Cuenta la leyenda que se organizó una macrokedada de meneame en sus mejores momentos. Acudieron, así a ojo y sin exagerarte nada, infinitos meneantes. Se fueron de excursión y compraron bocatas, pero los meneantes son como son, así que ninguno coincidó con ningún otro en el tipo de bocata que querían: que si 1 de chorizo, 1 de chopped, 1 de boquerones con queso... Nadie coincidó con ningún otro. Y los envolvieron en papel albal.
Cuando llegaron al sitio de la excursión el reparto se hizo al azar, y cada uno abría para mirar de qué era. ¿Qué probabilidad hay de que a ningún meneante le haya tocado el bocata que pidió?
Comentarios
#2, tiene el mismo sentido para numerable que para no numerable, aunque sean personas
Uhm, ¿qué haces? ¿Estudiar el caso de n personas y n bocatas y hacer el límite cuando tiende n a infinito? OK, ese problema me parece interesante, pero eso no hace que la probabilidad que pides sea ese límite. Me imaginaba que estabas pensando en algo así.
Te lo explico mejor. Coge un número natural al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea par? Podrías decir que 1/2 porque haces el caso de 1 a n y tomas límite. Pero por otro lado puedo reordenar los números naturales para que al hacer lo mismo el límite de el número entre 0 y 1 que me hayas dado previamente.
¿Entiendes lo que digo? Me gusta el problema que planteas, pero el enunciado no es el correcto, no puedes llamarlo realmente probabilidad, aunque prácticamente cualquiera pensará que ambas cosas son la misma.
#3 Bueno, no puedo editar el enunciado... pero básicamente puedes pensar que donde pongo que "no he exagerado" en realidad soy irónico, y no han ido infinitas personas a la kedada. Lo cual tiene sentido. Pero supongamos que han ido "un cholón".
#4, de hecho decir que han ido tantos que casi podemos considerarlos infinitos y que calcules aproximadamente la probabilidad sería correcto
Espero que no me estés considerando hoy que soy muy puñetero
#5 Tranquilo hombre, cuanto más puñetero eres, más aprendo. No sabía lo de la probabilidad y el infinito. Ahora sí. Pero si coincidimos en una kedada te voy a dar el bocata que no toca, por joder.
#6
Gracias por poner tantos problemas, molan y animan, algunos son realmente muy chulos.
Y si nos ponemos tiquismiquis es porque esa es la labor del matemático.
#7 pero resuélvelo! Que es bonito y la respuesta es curiosa.
#7 P.D. Aunque bueno.. como es un problema famoso, a lo mejor no resuelves porque lo has estudiado y no quieres fastidiar a los demás.
#11 A menudo me callo por eso, me has pillado. Pero de verdad que agradezco mucho las aportaciones.
#24, estas fórmulas quizá te ayuden
P(A o B) =P(A) +P(B) - P(A y B)
P(A o B o C) = P(A) +P(B) +P(C) - [P(A y B) +P(A y C) +P(B y C) ] +P(A y B y C)
Y en general para n distintos vas sumando la de cada uno en generado, restas todas las posibles de 2 combinados, sumas todas las posibles de 3 combinados, restas todas las posibles de 4 combinados, etc.
En este caso todos tendrán en el denominador n! y todos los que combinen el mismo número de elementos tendrán la misma probabilidad, con lo que se simplifica bastante.
#25 Muchas gracias, aun así me ha costado. No recordaba que por Taylor e es el sumatorio de la secuencia de términos que están divididos por los factoriales de forma creciente.
Un problema muy bonito.
¿Infinito numerable o no numerable? Supongo que numerable.
Así de primeras diría que si c es el cardinal de los reales:
Número de casos favorables c
Número de casos desfavorables c
Número de casos totales c
Conclusión, no tiene sentido la pregunta.
Es que con conjuntos infinitos sin usar medidas no puedes hablar de probabilidades en un principio, salvo que definas algo por ahí. Lo mismo estás pensando en algún tipo de función de probabilidad en N^N.
Mira, para que veas un ejemplo, un ejercicio que me pusieron en la carrera es demostrar que no existe ninguna función de probabilidad en los conjuntos naturales que cumpla que la probabilidad de elegir un número par es 1/2, múltiplo de 3 un tercio, múltiplo de n 1/n y así.
De todas formas me gustaría saber cómo lo estabas enfocando.
#1 Buenas, infinito numerable, ¡son personas!
Sí tiene sentido. Te puedo asegurar que cuando el número de personas tiende a infinito, la probabilidad de que a nadie le toque el bocadillo que pidió es aproximadamente 1/3... bueno 36.7879% más o menos.
P.D. Los problemas que pongo son problemas que inventé hace años y están testeados por otra gente. En este caso lo resolvieron 2 de 5 personas.
Pero los bocadillos de tortilla de patata con cebolla no?
#16, hay uno de cada
Sea N el numero de personas y bocatas, la probabilidad de que a ninguna persona le toque su bocata viene dada por:
1/2n
Esto se deduce facilmente al expandir todas las permutaciones de todos los resultados posibles, sea 0 = persona no tiene su bocata y 1 = persona tiene su bocata, para n = 2 las opciones posibles son:
00, 01, 10, 11 = 1/22 = 0.25 para 00
Para n = 3:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 1/23 = 0.125 para 000
Resolviendo el limite para n = ∞, la probabilidad tiende a 0.
#26 Siendo mas rigurosos habria que desmostrar que cada resultado es equiprobable; hay varias formas sencillas de hacerlo (para n>1), lo dejo en el aire para no romper el problema del todo
#26 Pues.... no es correcto. Te voy a dar pistas: si en la respuesta no aparecen factoriales y un sumatorio infinito... no es la correcta. En tu propuesta se ve rápido que está mal el planteamiento, piensa en tu problema de 2 personas: dices que la probabilidad es 0.25. Ahora piensa en el mundo real, tienes dos personas y 2 bocadillos en la mochila... sacas uno al azar y se lo das al primero, ¿qué probabilidad tienes de darle el correcto? 0.5. Pero es que si le has dado el correcto, el siguiente será el correcto, si le has dado el erróneo, el siguiente será el erróneo. Así que la probabilidad final es 0.5 y no 0.25.
#28 Cierto, estaba pensando en N bocatas para N personas, obviando la restriccion de no repeticion. Ahora estoy en la oficina, en casa le anyado la restriccion
#14 checked.. equivocado.
¿Se supone que hay infinitos tipos de bocatas diferentes?
#8 si hay n personas hay n tipos de bocadillo diferentes. Y digamos que no son infinitas personas y bocadillos o no cabrían en el planeta... pero son taaaantos que como si lo fueran. No son infinitos pero n tiende a infinito.
Vale, digamos que hay B bocatas.
Al primero el pueden tocar B-1 bocatas (todos menos el suyo),
al segundo B-2...(menos el suyo, hay B-1 bocatas, pero el primero ya se ha cogido uno)
al tercero B - 3
...
y así obtenemos todas la combinaciones posibles de bocatas, en las que nadie sale contento.
a mi me da (B -1)! / B!
y eso es 1/B
Si lo metes en un limite a infinito por el numero de bocatas, la probabilidad tiende a cero.
O sea cuántos más bocatas y meneantes hay, menos probabilidad de que todos salgan descontentos. Tienen sentido el resultado, creo.
A ti te dió un 34%...¿Por que?
#12 Porque lo has resuelto mal. Y no me da 34% sino 36.7879%. Y bueno, no es que me dé a mí, es un problema famoso de hace siglos. No debería costarte ni 5 minutos simular por ordenador que te equivocas.
#13 No lo dejes colgado y resuelvelo ... un dia de estos.
#13, para ser exactos te da una probabilidad de 1/e.
Ale, ahí queda como pista. Y bueno, quien no tenga ciertos conocimientos matemáticos le va a ser difícil calcular dicho límite (cualquier estudiante de ciencias que haya dado algo de análisis matemático debería poder).
#18 ¡Es un resultado totalmente correcto! El planteamiento es majo también. Lo puse porque me parece un resultado muy limpio, bonito, y que además muestra una de las relaciones de un número transcendente con la probabilidad.
#20, puedes encontrar también a pi en otras probabilidades. De hecho hay quien probó a calcular pi repitiendo un experimento cuya probabilidad estaba relacionada con dicho número.
Yo tengo un problema conceptual.
Supongamos que haya B bocadillos, la probabilidad de que le haya tocado al primero su bocadillo es (B-1)!/B!=1/B, por lo que la probabilidad de que no le haya tocado sería 1-1/B. Esa es la misma probabilidad que la del segundo, por lo que la probabilidad de que no le haya tocado al primero ni al segundo sería (1-1/B)^2. Y extendiendo hasta todos los bocadillos sería (1-1/B)^B. El límite sería el 1/e del resultado.
¿cual es el problema? Pues que al multiplicar se ha supuesto que el hecho de que le toque al segundo es independiente del hecho de que le toque al primero, y eso no es así, ya que si le ha tocado al primero queda un bocadillo menos para repartir.
La probabilidad de que no le toque ni al primero ni al segundo sería 1-P(2º/no 1º), y a mi me sale (B^2-B-1)/(B-1)^2, y eso lo veo difícil de extrapolar a todos los bocadillos.
Parece que de alguna forma al incrementar el número de bocadillos al infinito, se igualan las probabilidades condicionadas y no condicionadas, y no veo el por qué.
#22 Perdón, la probabilidad condicionada a que no le toque ni al primero ni al segundo me sale (n^2-3n+3)/(n-1)^2. Lógicamente lo que había escrito no podía ser ya que da probabilidades mayores que 1.
#22
Vaya, otro fallo. Hoy no es mi día.
La probabilidad de que no le toque ni al primero ni al segundo sería 1-P(2º/no1º)-P(1º), esto incluso complica mas el cálculo a (B^3-4B^2+5B-1)/(B(B-1)^2). En fin, que este camino no parece ser.