que tiene 18
Con lo que N sería 2025
Perdón por ser tan cegato
#4 Ese me sale a mí, 2025, de un modo más algebraico lo hice.
#5 Pues a mi este ha sido el primero que se me ha ocurrido
#6 creo, pero tengo que revisar, que tengo uno menor...
#10 #9 #12 Se me ocurrió el ejercicio por el mismo motivo que quedó sorprendido #12 curioseando en otra cosa me encontré con la cuestión de los posibles divisores de un número (aparentemente trivial de nivel ESO) y me llamó la atención que se me hubiera escapado.
Aclaro que, obviamente, no soy matemático (me gustan, pero siempre me han costado), solo es por curiosidad. Pero fastidia que con tantos años de carrera con álgebra, cálculo, etc ... ¡Y no sabía calcular cuantos divisores tiene un número! ¡Mierda!
Bueno, al tajo, como creo yo que se puede resolver: Suponiendo que x2, x3, x5, x7, etc... son los exponentes de la descomposición factorial N = 2^x2 * 3*x^3 * ... * m*x^m. Planteo
(x2+1) * x3 * x5 *... * xm = 30
x2 * (x3+1) * x5 *... * xm = 18,
Divido una ecuación entre la otra y obtengo una bonita parábola 2 x2 x3 + 5 x2 - 3 x3 = 0. Las soluciones posibles son infinitas, pero por el dominio de la función el rango de soluciones positivas y enteras está entre 0 y 3/2. Por lo tanto x2 = 1 o nada, lo compruebo y efectivamente x2 = 1, x3 = 5 y por aplicación del número de divisores x5 = 3 (porque es el mínimo factor que podemos usar) Y así N = 3^4*5^2.
A ver que dice la profe
#14 Perdón, por supuesto me refiero a una bonita hipérbola
#14 joder... me esta costando, ya voy pillando algo.
sospecho que querias decir ... * m^xm
pero en la formula todos los x no deberian sumar mas uno, mebos los del 2 y el 3 que deben sumar 2
o sea el x2 +1 de la formula mas el 2 pq estas representando 2N. ＞x2 +02?
#17 vale y no hay diferencua entre x5 y x5' pq los dos son el mismo exponente de N...
#17 Vale! Disculpas por los errores. Quería decir que x2, x3, x5,... xm son los exponentes de sus respectivas bases 2, 3, 5, etc.
Las ecuaciones:
(x2+1) * x3 * x5 *... * xm = 30
x2 * (x3+1) * x5 *... * xm = 18
son obvias. Y lo de la hipérbola 2·x2·x3 + 5·x2 - 3·x3 = 0 es una forma de visualizar las posibles soluciones positivas y enteras: 1, 5 y de ahí se deriva 3. Como tu mismo has dicho se le resta 1 y quedan 0, 4 y 2. La solución es N = 2⁰ · 3⁴ · 5² = 2025
#19 ok, ahora si pillo más .
#4 #5 Felicidades! Muy bien! Añadí en el enunciado lo de "el menor" porque después me di cuenta de que había infinitas soluciones... Espero que os haya gustado. Felices fiestas!!!
#7 ¡Me ha encantado! Muchas gracias por ponerlo espero que no tardes mucho en poner otro
#2, a veces parece que te complicas (ya he visto que lo has terminado en otro comentario). Mira, los 3 casos que divides, pasa de esa separación y ataca directamente. Los grupos que a puesto:
Para 30
Para 18
¿Qué hacer ahora? Observa que en la solución tendrás que quedarte con un grupo de cada y que un número del grupo de arriba disminuirá en 1 que se corresponderá a dividir por 2 (si el número es un 2 desaparecerá) y otro aumentará en 1 (o aparecerá un 2).
Posibilidades, solo una, pasa a , se ve a ojo, pero lo detallo: en el caso ninguno de los 2 números disminuidos en 1 aparecen abajo, en el caso , con el 10 solo sale abajo si disminuye en 1 en , pero el 3 también debería disminuir así que tampoco vale, y en los casos de y tampoco, 15 no aparece abajo ni sumando o restando 1 y lo mismo con 30. Así que arriba solo vale el caso . Ni 4 ni 5 aparecen abajo así que 5 aumenta en 1 para convertirse en 6. Así que abajo solo queda el caso al que podemos llegar disminuyendo 2 en 1.
El resto pues como lo has terminado. Lo que se deduce de aquí es que N (sea mínimo o no) será de la forma q234 con q primo distinto de 2 y de 3. Vamos, si quitamos lo de mínimo quedan infinitas posibilidades y el menor como has puesto es el caso q=5.
P.d. Puntualizo una cosa en tu explicación, la frase los exponentes de los factores, sean los que sean, sería una combinación de 2, 3 y 5 no es muy correcta, querías los exponentes aumentados en 1
P.d.2 Has buscado la fórmula en la wikipedia pero ¿sabes de dónde sale? Yo te animo a que la deduzcas tú mismo, que es muy sencillo.
P.d.4 #5, ¿podrías comentar tu forma de hacerlo?
Como de momento no veo aparecer a
fantomax pongo lo que veo, para que, bien ella, bien #0 me puedan echar una mano, que estoy perdido
Según leo por ahí, la forma de calcular el número de divisores de un número es esta
(sacar los factores primos, pillar los exponentes de los mismos, sumarles uno a cada uno, y multiplicarlo todo)
Con eso en mente tenemos que, en el caso de 2N, como los divisores son 30, podemos decir que los exponentes de los factores, sean los que sean, sería una combinación de 2, 3 y 5.
Las combinaciones posibles de esos factores serían:
Sean cuales sean los factores primos sobre los que se aplique.
Para 3N, como el número de divisores es 18, las combinaciones posibles serían iteraciones de los valores con las combinaciones posibles:
Sean cuales sean los factores primos sobre los que se aplique.
Como 2 y 3 son primos entre si, tenemos que, en 2N alguna de las combinaciones antes citadas, entre sus factores primos estaría el 2, y en 3N alguno de los factores sería el 3. En esas condiciones hay tres posibilidades:
- O bien 2 y 3 forman parte de la lista de los factores primos de N, en cuyo caso, veríamos algún par de combinaciones que uno de los valores baja uno, y otro lo sube. O lo que es lo mismo, para en 2N o 3N podríamos encontrar una combinación en el otro una combinación que fuese o o o alguna variante similar. Y no veo ningún par así
- O bien uno de ellos forma parte de los factores primos de N, en cuyo caso, veríamos que, para algún par de combinaciones, uno de los valores desciende en uno y aparece un 2 en otro. O lo que es lo mismo, para una combinación en 2N o 3N podríamos encontrar en el otro o . Y tampoco veo que eso ocurra
- O bien ni 2 ni 3 forman parte de N, en cuyo caso el número de divisores aumentaría de forma lineal, cosa que por planteamiento no ocurre
O algo se me escapa (más que probable) o algo no cuadra
#2 Algo que no entiendo.. aunque lo he flipado al ver la fórmula de la divisibilidad, no sabia que existia. Yo lo iba a programar combinando la descomposición en primos . A lo bestia.
¿Pero no se supone que son los exponentes más 1? O sea, para 18 divisores los exponentes serían
(A + 1) x (B+ 1) x (C + 1) = 18 y no AxBxC no?
edito. algo parecido ya han comentado.
#11 Yo lo iba a programar en prolog
BTW, en criptografía estos programadores te lo resuelven en menos de un minuto
Yo... Felices fiestas (Es lo menos)
Ando danyado de efluvios y eso...
Joder que guapo! ya entiendo hasta la fórmula! Se aprende un guevo leyendo las soluciones de los problemas.
http://www.tinglado.net/?id=averiguar-todos-los-divisores-de-un-numero
Aqui está explicada, más o menos, pq tiene esa forma.