Por qué 0 elevado a 0 es 1 y por qué el factorial de 0 es 1

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir: a^0=1 0^b=0 Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema...

[#5 eboke]

Ya se envió: ¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

PD: Fijaros en la dirección a la que enlaza el meneo.

[#8 Desactivado]

#5 Gran Hermano, no se escapa nada lástima que ya he meneado.

[#9 eboke]

#8, no creas, en el segundo comentario del artículo hay un enlace al meneo de 2006

[#1 juvenal]

¿No es un poco antiguo el artículo?

[#2 Desactivado]

#0 Gracias, ahora entiendo el principio de indeterminación, que hace que un político multiplicado por su ego, crea que valga algo.Siendo el político y su ego=0.
#1 Antiguo como la vida misma.

[#3 hamahiru]

#1 ¿Dices antiguo porque ahora lo que explica el artículo ya no está vigente o porque las matemáticas se utilizan desde hace siglos?

[#4 alexmoratalla]

El autor se ha colado pero bien (lo digo sin rencor). No voto errónea porque quién sepa de matemáticas se dará cuenta.

La regla de L'Hopital se aplica a funciones derivables f(x) y g(x), y g(x)=1/x NO es derivable ni continua en cero. Por tanto, la deducción a partir de ahí ya no vale.

Y cero elevado a cero es inderterminación, y cómo tal, no tiene sentido darle el valor de 1, simplemente, no tiene valor.
El caso del factorial es bien diferente.

[#6 ElMaki]

#4, la regla de L'Hôpital se utiliza para funciones derivables en un entorno reducido (sin incluir el centro). Está perfectamente aplicada en ese caso. Lo que no está tan justificado, y el autor lo sabe, es que para definir 0^0 convenga tomar lim x^x cuando x->0.

Hay muchas razones por las que es conveniente definir 0^0 = 1, porque cuadra:
- En teoría de conjuntos, porque el número de aplicaciones inyectivas del conjunto vacío en sí mismo es 1 (la aplicación vacía)
- En teoría de funciones analíticas de variable compleja, porque si f(z)->0 y g(z)->0, bajo condiciones bastante generales, lim f(z)^g(z) = 1.
- En teoría de números enteros y otros, porque si admitimos que el "producto vacío" vale 1 (como suele hacerse) para definir el producto por inducción, entonces también debe valer 0^0 = 1.

Más en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power

[#7 alexmoratalla]

#6 Buena lección me has dado.

¿Seguro que la regla de Lhopital está bien definida en funciones no continuas?. Es que según eso, la regla de lhopital se cumpliría siempre...

Perdona el negativo, le he dado sin querer al botón...

[#10 ElMaki]

#7, no te preocupes por el negativo, no soy un karmawhore. Me basta con poder comentar y utilizar cursivas.

Toda función derivable en un punto es continua en ese punto (se suele decir que "derivabilidad implica continuidad"). La regla de L'Hôpital se aplica a un cociente de funciones derivables (y, por tanto, continuas) en un entorno reducido del punto donde se calcula el límite, cuando hay una indeterminación del tipo 0/0 o inf/inf (es decir, se utiliza para calcular lim [f(x)/g(x)] cuando lim[f(x)] = lim[g(x)] = 0, o cuando lim[f(x)] = lim[g(x)] = inf). Que f y g sean o no continuas, derivables o incluso que no estén definidas en el punto donde se calcula el límite es irrelevante, siempre que estén definidas y sean continuas y derivables en un entorno reducido del punto (es decir, un entorno del punto, excluyendo el propio punto). Eso es consecuencia inmediata de la definición de límite, donde se excluye explícitamente el posible valor de la función en el punto donde se calcula el límite. Según la versión de la regla de L'Hôpital que se utilice, hay algunas restricciones, del tipo de que g(x) no puede tomar infinitas veces el valor cero "cerca del punto", para que la regla de L'Hôpital sea aplicable.