Sumad todos los números naturales del 1 al 10 en orden creciente. Sí, sí, hacedlo: 1 más 2 más 3… Os sale 55, ¿verdad? Bien. Ahora volved a sumar los números naturales del 1 al 10, pero esta vez en orden decreciente: 10 más 9 más 8… Os vuelve a salir 55, ¿no? Bien. ¿Y si los sumamos sumando primeros los pares y luego los impares? ¿O primero los múltiplos de 3 y luego el resto en orden decreciente? ¿Y con cualquier otro orden? Siempre saldrá 55, ¿verdad? Bueno, pues eso no siempre es así.
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#4 Siempre te quedarán exactamente la misma cantidad de positivos que de negativos por sumar: infinitos (álef sub cero, para ser precisos y para evitarme el negativo de algún matemático
). Lo que necesitamos garantizar es que cada elemento de la serie llegue a ser sumado tarde o temprano y que se haga una sola vez, y es el caso tanto para positivos como para negativos; aunque ciertamente es posible que un elemento positivo determinado se sume mucho antes o mucho después que su negativo inmediatamente posterior, pero eso no nos importa.
#5 Sí, eso lo entiendo, pero al fin y al cabo estás cogiendo una proporción mayor de números positivos que de negativos (o viceversa, si quieres que la suma de la serie sea inferior a log2) y creo que eso es lo que hace que en realidad sea otra serie. No es lo mismo la suma de la serie cuyo término general es (1/(4x-3) + 1/(4x-1) - 1/2x), esto es, dos términos positivos por cada uno negativo, que la suma de la serie (-1)^(x+1)/x, que sí es la serie armónica alternada, y sin embargo en ambos casos estás sumando en principio los mismos números (todos los 1/x con x impar, menos todos los 1/x con x par). La primera serie suma 3/2 lo que la segunda, o eso es al menos lo que me acaba de decir Matlab :P.
Y creo que el truco de conseguir que la serie armónica alternada sume cualquier número consiste, al fin y al cabo, en eso, en redefinir (no explícitamente) el término general, lo que hace que la serie sea distinta aunque parezca que los términos son los mismos.
La serie que planteas en #6 es un caso bien conocido de serie no convergente, precisamente por esa disonancia. No es como la serie armónica alternada, que converge a log 2 (lo que se puede demostrar con series de Taylor, por ejemplo).
#7 ¿Qué significado tiene "una proporción mayor de números positivos que de negativos"? En la serie hay infinitos elementos positivos e infinitos elementos negativos. Mientras estás iterando habrás sumado una cantidad finita de positivos, es decir un 0% del total, y una cantidad finita de negativos, es decir un 0% del total; exactamente la misma "proporción". En el límite, habrás pasado por todos los elementos positivos, es decir, un 100% del total, y por todos los negativos, es decir, un 100% del total. Otra vez la misma "proporción".
No es lo mismo la suma de la serie cuyo término general es (1/(4x-3) + 1/(4x-1) - 1/2x), esto es, dos términos positivos por cada uno negativo, que la suma de la serie (-1)^(x+1)/x, que sí es la serie armónica alternada, y sin embargo en ambos casos estás sumando en principio los mismos números (todos los 1/x con x impar, menos todos los 1/x con x par).
¿Y esto no es lo mismo que te están diciendo los gaussianos?
#8 No, no es lo mismo que dicen en Gaussianos, porque ellos dicen que sí es la misma serie, yo digo que es otra.
Cuando hablo de proporciones, no hablo de cantidad de positivos (o negativos) sobre el total, sino de positivos a negativos. Si no es 1:1, no se puede decir que sea la misma serie.
Lo que está claro es que cuando el infinito aparece, todo se desbarajusta. No me extraña que Cantor se quedara como se quedó, el pobre...
#9 Si "la misma serie" significa los mismos elementos en el mismo orden, nadie dice que sea la misma serie. Si "la misma serie" significa los mismos elementos en orden distinto, entonces tú has dicho que lo eran en #7
#14 Sí, ha sido una confusión por mi parte.
#4 Otro ejemplo de más o menos lo mismo: la secuencia +1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,... según como asociemos los elementos al sumarla puede darnos:
(+1-1)+(+1-1)+(+1-1)+... = 0+0+0+0+... = 0
o
+1+(-1+1)+( -1+1)+( -1+1)+... = +1+0+0+0+...= +1
...y eso sin ni siquiera cambiar el orden de los elementos, solo asociando distinto las sumas.
#12 Con la serie 2-armónica no se puede, ya que ésta es absolutamente convergente (de hecho lo comento en el propio artículo). Por tanto cualquier reordenación de términos acaba teniendo como suma pi^2/6. Lo que quería decir es que, según algo que has dicho tú, si cambiáramos el orden de los términos en esa serie lo que estaríamos haciendo es cambiar el término general y por tanto la serie, pero eso no es así. Es la misma serie, pero los términos cambian de sitio.
Ah, y de nada, por la parte que me toca, por lo que comentas de "darle de comer a las neuronas". A mí también me está pareciendo interesante la discusión. Si además el artículo fuera subiendo de meneos sería la leche
Copio mi comentario de allí:
Puede que esté pecando de ingenuo al desafiar la validez de un teorema sólo por ser un resultado profundamente antiintuitivo (contrario, de hecho, a los literalmente primeros teoremas que se aprenden en matemáticas: las propiedades conmutativa y asociativa de la suma), pero hay una cosa que no me cuadra nada, y es la siguiente: entiendo que sea posible demostrar que siempre exista una suma infinita de términos que equilibre la suma, pero, ¿tenemos alguna garantía de que efectivamente están incluidos todos los valores de la serie?
Porque al fin y al cabo lo que estamos haciendo es escoger unos números muy concretos, y no veo ningún punto de la demostración que pruebe (se dice en el texto, pero no se prueba) que todos los valores de la serie llegan a sumarse alguna vez. Y si no es así, la nueva serie es un subconjunto infinito de la original, cuya suma es 100, o pi, o lo que sea; pero sigue siendo un subconjunto, no necesariamente la serie completa.
#1 No escoges números concretos, lo que haces es ir cogiendo elementos positivos de la serie de manera secuencial hasta pasarte del objetivo, luego negativos hasta volverte a pasar hacia abajo, luego otra vez positivos a partir de donde te habías quedado, y así sucesivamente. Como la serie suma(i=0,oo,1/i) es divergente en cada iteración te pasarás del objetivo tarde o temprano. Eso te garantiza que cada elemento de la serie es escogido eventualmente.
#2 Ok, me expresé mal. Pero no tienes ninguna garantía de que cojas una cantidad de números "equilibrada" tanto en positivos como en negativos. Por así decirlo, si quieres que sume 100 cogerás más positivos y te quedarán mas negativos por sumar (p.e., los negativos podrían ir por -1/100 y los positivos por 1/10001), de manera que el resto de la serie sume log 2-100, o esa es la impresión que tengo yo.
Gaussianos es una página de fiar, pero cuanto más lo pienso, más me parece que esto tiene trampa.
#1 O sea, si quieres que sume 1:
1/1+1/3=1.3333
1.3333-1/2=0.83333
0.83333+1/5=1.03333
1.03333-1/4=0.78333
0.78333+1/7+1/9=1.03729
1.03729-1/6=0.87062
0.87062+1/11+1/13=1.03845
....
Y así sucesivamente
#1. te lo intento explicar. Solo he mirado la entrada de gaussianos por encima, pero vamos, que lo que comenta ahí ya me lo conozco, es algo que se da en primero de matemáticas, un resultado que de primeras es muy muy curioso, pero lo cierto es que en cuanto vas entendiendo las cosas, más que curioso casi te parece casi una trivialidad.
Ciertamente tienes razón en lo de la proporción y no. Vamos, que dices que cambia la proporción de positivos y negativos. Habría que aclarar qué quieres decir con proporción aquí ya que son infinitos, pero vamos, eso se arregla fácil. La proporción de números positivos sería igual a:
limite_(si n tiende a infinito) (elementos positivos de los n-ésimos primeros)/n
Y la de negativos pues una fórmula similar.
Esa sería la definición que podemos hacer de proporción y efectivamente al reordenar la serie esta proporción puede cambiar. Pero también es cierto que sin variar la proporción se pueden obtener resultados distintos (se me ocurren casos en los que la proporción de positivos o negativos sería 0 con la definición que he puesto).
No obstante, a lo que dices de si no es 1:1, lo cierto es que si es 1:1, hay la misma cantidad de positivos y negativos en la serie. Lo único es que lo que puede pasar es que unos aparezcan en mayor medida que los otros, pero son los mismos.
Y que conste que no vale decir "estos 2 conjuntos son iguales de grandes porque ambos son infinitos". Hay infinitos más grandes que otros, pero en este caso los infinitos son iguales. Por si te pica la curiosidad de cómo es que hay infinitos más grandes que otros (y tener más claro por qué enloqueció Cantor) te paso un par de entradas de mi propio blog. La primera sobre el famoso hotel de Hilbert:
http://www.zurditorium.com/el-hotel-infinito-de-hilbert
Y otra hablando de conjuntos de distintos tamaños:
http://www.zurditorium.com/el-tamano-de-los-conjuntos
#1 Iba a contestarte de forma más extensa, pero creo que con lo que te ha comentado@zurditorium en #10 lo habrás comprendido. La "proporción" es exactamente igual, y aparecen todos los términos de la serie. Otra cosa es que si escribes, por ejemplo, los primeros 100 términos aparezcan 50 positivos y 50 negativos, eso no será así habitualmente.
Y sobre lo que dices de que si cambiamos el orden entonces modificamos el término genereal y por tanto tendríamos otra serie, ¿pasaría eso también con la de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos? ¿Si cambiamos el orden de los términos cambiamos también el término general y por tanto otra serie? Yo creo que no, ¿verdad?
Y, bueno, yo también te paso un enlace de mi blog en el que aparecen dos conjuntos infinitos de números reales muy característicos y se demuestra que hay más de unos que de otros:
http://gaussianos.com/%C2%BFes-mas-trascendente-la-cantidad-de-numeros-algebraicos/
#10 Conozco el tema de los múltiples infinitos, la hipótesis del continuo y varios conceptos relacionados, y entiendo que tanto los términos positivos como los negativos aparecen en una cantidad igual a alef-0 en la sucesión, pero sigo pensando que las dos sucesiones no pueden ser exactamente la misma, y que hay algo que falla en la distribución de positivos y negativos. Al fin y al cabo, ya sabes que puede darse el caso de dos conjuntos cuyos cardinales sean ambos alef-0 pero cuya diferencia no sea cero; puede ser un número natural o incluso ser alef-0. Y me parece que es lo que pasa en este caso, pues si quieres alcanzar una suma distinta a log 2, uno de los grupos (los positivos si la suma es mayor que log 2, y los negativos si la suma es menor) irá "adelantando" al otro, y esa diferencia, que puede ser finita o no (en el caso que puse antes, hay una diferencia infinita para lograr una suma de 3/2*log 2, ya que hay una proporción 2 a 1) es la que hace que no sea la misma serie.
Lo que estoy viendo es que el artículo quiere decir que "a grandes rasgos" los términos son los mismos (todos los (-1)^x/(x+1) para x>=0), cosa que ya veo que es indiscutible, pero que se hace "converger" a un valor u otro mediante un desfase en la forma de sumar aprovechándose de la potencia de la serie armónica, que al ser divergente permite que siempre haya números negativos o positivos para inclinar la balanza hacia el punto que queramos.
#11 En el caso de la serie 2-armónica no se yo si será posible hacer este truco, porque no es el mismo caso. La gracia del artículo original es que la serie armónica es divergente, pero al meter el (-1)^n deja de serlo y permite jugar con los términos. La serie 2-armónica converge a pi^2/6, como todo el mundo sabe (:P), y no creo que pueda dar lugar al truco de poner y quitar términos hasta llegar al valor deseado.
Hacía tiempo que no tenía una discusión así; da gusto darle de comer a las neuronas de este modo de vez en cuando :-). Gracias a ambos.
#12, si es que es eso, se está aprovechando digamos que ese desfase que dices.
Por cierto, lo de 2 conjuntos infinitos cuya diferencia puede ser un elemento o puede ser otro conjunto infinito... se puede hablar de esas cosas cuando un conjunto está dentro de otro, aquí no tiene sentido hablar de eso. Pero vamos, te he entendido.