Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca suavemente dentro de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Después de esta operación, el cilindro y su contenido pesan 20 kg más. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cuál es la densidad de la esfera?
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Comentarios
#5 Arquímedes demostró la relación de volúmenes de una esfera y su cilindro circunscrito. Teniendo en cuenta las fechas demostrar eso es bastante notable. Es el resultado del que más satisfecho se encontraba y pidió que en su lápida grabaran un esquema de la esfera y el cilindro. Cuando se encontró esta lápida se supo que era de uno de los matemáticos más brillantes de toda la historia de la humanidad, pero en no me acuerdo de qué guerra se volvió a perder.
#6 Gracias por la explicación y por el reto, que un rato me ha costado. He fallado al recordar la fórmulas de ambos volúmenes.
#6 Solo por agrandar aún más la imagen, en un palimpsesto Arquímedes hace una especie de integral cutre para resolver un problema. No es nada formal, pero básicamente hace un límite de una suma. a su manera, para obtener el resultado correcto (4000?) años antes que newton y Leibniz?
#9 No es una integral cutre, y de hecho es un método desarrollado por Eudoxo y llevado a límites bastante sofisticados por Arquímedes, llamado Exahusción, que usan para calcular areas de segmentos de parábola, etc. Lo que pasa es que la integral usa el principio de Cavalieri y la geometría analítica de Descartes, y eso no existía en la época de Arquímedes. No sólo se ve en el palimpsesto.
#10 Yo me leí la traducción literal en un libro y bueno, muy formal no era lo que estaba haciendo. O eso me parece recordar porque hace más de 10 años. Por eso lo llamo cutre, para nuestra época claro, pero absolutamente genial y grandiosa para la suya, no puedo ni imaginarme lo que hubiese hecho ese tío si hubiese nacido a día de hoy con el triple de esperanza de vida, la posibilidad de dedicarse exclusivamente a las matemáticas y todo las bases aposentadas y formalizadas de siglos anteriores.
#11 Arquímedes es genial del todo. Formal era al nivel de su época. En el palimpsesto lo que se recuperó fue un libro que se sabía que había escrito por algunas referencias, en el que explica los métodos experimentales por los que llegaba a las conjeturas antes de formalizar las demos.
siendo:
vC = volumen cilindro
vE = volumen esfera
dA = densidad agua
dE = densidad esfera
vC * dA + 20 = ( vC - vE ) * dA + vE * dE
como vE * dE = 40 y dA = 1
vC + 20 = vC - vE + 40
vE = 20
como vE = ( 4 * pi * r3 ) / 3
r3 = 15 / pi
como vC = pi * r2 * 2 * r
vC = 2 * pi * r3
vC = 2 * pi * 15 / pi
vC = 30;
como dE = 40 / vE y vE = ( 4 * pi * r3 ) / 3
dE = 30 / ( pi * r3 )
dE = 30 / ( pi * 15 / pi )
dE = 2
Con un resultado tan redondo no puedo estar equivocado
#2 ¿Y sabes por qué cito a Arquímedes?
#4 La verdad es que no. Bastante he tenido con lo de arriba
#2 Pero... ¡Si ya había despejado vE!
como dE = 40 / vE y vE = 20
dE = 2
#8 perdón dedazos ahora te compenso
¿Y no es más sencillo plantearlo asi? sin formulas matemáticas complejas, simplemente con el principio de Arquímedes, si al introducir la bola de 40 kg en el recipiente lleno hasta arriba y que se sumerje por completo, solo pesa 20kg mas, sea la forma del recipiente que sea, ha desalojado 20kg de agua, lo que equivale a un volumen de 20 litros que es lo que tiene la esfera de volumen.
La densidad = masa / volumen = 40kg / 20l = 2kg/l
#13 Y con esto no sólo nos ahorramos que el recipiente sea un cilindro, sino también que sea una esfera, puede ser una palangana, un cubo, un barco, un dodecaedro pentagonal o una corona de oro.
edit: para saber la densidad, no el volumen del cilindro, que en ese caso, pues vale...
€0 seguro que no estamos hablando de masa en algún "peso" del enunciado?
#1 Ciertamente, todo son masas, no pesos
O todos tienen razon. O hoy no tengo ganas de discutir.
El problema muy bueno. Gracias #0
Como cilindro y esfera tienen exactamente el mismo radio, el agua no puede fluir a través de la ranura que forman.
Cuando se introduce la esfera hasta la mitad, la ranura tiende a cero, y la vicosidad y tensión superficial del agua predominan. En estas condiciones colocando la esfera suavemente, como mucho llegas hasta la mitad. Osea, como mucho hay media esfera dentro y media fuera.
Con densidades de esfera menor a las del agua, la esfera flota mucho y desaloja poca agua (suma mucha masa y resta poca).
Para el límite de media esfera dentro y media fuera, la densidad de la esfera tiende a la del agua, de tal forma que lo que entra por lo que sale, y le sumamos la masa de media esfera que queda fuera. Que son 20 kg. Encaja. Ea
Ah! Y el volumen (para un cilindro) será mayor o igual a PI*R^3. Osea, que al menos quepa media esfera, y de ahí p'a arriba todo lo que se quiera aumentando la altura del cilindro.
Si la esfera toca el fondo. Desaloja 20 pero su densidad puede ser mayor de 2 sin problema.
Metemos 40 kg y hay 20 kg más... se han perdido 20 Kg en alguna parte: el agua que rebosa.
20 kg de agua tienen el mismo volumen que la esfera. 20 litros, de agua destilada en condiciones normales.
20 dm cúbicos.
eso son... 0,020 metros cúbicos.... no recuerdo bien en la densidad si la masa iba arriba o abajo, pero de hace la división, y para casa, hay que mirar los... los cojones... hay que mirar...
El comentario de arriba tiene razón, solo entra la mitad de la esfera, hasta que deja de rebosar agua. La media esfera pesa lo mismo que el agua y tiene su mismo volumen, la esfera tiene la misma densidad que el agua.