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¿Qué poliedro regular es más "esférico"?

Pues eso: si tuvieras que elegir uno de los cinco poliedros regulares como el más “esférico” (el más “cercano” a una esfera) ¿cuál elegirías? Mientras lo piensas vamos a contar algunas cosas. En principio parece una cuestión sencilla…o quizás no tanto. Como al estudiar ciertas situaciones en matemáticas puede ser conveniente irse a casos más simples vamos a hacerlo ahora también, a ver si esto nos ayuda. Vayámonos a dos dimensiones. ¿Cuál es el polígono regular más “circular”? Aquí la respuesta es sencilla, ¿no?
etiquetas: poliedro, esfericidad, geometría, esfera, poliedros
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46comentarios mnm karma: 701
  1. #1   Hubiera jurado que es el icosaedro, precisamente según el criterio de la esfera circunscrita, que es el que no cumple. Si todos los vértices tocan esta esfera, aparentemente el icosaedro es el que deja "huecos" más pequeños entre sus caras y la esfera, y por lo tanto el que tiene mayor volumen y se aproxima más a la esfera. Pues no.

    Mala intuición.
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  2. #2   En menéame como siempre intentando buscar la cuadratura del circulo :troll:
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  3. #3   ¿Y en relación al volumen de esta esfera, que no sé como se llama en castellano (¿mediosfera?)? ¿igual de esféricos?

    en.wikipedia.org/wiki/Midsphere
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  4. #4   #3 Como curiosidad he mirado en un par de libros de Geometría Descriptiva y en los dos la denominan "esfera tangente a las aristas". Un nombre poco glamuroso pero muy descriptivo.
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  5. #5   #4 Bueno, a veces es que nos pierde la estética xD
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  6. #6   Y digo yo... cuando el numero de caras tienda a infinito... sera una esfera... por lo que el area de cada cara tendera a cero. Si asi, se piensa, el area menor encerrada entre varias aristas.. debe ser el de un triangulo.
    Por lo que sera aquella figura con un numero de caras tendente a infinito con cada cara de forma triangular.
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  7. #7   #6 ejem... NO hay más poliedros regulares. Son únicamente 5. Es imposible que el nº de caras tienda a infinito... ni siquiera llega a ser 21.
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  8. #8   Los que jugamos al rol, sabemos bien que los dados D12 son los mas peligroso de salir rodando debajo del sofá
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  9. #9   #8 Discrepo. Los D20 son peores (aparte de que el sistema apesta y los tiras con más rabia).
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  11. #11   #9 Desavengo. Los D100 eran unas putas canicas. (Una vez ví uno)
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  12. #12   #8, #9, #11 Sin hablar de los D∞
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  13. #13   #2: En este caso es más bien la esfericidad el cubo. :troll:
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  14. #14   ¿Por qué hay sólo 5 poliedros regulares? ¿Eso está estudiado?

    Lo digo en serio, es un poco extraño poder afirmar algo así.
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  15. #15   #14 Claro que está estudiado. En esta entrada lo explico

    gaussianos.com/%C2%BFcuantos-poliedros-regulares-hay/

    y doy datos sobre la situación en dimensiones superiores a 3 :-)
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  16. #16   #15 Muy interesante, muchas gracias.

    En más de 3 dimensiones me pierdo siempre, me cuesta mucho pensarlo y más al final del día, pero para el caso de 3 dimensiones está explicado estupendamente, dobles muchas gracias.
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     *   Ragnarok Ragnarok
  17. #17   Hay mucha gente que tiene los huevos cuadraos.
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  18. #18   A mayor número de lados más esférico no?? Al renderizar en programas como 3DS max o Maya es a lo que se tienede, aumentar el número de lados para conseguir acabados mas suaves y realistas
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  19. #19   #8 Jajaja por otro lado los D4 son como: "Corre platano"
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  20. #20   obviamente el dodecaedro que tiene pentagonitos como los balones de fútbol también conocidos como esféricos...

    PD: No había leído la parte final del artículo...sorry.  media
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     *   --349511-- --349511--
  21. #21   Yo no veo sino dados de rol por todas partes. :-P
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  22. #22   Como comentan arriba, jugar a Rol te hace muy familiar con los poliedros regulares. Aunque como muchos antes habría asumido el icosaedro en todos los escenarios, hay un dato curioso para explicar lo que dice el artículo, y es que el D20 está "más afilado" que un D12. Es decir, un vertice de un D20 tiene 5 aristas, mientras que en el D12 solo tres, haciendo que séa más puntiagudo y sobresalga del cuerpo principal, haciendo que el volumen de la esfera circunscrita sea mayor.

    Creo que me explicado fatal, pero si teneis unos dados a mano, lo vereis bien
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  23. #23   #18 Hablamos de poliedros regulares.
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  24. #24   #14 Hay que leer más a Platón...


    es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos
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     *   DenisDiderot DenisDiderot
  25. #25   #3 En italiano la llaman "intersfera" que correspondería a "interesfera" en español. También se me ocurre "esfera interscrita" por analogía con la inscrita y la circunscrita.

    #18 En el caso de los poliedros regulares, también conocidos como sólidos platónicos, hay dos grandes competidores: el dodecaedro y el icosaedro, y cada uno de ellos se puede inscribir en el otro de forma que cada uno de los vértices de uno queda en el centro de una cara del otro (es lo que se conoce como poliedro dual). Así, los dos tienen el mismo número de aristas (30), pero el dodecaedro tiene más vértices (20 frente a los 12 del icosaedro) y el icosaedro más caras (20 frente a las 12 del dodecaedro).

    Entonces, ¿es más esférico el que tiene más caras o el que tiene más vértices? Ahí está la cuestión.

    #11 Cierto, pero los d100 no son poliedros regulares.
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     *   sabbut sabbut
  26. #26   facilisima respuesta y no necesito ni leer el articulo, a ver si acierto, el icosaedro, que por que? porque el sustituto que te dan los programas de modelado 3d para una esfera xD
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    jr6 jr6
  27. #27   #15 #24 A mi siempre me quedará grabado que hay 9, no 5 como se suele decir, gracias a un profe de mates que nos pilló a todos en un examen, un gracioso que era. Los 5 habituales son los convexos, pero existen también 4 cóncavos ya que en ningún sitio de la definición se dice que un polígono regular deba ser convexo. Aunque por norma general sin ser estrictos se suele hablar de los 5 convexos.

    mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html
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  28. #28   #20 Por cierto, los balones de futbol no tienen pentagonos..tienen pentagonos Y hexagonos y eso no es ningun poliedro regular, eso es el icosaedro truncado del que hablan en el articulo, y en los programas de modelado 3d algo parecido es la subdivision de un isocaedro (bueno, en realidad no, porque se obtiene una especie de icosaedro truncado pero dividido todo en poligonos de 4 caras, que por eso tiene la mejor topologia para esferas en 3d)
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     *   jr6 jr6
  29. #29   El fullnereno!! es.wikipedia.org/wiki/Fullereno
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  30. #30   Yo hubiera dicho aquél cuya relación Volumen/Superfície sea mayor (la esfera maximiza el volumen minimizando la superfície), que en realidad es la última clasificación que hace.
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  31. #31   #9 #11 para tantos números mejor estos www.awesomedice.com/image/cache/data/double-dice-clear-500x500.jpg el número del dado exterior son las decenas y el del interior las unidades. Mucho más práctico que un D100.
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  33. #33   #27 Muy interesante, gracias.
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  34. #34   #16 Te cuesta a ti y a cualquier, no creo que podamos aspirar a "verlo" en más de 3 dimensiones :).

    #27 Pues sí, tienes razón, quizás deberíamos ser algo más cuidadosos en ese aspecto y especificar siempre si nos referimos a los convexos solamente o a todos los regulares. Gracias por el apunte :).
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  35. #35   Yo tenía la teoría personal de que también se podía calcular a partir del ángulo interior que forman las aristas. A mayor ángulo mayor proximidad a la esfericidad.
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  36. #36   #8 Iba a decir lo mismo, los D12 no se paran nunca :-D
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  37. #37   #7 Eso fue lo único que me sorprendió del artículo, que solo hay 5 poliedros regulares :-O
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     *   klam klam
  38. #38   #37 El artículo es erroneo, no hay cinco poliedros regulares, hay nueve, cinco son poliedros regulares convexos (los del articulo) y cuatro poliedros regulares cóncavos.
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     *   Ka0 Ka0
  39. #39   #37 El artículo es erroneo, no hay cinco poliedros regulares, hay nueve, cinco son poliedros regulares convexos y cuatro poliedros regulares no convexos.
    votos: 0    karma: 7
    Ka0 Ka0
  40. #40   El que pinche menos!
    votos: 0    karma: 6
     *   nachon nachon
  41. #41   Rolemaster forever! :-P (prefiero 2d10 que 1d100) xD
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  42. #42   #38 Siguen siendo muy pocos. En dos dimensiones hay infinitos polígonos regulares, y me sorprende que en tres dimensiones el número sea, no sólo limitado, sino directamente pequeño.
    votos: 0    karma: 10
  43. #43   Hay relación con dados de rol, hay meneo! :-)

    Por cierto, yo estoy con los que decís que el d12 rueda mejor.
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  44. #44   #38 Pero los poliedros regulares cóncavos son los menos esféricos de todos.

    Encierran un volumen demasiado pequeño para toda la superficie que ocupan sus caras y la desproporción de volumen entre ellos y sus esferas inscrita y circunscrita es muy grande. Fallan estrepitosamente para todas las definiciones de "esfericidad", o al menos para todas las planteadas en la noticia.
    votos: 0    karma: 10
  45. #45   #3 Tenía un código por ahí que se me ha ocurrido que podía apañarse para calcular eso numéricamente; lo que me sale es esto:

    Volumen de la esfera unidad: 4.188790
    Volumen del dodecaedro al que la esfera unidad interscribe: 3.416407
    Volumen del icosaedro al que la esfera unidad interscribe: 4.120226

    Es decir, que por ese lado también sería más esférico el icosaedro.

    ... y como efecto lateral ha expulsado este bonito dibujo que os pongo para que por lo menos no vayáis a creer que me he inventado los números.

    Ahora que alguien listo lo confirme "geométricamente" :-D  media
    votos: 0    karma: 8
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  46. #46   #37 #42 Y en dimensiones mayores son aún menos. En general son solo tres los politopos regulares en N dimensiones (para N>4), y remiten al tetraedro, el cubo y el octaedro. Las excepciones son en dimensiones más pequeñas siendo infinitos los polígonos regulares, 5 (o 9) los poliedros regulares y 6 los polícoros (el análogo cuatridimensional) regulares.

    Se pueden tratar de visualizar mediante analogías. (atención: mates inside)

    En el caso del tetraedro, tenemos:
    - Segmento: un punto se une por segmento a otro punto (esto parece una perogrullada, sí)
    - Triángulo: un punto se une por segmento a cada uno de los dos extremos de un segmento respecto del cual no es colineal (el punto no está en la misma recta que el segmento)
    - Tetraedro: un punto se une por segmento a cada uno de los tres vértices de un triángulo respecto del cual no es coplanario (el punto no se encuentra en el mismo plano que el triángulo)
    - Hipertetraedro o 4-simplex: un punto se une por segmento a cada uno de los cuatro vértices de un tetraedro respecto del cual no es "cohiperplanario" (el punto no se encuentra en el mismo espacio tridimensional que el tetraedro)
    - En general, n-simplex: un punto se une por segmento a cada uno de los n vértices de un (n-1)-simplex respecto del cual no es "cohiperplanario" (el punto no se encuentra en el mismo espacio (n-1)-dimensional que el (n-1)-simplex)

    En el caso del cubo, tenemos:
    - Segmento definido por los puntos 0 y 1 en una dimensión (por ejemplo, como se vería en la recta de los números reales)
    - Cuadrado definido por los puntos (0,0), (0,1), (1,0) y (1,1) en dos dimensiones
    - Cubo definido por los puntos (0,0,0), (0,0,1), ..., (1,1,0), (1,1,1) en tres dimensiones
    - Hipercubo, teseracto o 4-cubo: figura definida por los puntos (0,0,0,0), (0,0,0,1), ..., (1,1,1,0), (1,1,1,1) en cuatro dimensiones
    - etc.

    Y el caso del octaedro es similar al del cubo.
    - Segmento definido por los puntos -1 y 1
    - Cuadrado definido por los puntos (0,-1), (0,1), (-1,0), (1,0)
    - Octaedro definido por los puntos (0,0,-1), (0,0,1), (0,-1,0), (0,1,0), (-1,0,0) y (1,0,0)
    - Hiperoctaedro definido por los puntos (0,0,0,-1), (0,0,0,1), ..., (-1,0,0,0) y (1,0,0,0)
    - etc.
    votos: 1    karma: 20
     *   sabbut sabbut
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