El problema de la máquina quitanieves

Después de más de 30 años he vuelto a resolverlo mientras esperaba que mi nieta quien lo haría la próxima vez.


1º Estar nevando con regularidad significa que la nieve caída y amontonada es directamente proporcional al tiempo transcurrido. Esto es: a más tiempo mayor cantidad de nieve acumulada.

2º Si la máquina quitanieves sale a las doce implica que empezó a nevar antes de esa hora.

3º Si en la primera hora recorre dos kilómetros y en la segunda uno, indica que la velocidad de la máquina decrece conforme avanza el tiempo, cosa perfectamente lógica, por cuanto no para de nevar

4º Con los datos hemos de responder a la siguiente pregunta ¿A qué hora empezó a nevar?

Lo expuesto más arriba se ha de traducir a expresiones matemáticas así:

1º A más tiempo transcurrido mayor cantidad de nieve depositada.

2º Si la máquina quitanieves sale a las doce implica que empezó a nevar antes de esa hora. Llamemos t0 al tiempo transcurrido desde que se inicia la nevada y t desde que sale la quitanieves.

3º Si en la primera hora recorre dos kilómetros y en la segunda, uno, indica que la velocidad de la máquina decrece conforme avanza el tiempo, cosa perfectamente lógica, por cuanto no para de nevar. Podemos por tanto tomar como hipótesis que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional al tiempo que está marchando. Con esto estamos en condiciones de responder:

4º ¿A qué hora empezó a nevar?

Vayamos a la resolución:

Si en la primera hora recorre dos kilómetros y en la segunda, uno, indica que la velocidad de la máquina decrece conforme avanza el tiempo, cosa perfectamente lógica, por cuanto no para de nevar.

Podemos por tanto tomar como hipótesis plausible que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional al tiempo que está marchando.

Llamemos v a la velocidad de la máquina. Por definición se puede expresar de la siguiente manera: v= ds/dt. El tiempo que está nevando lo expresamos como t0 + t y k la constante de proporcionalidad. Con esas ideas podemos escribir la siguiente ecuación: ds/dt = k/(t0 + t).

Trasponiendo términos ds = [k/(t0 + t)]dt e integrando tendremos: s = ∫[k/(t0 + t)]dt

Se trata de una integral inmediata cuya solución sería: s = kLn(t0 + t) + C [1]

Ecuación con tres incógnitas: k, t0 y C. De ellas, la que nos interesa es t0 tiempo transcurrido desde que empieza a nevar hasta que sale la quitanieves.

Para t = 0, s = 0 por tanto: 0 = kLnt0 + C

Para t = 1, s = 2 por tanto: 2 = kLn(t0 + 1) + C

Para t = 2, s = 3 por tanto: 3 = kLn(t0 + 2) + C

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de las que, por eliminación sucesiva nos conduce a la ecuación final de segundo grado: t0 2 + t0 - 1 = 0

-1 ± √5
Cuyas raíces son: t0 = ----------
2
-1 - √5
Una de las raíces: t0 = ---------- es negativa.
2
Como el tiempo no puede serlo no es válida. La otra es positiva y de valor:

-1 + √5
t0 = ---------- = 0,618033988 de hora que resuelve el problema.
2
¿A qué hora empezó a nevar? La respuesta es inmediata: En el apartado 2º habíamos dicho: Llamemos t0 al tiempo transcurrido desde que se inicia la nevada hasta las 12h que es cuando sale la máquina quitanieves. Por tanto:

La hora será 12 - 0,618033988 = 11,381966012 que traducidos al sistema sexagesimal será:

11h 22’ 55”, aproximadamente.

Dadas las características del problema ha exigido la aplicación de una ecuación diferencial sencilla.