Sean dos números iguales a y b con "a" elemento de los Naturales y "b" tambien elemento de los Naturales y distintos de cero, escribiremos:
- a = b
Multipilicando ambos lados de ésta igualdad por el mismo número "a" (lo cuál es absolutamente válido) obtenemos:
- a² = ab
Ahora restamos de ambos lados el mismo número " b² " (lo cuál es absolutamente válido) tenemos:
- a² - b² = ab - b²
Ésta última expresión puede escribirse asi (factorando en ambos lados):
- (a + b)(a - b) = b(a - b)
Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:
- a + b = b
Pero como al inicio asumimos que a = b entonces podemos escribir:
- b + b = b
- 2b = b
De donde finalmente se obtiene que:
- 2 = 1 ¿?
¿Donde esta el error?
Comentarios
Me inhibo de responder porque es un clásico muy conocido, dejo tiempo a quien quiera buscar por su cuenta.
Esto ya fue hasta portada en menéame justoa unas cuantas paradojas más (uy, la dirección del blog me suena ):
Demostraciones de que 1=0 y similares
Demostraciones de que 1=0 y similares
zurditorium.comComo dice #1 es un clasicazo.
Esto es lo que está mal: Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:
Poco importa que a y b sean distintos de 0. Lo que importa es que a-b es 0 y "no puedes" dividir por cero.
#0 Da igual que a y b sean diferentes de cero. Si a=b entonces a-b=0, por lo tanto no puedes dividir por a-b.
Tiene años la paradoja, y mira que me costó entenderlo
No se puede dividir por 0, ese término "(a-b)" vale 0 por la asunción del principio.
Es como poner:
5 * 0 = 7 * 0
#5 Esa es una explicación más completa que la de dividir por cero. Ahora todo tiene sentido.
El problema no es necesariamente dividir por cero, el problema es utilizar cero como factor común.
#10 Bueno, ahora podemos decir que tu explicación es la más completa
#10 A todo esto. La explicación no es mía, es de un compañero de Mensa matemático que me lo explicó hace ya años
¿Que 'a' y 'b' sean iguales implica que 'a - b = 0' entonces 'loquesea (a - b) / (a - b)' es diferente a 'loquesea' por lo que no se puede despejar así?
Está todo bien menos al final, donde pone 2=1
El error, claramente, está en la multipilicación.
#6 Joá, mi chiste no hace gracia ni a belcebú
¿Qué chorrada es esta?
Pero hay una cosa que no entiendo:
¿Sin mencionar al cero, tiene solución la paradoja? ¿Existe alguna otra regla que inhabilite esos pasos?
O dentro de las reglas generales, para resolver ecuaciones polinómicas de grado uno... existe la norma de la excepción tal cual... "con el cero no se juega".
Lo cual sería como una regla gramatical: las reglas generales tienen una excepción que obliga a poner un apéndice.
No sé si me estoy explicando: ¿Existe la formalización de esas reglas? ¿El cero está enunciado como una excepción a las reglas generales? El problema puede ser viejo pero.. ¿Cuánto tardó en resolverse desde que se expuso hasta que se le encontró una explicación?
Parecen preguntas chorras, pero si he conseguido explicarme, tienen implicaciones interesantes para mi.
#7 Los reales son un conjunto numérico para el que definimos las operaciones de suma y de producto mediante unas reglas. Todos los reales teniendo en cuenta la suma únicamente son un grupo abeliano, cumplen los axiomas de asociativa, elemento neutro, elemento opuesto y conmutatividad de la operación.
Quitando el elemento neutro de la suma tenemos un grupo con la multiplicación, también abeliano.
Además la suma y la multiplicación cumplen la propiedad distributiva, es decir que x*(y+z)=x*y+x+z Las operaciones no son intercambiables en esta identidad.
Todo esto nos hace llegar a la conclusión de que los reales con la suma y multiplicación son un cuerpo, y se aplican todos los teoremas de cuerpo que queramos. Pero ojo, hemos definido la multiplicación excluyendo el cero, estupendo para la suma pero no para la multiplicación, así que no podemos hacer divisiones por cero, son las reglas del juego.
#12 Muchísimas gracias！