La respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora bien, ¿cómo podemos demostrarlo? Pues aunque en principio uno puede pensar que la demostración es complicada (hay que tener en cuenta que debe ser general, para todos los polinomios de coeficientes enteros), en realidad es bastante sencilla.
¡Esa demostración utiliza una estratagema similar que se usa para demostrar que raíz de 2 es irracional (suponen que no es irracional, arman la fracción p/q, doran la píldora y sacan de la chistera el resultado: miren que no puede ser por que si no es absurdo bahh ) ! No me gustan esas demostraciones por simplistas, superficiales y acomodadas.
Aquí toman un polinomio Q y suponen que es el generador de primos (Si eso fuera así, sería el puto amo de los polinomios). Pero ya sabemos que NO existe, luego es como decir que voy a suponer que soy rico, cuando soy pobre: llegaré a la conclusión lógica que soy pobre y ando jodido. Siguiendo con el cuento, evalúan el polinomio con el número natural 1 y obviamente obtienen un primo; luego arman otro valor real (de la manera más vil) de tal forma que se obtiene un nuevo número primo que dizque es MULTIPLO del primer primo.... bahh, hasta ahí seguí leyendo pues ya era de suponer la contradicción tan evidente.
Sí existe ese polinomio, sólo que no es de una variable: Un teorema general de Matiyasévich dice que si un conjunto se define como un conjunto de ecuaciones diofánticas, también puede ser definido como un sistema de ecuaciones diofánticas con sólo 9 variables. Por lo tanto, existe un polinomio que genera números primos como el anterior de tan sólo 10 variables. Sin embargo, el grado de dicho polinomio es muy grande (del orden de 10^,!). Visto de otra manera, también podemos transformar dicho polinomio a grado 4, pero con 58 variables.
Ellos se preguntan y ellos se contestan. Y se contestan negativamente a la pregunta que hacen. Si saben que la contestación es "NO", ¿para que preguntan?-
#1 Se plantea una pregunta de interés matemático con grandes repercusiones prácticas, tanto si la respuesta es afirmativa como negativa. Simplificando mucho, demostrar la existencia, o en este caso inexistencia, de un generador de números primos, marca la diferencia entre que muchos algoritmos de cifrado sean seguros o no. Además, aparte del valor que tiene la respuesta, el camino para hallarla, es decir, la demostración (incluida en en el artículo), ayuda a ampliar el conjunto de técnicas para demostrar otros teoremas.
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¡Esa demostración utiliza una estratagema similar que se usa para demostrar que raíz de 2 es irracional (suponen que no es irracional, arman la fracción p/q, doran la píldora y sacan de la chistera el resultado: miren que no puede ser por que si no es absurdo bahh ) ! No me gustan esas demostraciones por simplistas, superficiales y acomodadas.
Aquí toman un polinomio Q y suponen que es el generador de primos (Si eso fuera así, sería el puto amo de los polinomios). Pero ya sabemos que NO existe, luego es como decir que voy a suponer que soy rico, cuando soy pobre: llegaré a la conclusión lógica que soy pobre y ando jodido. Siguiendo con el cuento, evalúan el polinomio con el número natural 1 y obviamente obtienen un primo; luego arman otro valor real (de la manera más vil) de tal forma que se obtiene un nuevo número primo que dizque es MULTIPLO del primer primo.... bahh, hasta ahí seguí leyendo pues ya era de suponer la contradicción tan evidente.
La respuesta es sí.
Sí existe ese polinomio, sólo que no es de una variable:
Un teorema general de Matiyasévich dice que si un conjunto se define como un conjunto de ecuaciones diofánticas, también puede ser definido como un sistema de ecuaciones diofánticas con sólo 9 variables. Por lo tanto, existe un polinomio que genera números primos como el anterior de tan sólo 10 variables. Sin embargo, el grado de dicho polinomio es muy grande (del orden de 10^,!). Visto de otra manera, también podemos transformar dicho polinomio a grado 4, pero con 58 variables.
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_los_n%C3%BAmeros_primos
Ellos se preguntan y ellos se contestan. Y se contestan negativamente a la pregunta que hacen. Si saben que la contestación es "NO", ¿para que preguntan?-
#1 Y tú, si vas a morir y la vida te habrá parecido apenas un suspiro ¿para qué vives?
#1 Se plantea una pregunta de interés matemático con grandes repercusiones prácticas, tanto si la respuesta es afirmativa como negativa. Simplificando mucho, demostrar la existencia, o en este caso inexistencia, de un generador de números primos, marca la diferencia entre que muchos algoritmos de cifrado sean seguros o no. Además, aparte del valor que tiene la respuesta, el camino para hallarla, es decir, la demostración (incluida en en el artículo), ayuda a ampliar el conjunto de técnicas para demostrar otros teoremas.