Los 5 mejores contraejemplos de la historia de la matemáticas

La conjetura de Goldbach nos dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos primos. Por ejemplo, 24 es 11 más 13, o 66 es 23 más 43. Este enunciado todavía no ha sido demostrado, pero sí se ha comprobado computacionalmente hasta 4 por 10 elevado a 18, un número enorme. Entonces claro, nos podríamos decir, venga ya, si se ha comprobado hasta ese número tan grande, tiene que ser cierta 100%, ¿no? Pues bueno, en matemáticas, muchas veces la intuición falla, y este podría ser uno de esos casos.

[#2 Pancar]

1) Integrales de Borwein.
Conjetura: La integral del producto de senos cardinales (sen(x/n)/(x/n)) es igual a π/2.
Contraejemplo: para n= 15 no se cumple
2) Función de Weierstrass.
Conjetura: las funciones continuas son derivables salvo algunas que no lo son en puntos o entornos aislados.
Contraejemplo: la función de Weierstrass es continua y no es derivable en ningún punto (tiene dimensión fractal)
3) Conjetura de las sumas de potencias de Euler.
Conjetura: una potencia de exponente n no puede ser suma de n-1 potencias de dicho exponente n.
Contraejemplo: 27⁵ + 84⁵ + 110⁵ +133⁵ = 144⁵
4) Números de Skewes. La función logaritmo integral estima la cantidad de números primos menores que cierto valor. La función contadora de números primos devuelve la cantidad de números primos menores que un cierto valor
Conjetura: la función logaritmo integral es siempre mayor que la contadora de números primos
Contraejemplo: para x= 10⁹⁶³⁰⁰ la conjetura no se cumple
5)Conjetura: El máximo común divisor de n¹⁷+9 y (n+1)¹⁷+9 es siempre 1
Contraejemplo: para un número n de 52 cifras que me niego a escribir, la conjetura no se cumple

[#5 pignito]

#2 En el punto 2, está demostrado que la inmensa mayoría de funciones continuas no son derivables en ningún punto, pero a nuestro cerebro de prímate le cuesta mucho trabajar con ellas.

[#12 EmuAGR]

#5 Cuando encuentras un contraejemplo, a veces basta para descubrir una nueva categoría de excepciones. Con esa función fractal ya puedes generar funciones fractales infinitas que no lo cumplen... Y por eso tu "inmensa mayoría", es una comparación de infinitos.

[#19 Pancar]

#5 Tanto trabajo cuesta que incluso gente como Ampere o Hermite eran reacios a admitirlo. Aunque es verdad que la definición de función que manejaban era menos estricta.

[#16 Desactivado]

#2, en el punto 1 te ha faltado decir que es la integral definida de 0 a más infinito, y productos de los impares.

[#15 Desactivado]

#14, sí.

El "truco" está en que son bolas macizas (eso no existe, hay espacios entre los átomos), y los trozos en los que se divide la bola no son medibles.

[#28 Idomeneo]

#14 A ver, en #15 Zurditorium te ha respondido "sí", pero esa en realidad es la respuesta "corta", para que no salgas del asombro. La respuesta no tan corta es que en este ejemplo el concepto de densidad ni siquiera es aplicable, porque en la construcción que se hace no se trata de una bola física, sino que se identifica la bola con el conjunto (infinito) de todos sus puntos.

El enunciado según wikipedia:

Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito1 de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.

Todo eso se acaba viendo dentro de la teoría de conjuntos, sin definir masa ni densidad.

[#31 Desactivado]

#28, es que el concepto de densidad real implica hablar de bolas no macizas. Al hablar de bolas macizas es como si fuera de densidad máxima, pero en la realidad no existe.

CC #14

[#32 Idomeneo]

#31 el concepto de densidad real implica hablar de bolas no macizas

No entiendo bien lo que dices. Para considerar una densidad real, en sentido físico, bastaría con definir una función de densidad d(x,y,z) para cada punto e integrar en cada trozo para saber la masa de dicho trozo.

Lógicamente eso no se podría hacer con los trozos de Banach-Tarski, porque son conjuntos no medibles y no se puede integrar en ellos.

Pero si lo que quisiéramos hacer es estudiar cómo flota una bola hecha una mitad de madera y la otra de poliestireno, por ejemplo, o cómo se hunde, seguramente bastaría con eso, no haría falta suponer que la bola está hecha de átomos.

En ese sentido podríamos tener una bola "maciza" (es decir, sin huecos) con una densidad concreta d(x,y,z) en cada punto, no veo el problema.

[#39 Desactivado]

#32, a lo que me refiero es que al final la densidad viene dada por el número d protones y neutrones que hay en cada trozo, bueno, y en menor medida electrones. Suponer que la bola es maciza sería suponer que está todo el espacio repleto de estos, el peso sería enorme y supongo que por acción de la gravedad incluso se compactaría y a saber lo que podría pasar ahí.

Claro que puedes partir de una función de densidad, pero como bien dices además en estas manipulaciones no podríamos hablar de qué pasa con dicha función.

[#34 Desactivado]

#15 Es que el gran fallo de las matemáticas parte de pretender que el concepto de número, tiene una correspondencia exacta con la realidad. Por ejemplo, el número 1.
Hay algo en la naturaleza que sea realmente "uno"?

[#38 Idomeneo]

#34 Eso no es fallo de las matemáticas. Quienes pretenden algo son las personas. Las matemáticas no pretenden nada por sí mismas, son solamente una herramienta.

[#41 Desactivado]

#40, admin, baneen a este tío

[#4 pignito]

Euler se equivocaba. 😱

[#37 ccguy]

#36 Por qué crees que son conjeturas

[#1 Spirito]

Las matemáticas, ese mundo verdaderamente mágico con una certeza casi absoluta.

[#6 pignito]

#1 las matematicas son todo lo contrario a la mágia, es puro razonamiento, si no se puede explicar no se acepta como válido.

[#7 Spirito]

#6 Las matemáticas son mucho más que puro razonamiento. Como dijera Ramanujan: no se entiende las matemáticas si no son un pensamiento de Dios.

[#17 sieteymedio]

#7 ¿Qué dios?

[#18 Tronchador]

#17 El auténtico...

[#20 sieteymedio]

#18 Ah, el spagueti volador.

[#21 sergiobe]

#20 Escribe el nombre de Nuestro Señor correctamente, si no te importa.

[#25 Spirito]

#17 Llámalo Naturaleza, como diría Baruch Spinoza.

[#33 Desactivado]

#7 Y entonces llegó Kurt Gödel y le hizo un mega "zas, en toda la boca" a ese pensamiento mágico, tan impropio de una persona racional.

[#13 Desactivado]

#6, ¿y si te digo que las matemáticas permiten hacer el milagro de la duplicación de los panes y vinos? Concretamente se puede trocear una bola maciza en una cantidad finita de trozos y éstos se pueden juntar de nuevo para formar dos bolas macizas del tamaño de la original

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski

¡Magia!

[#14 Raziel_2]

#13 ¿Con la misma densidad?

[#22 cutty]

#13 Sí, sí,pero lo de los vinos ha sido cosecha tuya.

[#26 pignito]

#13 Para que eso fuera cierto, la materia debería ser divisible infinitamente.

[#27 Desactivado]

#26, más abajo he explicado dónde está el truco.

[#35 Desactivado]

#26 La paradoja de Zenón.

[#29 Idomeneo]

#13 el milagro de la duplicación de los panes y vinos

Nota: Son dos milagros distintos, por un lado está la multiplicación de los panes y los peces, y por otro la conversión del agua en vino en las bodas de Caná, aunque si quieres puedes aplicar Banach-Tarski y juntar los dos milagros en uno solo.

[#30 Desactivado]

#29, me di cuenta después al releer el comentario pero ya no podía editar

[#40 Trigonometrico]

#13 A mi eso me suena un poco a esto:

https://elabacodemadera.files.wordpress.com/2019/12/pi4.png

[#11 silencer]

La intuicion es muy util, pero no aprueba examenes

[#3 Desactivado]

Si se ha comprobado hasta 4 por 10 elevado a 18, y no más, nunca podrá decirse que sea 100% cierta.

[#9 ccguy]

#3 Por supuesto que sí, cuando se encuentre una demostración.

[#36 Desactivado]

#9 Sin duda.

Pero hasta entonces, el afirmar que tiene que ser 100% cierta, será una afirmación sin evidencia.

[#8 hazuko]

Este vídeo también sirve para explicar la diferencia entre un matemático y un físico

[#10 Desactivado]

#8 Entonces soy distinto de mi mismo .

[#24 hazuko]

#10 Sabes que si eres físico y matemático, no eres ninguna de las dos cosas verdad?

De todas formas intuyo que eres más matemático, tu comentario sólo podría ser escrito por uno de ellos. Si fueras más físico, aceptarías la realidad tal y como te es dada y verías que no hay contradicción.

[#23 leitzaran]

¡Qué pena que el artículo esté en un vídeo!
Para estos temas pienso que es mucho mejor "por escrito".