Un bus tiene 53 plazas, a cada pasajero le asignan una. Pero el primero pasajero que entra, no se sienta en su plaza. Cuando un pasajero entra, si su plaza está libre, se sienta en ella. Si no lo está, se sienta en una plaza al azar. ¿Qué probabilidad hay de que el último pasajero se siente en el sitio que tenía asignado?
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AVISO: PONGO LA SOLUCIÓN
No pongo las cuentas, que son unas 3 líneas, pero por aquí es chungo escribir matemáticas y además el explicar lo que uno piensa lo alarga aún más. Si eso podría subir foto con cuentas y explicación en papel (cuentas 3 líneas, con explicación saldrá más).
Pongo 3 resultados, el bueno es el segundo, los otros 2 es para que nadie lo lea sin querer.
(n+3)/(n^2+5)
(n-2)/(2n-2)
(n-6)/(4n)
No descarto haberme equivocado, que no lo he resuelto estando en condiciones óptimas
#0, confirma si el resultado es correcto.
#8 Hola! la solución es correcta! Pero a mí me pareció fácil, y sobre las cuentas... yo solamente hice esto:
1-(1/(n-1))/2 = (n-2)/(2.(n-1))
#9, uhm, ese
1-(1/(n-1))/2
Supongo que en realidad es
(1-1/(n-1))/2
¿No? Porque si no no es lo mismo que lo que me ha salido a mí. Lo mio no es que sea demasiado complicado. Me sale directamente una fórmula para el caso que no se siente en su sitio en el caso n que depende de todos los casos anteriores (un sumatorio). De hecho es el sumatorio respecto i de que el primero se siente en el asiento i x la probabilidad de que i no se siente en el 1 x el caso n-i+1.
Inmediatamente se ve que se puede poner solo respecto el caso anterior y por último al ir haciendo las sustituciones de los casos anteriores sale una fracción donde los términos de arriba y de abajo se van simplificando casi todos. Y luego 1- el resultado, claro.
Así que seguro que tu solución es mucho más sencilla.
#10, ah, lo del sumatorio no sale de nada raro, solo de la fórmula esa de que si tenemos que tiene que pasar A1, A2,..., An y no pueden pasar los dos a la vez (en lo que he puesto es el asiento al que va 1) entonces
P(B) =sumatorio P(Ai) xP(BAAi)
siendo P(BAAi) la probabilidad de B una vez que sabemos que pasa Ai. Quizá suene rara pero es una de las fórmulas más básicas en probabilidad.
Ah, no, existe el caso n-n+1 (autobús de 1 asiento en el que el primero no se siente en sí asiento), que sería el último elemento del sumatorio. Ahí toca poner un 1 (si 1 se sienta en el asiento del último, el último no se va a sentar en su asiento).
#11 Sí, perdón, el 1 va dentro del paréntesis. Mi planteamiento fue que lo que resulta molesto en el problema es que el primer pasajero escoja un asiento que no es el suyo. Si fuese un asiento al azar hay un desarrollo sencillo con un sumatorio, que se resuelve y da 1/2 (sí, independientemente del número de asientos, si el primero se sienta al azar, la probabilidad de que al último le toque su sitio es 1/2). De ese sumatorio quito el término que me fastidia la resolución... y bueno, el resto de la historia ya la conoces
#12 Si. Yo estaba con el primer pasajero aleatorio hasta el spoiler de #7 donde me di cuenta que no cuadraba el resultado y me tocó leer de nuevo el enunciado. Siempre se equivoca intencionadamente el muy...
ASI los pasajeros de 3 plazas (alfabeto) en asientos numerados:
B A C * (correcta una de tres)
C B A
B C A
Y con 4 plazas mismo resultado (6/18)
#12, uhm, luego quizá le de una vuelta, pero ahora mismo no sé me ocurre de dónde sale el sumatorio que dices. Sí que consigo sacar el 1/2, pero de la forma que lo hago yo no podría luego deducir nada. Tú debes llegar al 1/2 por otro camino.
#12, uhm, bueno, no hace falta saber el sumatorio, a partir del 1/2 sale, pero a mi me sale de despejar x de
1/2=1/n+x(n-1)/n
Así que tú lo haces distinto
#20, estás mezclando resolución con resultado. Con lo que me has explicado ahora sol o confirmas que da el mismo o resultado, pero eso ya te lo había dicho en mi comentario . Fíjate que tú mismo dices ahora que se puede reducir al caso n-x, pero en tu explicación anterior hablabas solo del caso n-1.
En el primer párrafo, caso del cuarto pasajero, sale P(n-3) que depende de los anteriores, sí, pero fíjate que para el cuarto pasajero no has usado ni P(n-2) ni P(n-1). Te coincide porque todos los P(I) son iguales.
Si los P(I) no fuesen iguales no valdrían tus fórmulas. Es que es más, si llegas a hacer directamente el caso que el pasajero no se sienta en su asiento, colo los P(I) son distintos y tu fórmula fallaría. Sin embargo usando el desarrollo que te he dicho antes estaría bien hecho. Es más, haciendo exactamente lo o que te acabo de decir es como conseguí llegar a la solución.
#21 Vale vale
Uff, se me ocurre una forma muy fácil de resolverlo, pero muy trabajosa. Seguro que hay un método más directo.
#1 Decías que te gustaban los problemas de enunciado sencillo y resolución no tanto, ¿no? Pues seguro que lo disfrutas
#2 Con difícil me refería a que el planteamiento fuera complicado de abordar, no a largo y trabajoso. Yo creo que como lo he pensado es demasiado largo, tiene que haber una forma mucho más directa de calcularlo.
#3 Ah no, este se soluciona en una línea. No hay trabajo... De hecho no espero el número final, no tiene sentido, prefiero generalizar para un bus de n plazas.
#4 Entonces como yo lo he pensado fijo que no es, jajajaja.
Veamos. Cambiemos el problema para que el primer usuario se sienta al azar. Para n plazas tenemos que el primero que entra:
- 1/n de sentarse en su sitio (todo iría OK)
- 1/n de sentarse en el sitio del último (todo iría KO)
- (n-2)/n de sentarse en cualquier otro sitio... y pasamos a multiplicarlo por el mismo problema pero para un bus de una plaza menos.
Siendo P la probabilidad de que sí:
P(2) = 1/2
P(n) = 1/n + ((n-2)/n)*P(n-1) = 1/n + (n-2)/2n = 1/2
Ahora bien, el primer pasajero no ha elegido al azar. Ha elegido un sitio que no es el suyo. Si hay n asientos la probabilidad de que se siente en el asiento del último pasajero es 1/(n-1), y la probabilidad de que se siente en otro asiento es 1 menos la anterior: 1-1/(n-1). Ésta última es la única que nos da la probabilidad del OK, y la multiplicamos por la probabilidad del bus con un asiento menos que es 1/2.
#17, tienes un fallo en tu razonamiento, que al final te da el resultado bien, pero hay fallo.
Si el primero se sienta en el del cuarto pasajero, el caso del cuarto no será el mismo problema con un asiento menos sino que de hecho se encontrará con 3 asientos ocupados (el 2, el 3 y el 4), así que donde pones
((n-2)/n)*P(n-1)
En realidad sería sumatorio desde i = 1 hasta n-1 de P(n-i)/n
Lo que pasa es que como todos los P(j) dan iguales, pues al final da lo mismo que tú dices. Por cierto, habría que decir que puedes pasar a los casos anteriores porque consideras el asiento 1 como el asiento que le corresponde al pasajero que va a elegir al azar (no puede elegir el suyo al estar ya ocupado).
Y vale, para el 1/2 es lo que había hecho yo pero con la corrección que te acabo de hacer. Colo habías dicho que usabas un sumatorio sencillo pensaba que sería otra cosa. De hecho lo que has usado es inducción.
Tampoco entendía a qué te referías con quitarle algo al sumatorio, parecía que decías un sumando. Esa parte la has hecho distinta a la que había pensado yo luego.
En el último párrafo un par de comentarios. Te ha faltado decir que al reducir al caso n-1 sí dejas sentarse en el propio asiento. Además esto lo haces así porque aunque en un principio no se puede por estar ocupado, estás considerando que el propio asiento es el que 1 dejó libre.
#18 "Si el primero se sienta en el del cuarto pasajero, el caso del cuarto no será el mismo problema con un asiento menos sino que de hecho se encontrará con 3 asientos ocupados (el 2, el 3 y el 4), así que donde pones"
Si desarrollas el árbol completo verás que tengo razón, y se multiplica por la probabilidad de P(n-1) cuando el pasajero se sienta al azar, porque P(n-1) depende de P(n-2) que depende de P(n-3)... En tu ejemplo, el bus tiene n asientos, el primero se sienta en el 4, así que de repente 2 3 y 4 están ocupados, así que estamos de repente en un caso de un bus de n-3 (2,3 y 4 han dejado de existir) asientos el siguiente que entra es el 4, y habrá 1/(n-4) posibilidades de que ocupe el asiento del primero, así que todo el bus cuadrará a partir de ahí, 1/(n-4) de que se siente dónde el último pasajero, y 1-2/(n-4) de que se siente al azar y pasemos al problema de P(n-5).
Créeme, si desarrollas el árbol o lo dibujas lo verás.
Lo de quitar al sumatorio e inducción, es porque soy despistado... bueno, no lo soy en realidad, pero pongo más atención en mi trabajo que en el ocio, esto era ocio, asi que presté menos interés. Me disculpo.
En el último párrafo no veo la incorrección. Hay n asientos pero el pasajero 1 no puede sentarse en el suyo propio. Asi que quedan n-1 asientos. Hay un 1/(n-1) de que se siente en el asiento del último pasajero. Hay 1-(1/(n-1)) de que no lo haga. Si no lo hace... ocupa el asiento x. Entra el pasajero 2 y todo se reduce al problema anterior de repente: si X=2 entonces tienes un bus de (n-1) asientos dónde reasignas el asiento del pasajero 2 al del 1. Si X distinto de 2, entrará un pasajero e irá a su sitio... pero en algún momento llegarás a la situacion de (n-x), por inducción será la misma que digo antes, un bus con (n-x) asientos, dónde a x le has reasignado el asiento 1, y vemos qué decide x, si sentarse en su sitio o no.
#17, ah, ojo, que en el último párrafo te pasa lo mismo. No lo puedes reducir al caso P(n-1) sino que dependerá del asiento, para el asiento j será P(n-j+1). Pero de nuevo como son todos iguales va a coincidir con lo que has dicho.
Al final has tenido el mismo fallo 2 veces (quizá cuando lo hiciste originalmente no pero se te pasó al reescribirlo ahora), pero el resultado final está bien y la idea era buena.
No es que sea un tiquismiquis, en un examen no te habrían puesto toda la nota en esa resolución, ya cuanto te hubiesen puesto dependería de los criterios de corrección del profesor.
Ah, en mi resolución primera, lo hice todo el rato con no poder sentarse en su asiento por lo que lo P(n) eran distintos y de ahí que saliera algo más complicado (tampoco mucho más).
Pd. A lo tuyo no lo llamaría una línea
La probabilidad del anterior por su probabilidad.
Hecho con calculadora para un autobus de 4 plazas. Imagino tb válido para N plazas
#6 Vas bien encaminado.
....
[SPOILER ALERT]
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.....
Te diré que en un autobús de 4 plazas la probabilidad es 1/3
¿Tenemos en cuenta la posibilidad de que por azar, el primer pasajero se siente en su plaza, a pesar de haberla rechazado al principio, o es seguro que no se sienta en su plaza? Pq el número cambia, creo.