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La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

Una breve y bonita historia de la Hipótesis del continuo
etiquetas: matemáticas, infinito, cantor, hipótesis, continuo
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  1. #1   Cierta y falsa a la vez... interesante.

    Esto no lo enseñan en la ESO.
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  2. #2   Recomiendo el cómic, donde además de hablar de este tema, explica el triste destino que Cantor y otros insignes matemáticos tuvieron: Acabar en el manicomio.  media
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  3. #3   Si Cantor levantara la cabeza y viera lo que se hace ahora, entonces sí que se iba a volver loco.

    Está demostrado que el infinito de los números naturales y el de los reales es distinto (la hipótesis del continuo lo que dice es que no hay ningún conjunto más grande que el primero y más pequeño que el segundo). Pues bien, está demostrado que dado un modelo de la teoría de conjuntos, cumpliendo todos los axiomas ZFC, con sus naturales y reales incluidos ahí (y por tanto conjuntos de distinto tamaño), se puede sumergir este modelo en un modelo más grande de forma que el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números reales que existía en el universo más pequeño tengan el mismo tamaño!!

    Sí, lo que he escrito está bien, es así, no me he equivocado. He visto varias conversaciones de unos matemáticos explicando a otros matemáticos esto mismo que acabo de decir y la dificultad que tienen los oyentes para creerse lo que le están explicando, a pesar de ser todos investigadores de alto nivel.

    Edito: bah, me hago publicidad en mi blog. Si alguien está interesado en por qué los naturales y los reales no tienen el mismo tamaño, aquí lo explico:

    www.zurditorium.com/el-hotel-infinito-de-hilbert

    Y si alguien está interesado en por qué A y P(A) no tienen el mismo tamaño, aquí:

    www.zurditorium.com/el-tamano-de-los-conjuntos
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  4. #4   #2 Ups, olvidé el nombre del cómic: Logicomix.
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  5. #5   #3 ¿Podrías añadir un enlace a eso que has afirmado? O al menos nombrar algún teorema que le haga referencia. No es que dude, es simplemente curiosidad. Bueno, también dudo. Pero sobre todo es lo segundo :-D

    Por cierto, sobre la paradoja del hotel infinito... :-) www.llaviana.com/yisusito/?p=149
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  6. #6   #2 Imperdible para todo aquel que tenga un mínimo interés por las matemáticas o la lógica.
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  7. #7   #5 Más sobre la paradoja del hotel infinito eltamiz.com/2008/09/02/el-gran-hotel-de-hilbert/
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  8. #8   #7 Me refería a lo que ha indicado #3 sobre que se puede crear un modelo que cumpla las axiomas y que incluya el modelo actual, pero de modo que card(|N) = card(|R)

    Pero bueno, echaré un ojo al enlace, cómo no :-)
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  9. #9   #5 pues bueno, te comento que lo que digo se hace con una técnica que se llama "forcing", que de hecho también sirve para demostrar que la hipótesis del continuo se puede afirmar o negar sin contradicciones. A groso modo digamos que la técnica consiste en tener un modelo, añadir una propiedad y generar con ese modelo y la propiedad algo nuevo.

    Te paso un link sobre el forcing, lo he mirado por encima y parece que entre otras cosas habla de lo de la hipótesis del continuo y de lo que yo he dicho antes. Si no entiendes mucho, no te preocupes, sería lo normal :-D

    www.encyclopediaofmath.org/index.php/Forcing_method

    De hecho esta técnica fue creada precisamente por Cohen.
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  10. #10   #1 No es cierta y falsa a la vez, es independiente de la teoria de conjuntos que estudiaban.
    Se podria estudiar una teoria de conjuntos en la que la hipotesis fuese cierta, y otra en la que la hipotesis fuese falsa (bastaria anadirlo como axioma, si no me equivoco, es decir, como punto de partida).

    Disculpad por la falta de comas y de ~!
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  11. #11   #5 he mirado mejor el enlace que he puesto en #9 y ahí no aparece claro lo que digo en #3. He googleado y he encontrado un link mejor:

    en.wikipedia.org/wiki/List_of_forcing_notions#Levy_collapsing

    Ahí se habla de varios tipos de forcings, el link te lleva a los del tipo collapsing. Concretamente lo que se consigue es esto: "These posets will collapse various cardinals, in other words force them to be equal in size to smaller cardinals."

    Por cardinal se refiere "al tamaño de conjuntos" (no voy a entrar en la definición). Por lo que se comenta ahí, se puede hacer que un cardinal (por ejemplo el de los reales) sea igual a otro (por ejemplo el de los naturales). Espero que con esto ya te lo creas un poco más :-D

    Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

    Espero que si has leído hasta aquí, no te hayas vuelto loco :-D
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  12. #12   Leonard Cohen no es un cantor de ópera, sino un cantante.
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  13. #13   ¿No tiene esto que ver con el axioma de Zorn?

    Es que cuando le dije a un matemático que yo sí aceptaba la hipótesis del continuo me llamó "zornicador"...
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     *   azenbugranto azenbugranto
  14. #14   #3 Para mi que el problema es que insisten en ver solo la arista del cubo.
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  15. #15   La teoría de conjuntos era una teoría preciosa en su origen, con sus dos axiomas de los que se derivaban todas las ramas de la matemática.
    Y entonces llegaron las paradojas y hubo que trocear los axiomas en 7 y quitar y añadir pedazos nuevos.
    Al final quedó algo que da toda la matemática, pero es feo como el monstruo de Frankenstein.
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  16. #16   #11 Gracias por las referencias, de nuevo. Echaré un ojo con calma, a ver qué saco en claro. :-)

    Por otro lado, sobre esto:

    Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

    Supongo que con tamaño te sigues refiriendo al cardinal, ¿no? En ese caso, no entiendo este párrafo. N y R ya tienen distinto cardinal en el modelo usual. :-S
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  17. #17   #16 sí, por tamaño me refiero a cardinal (para que la gente que no conozca el término lo entendiese).

    A ver, llamo M1 al modelo pequeño y M2 al modelo grande. N son los naturales contenidos en M1. A partir de los naturales se construye los números reales dentro de M1 así que lo voy a llamar R1 (en vez de R a secas porque en M2 cambia). Los números naturales son los mismos en M2, sin embargo al construir los reales en M2 te sale otro conjunto distinto a R1, que de hecho contiene a R1, y que voy a denotar por R2.

    Ahora, el cardinal de un conjunto depende de si lo miramos en M1 o M2. ¿Por qué? Al final cardinal se define como una relación de equivalencia, la relación es la de los conjuntos entre los que existe una biyección, pero una biyección a la vez es un conjunto por lo que puede que dos conjuntos de M1 sean biyectivos vistos desde M2 (osea, existe una biyección entre los conjuntos que es un conjunto de M2) pero no sean biyectivos en M1 (la biyección era un conjunto de M2 por lo que no tiene por qué estar en M1).

    Así que llamemos card1 al cardinal visto desde M1 y card2 al cardinal visto desde M2.

    Lo que te he dicho entonces es que dado M1 (en el que se tiene que card1(N) es distinto a card1(R1)) se puede construir M2 de modo que card2(N)=card2(R1). Pero claro, card2(N) sí que va a ser distinto a card2(R2).

    De hecho se puede hacer que todo M1 sea numerable visto de M2. Raro, ¿verdad? Pero es así.
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     *   zurditorium zurditorium
  18. #18   Lo que no todos saben es que la teoría de los números transfinitos tuvo su origen en una visita que hizo Cantor a Bilbao, en la que oyó la siguiente conversación de dos alumnos que salían de un examen de Matemáticas:

    -Patxi, ¿Qué resultado te salió en el tercer problema?
    -Infinito.
    -¿Sólo?
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  19. #19   #17 Ah vale vale, ahora lo he entendido. Pensaba que siempre teníamos el mismo R, ahora comprendo las explicaciones.

    La verdad que no se me hace tan raro entonces. Al hacer un modelo M2 que contenga a M1, lo esperable es que M2 posea menos propiedades que M1. Y por tanto se pueden hacer cosas menos "intuitivas", como por ejemplo aplicar biyecciones entre conjuntos donde antes no podíamos. Supongo que los tiros irán por ahí, ¿no?
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  20. #20   #10 o sea que sí, que es cierta y es falsa, dependiendo de la construcción matemática que se haga.

    ¿ verdad ?

    Consecuencia del primer teorema de Gödel: si un sistema (aritmético, recursivo) es consistente, entonces es incompleto.

    En un sistema aritmético tenemos card(N) y card(P(N)) y que exista un cardinal entre ambos es indecible, en el sentido de Gödel, ¿ no es eso ?
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  21. #21   Ah la belleza de la indecibilidad  media
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  22. #22   #20 Ehm, no sé la respuesta a tu última pregunta. Con respecto a la primera, es una forma diferente de decir lo comentado en #10, pero creo que esa forma es un poco desorientadora... de esa manera puede uno contárselo a los demás y que nadie entienda nada.
    Las cosas no son ciertas y falsas a la vez. Si tus axiomas implican que una afirmación es cierta y falsa a la vez, entonces son contradictorios y no sirven. Si tus axiomas no permiten deducir la veracidad o falsedad de una afirmación, entonces "son incompletos", sí, pero eso no significa que la afirmación sea cierta y falsa a la vez, si no que tus axiomas no tienen nada que ver con dicha afirmación.
    Por ejemplo, en mi "teoría de splorks", yo parto de:
    -Todas los splorks son cúbicos.
    Ahora puede venir cualquiera y decirme:
    -"Eso significa que todos los splorks son verdes".
    Entonces yo voy a mi teoría y compruebo si hay algún problema en decir:
    -Todas los splorks son cúbicos.
    -Todas los splorks "son verdes".
    No, no hay ninguna contradicción.
    Luego compruebo si hay algún problema en decir:
    -Todas los splorks son cúbicos.
    -Todas los splorks "no son verdes".
    No, tampoco hay ningún problema...
    Y eso no implica que sea cierto y falso a la vez, eso significa que puedo construir una teoría en la que sea cierto y otra en la que sea falso, pero no una teoría en la que sea cierto y falso...

    Si estoy equivocado, que alguien me corrija por favor! xkcd.com/386/
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  23. #23   #22 Ok, muy clara tu explicación, gracias.

    No andaba yo muy desencaminado. Me faltó incluir el punto de que es cierta en un sistema y falsa en otro, pudiendo existir ambos.
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