Ataque de los clones

Extracto de una conversación entre dos meneantes:
-...y como al cambiar el diseño desapareció el botón de logout, no pude votarle negativo con ninguno de mis veinte clones. Por cierto, ahora que saco el tema, ¿tú cuantos clones tienes?
-Pues me banearon unos cuantos hace poco, así que ahora tengo muchos menos que tú.
-Bueno, pero, ¿me puedes dar una cifra exacta?
-Te lo diré de esta forma: si eliges dos de mis clones distintos al azar, la probabilidad de que los dos los utilice exclusivamente para votar negativo es exactamente 1/2.

¿Cuántos clones tiene el usuario y cuántos usa solo para votar negativo?

[#8 Kircheis]

#7 Por casualidad he visto la solución antes de que la editaras y efectivamente es eso .
Lo que faltaría sería ver que es la única solución posible, por ejemplo 21 clones y 15 para votar negativo también da probabilidad 1/2, aunque al ser más de 20 clones no se ajusta al enunciado.

[#9 tnt80]

#8 En ello estoy trabajando y por eso he editado

[#10 tnt80]

#8 Lo he estado mirando, y sí que tenía razón en #5, pero no has entendido mi forma de explicarlo.
Las probabilidades son de 1/2 es decir, que, como son por parejas, tienen que ser 4 usuarios en total, salen 6 combinaciones, las que has dicho:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Pero para que sea 1/2 en la mitad de ellos uno ha de ser un usuario "normal", y en la otra mitad, sólo clones para votar negativo, eso hace que sean 3 para votar negativo y 1 normal, total 4 (A normal, por ejemplo, y B, C y D para negativizar), pero para votar negativo sólo 3
Se puede intentar con probabilidad, ecuaciones y demás sacar que ha de ser así, pero me sale una demostración enooooooooooooooorme (y aburrida como ella sola )

[#11 U5u4r10]

#10 La solución creo que es cuatro clones (tres para votar negativo) , pero te faltan combinaciones:

AB
AC
AD

BA
BC
BD

CA
CB
CD

DA
DB
DC

A,B,C negativos D normal
6/12

Aun así el resultado es el mismo. Lo que no sé es si existe otra solución más.

[#12 Kircheis]

#10 #11
Si se tienen c clones y se elige uno al azar, para elegir el segundo se tienen (c-1) donde elegir. Por tanto habrá c*(c-1) pares posibles de clones, c*(c-1)/2 si consideramos el orden irrelevante. De los c clones, n son solo para votar negativo, por lo que hay n*(n-1) posibles pares. La probabilidad de que los dos clones sean solo para votar negativo es entonces [n(n-1)]/[c(c-1)]=1/2, por lo que queda c(c-1)=2n(n-1).
A partir de aquí es fácil ver que la solución de 4 clones con 3 para votar negativo es correcta, y con esa ecuación se puede comprobar (más rápido que poniendo todas las parejas de combinaciones desde 2 hasta 20 clones) que no existe otra solución.

Mis disculpas por no contestar antes, problemas de internet

[#13 U5u4r10]

#12 Te he seguido casi todo, pero no logro ver como compruebas con una ecuación de dos incógnitas que no existe otra solución.

[#14 Kircheis]

#13 Se trata de probar valores de n y comprobar que no existe ningún c que lo cumpla, haciendo c(c-1)=2*2*1, c(c-1)=2*3*2, ...hasta c(c-1)=2*20*19. Hay que hacerlo desde el 2 hasta el 20, pero se hace rápido porque son números pequeños y además en bastantes se ve que no hay valor de c posible solo por los factores.

[#3 tnt80]

La probabilidad de que algo ocurra se determina, de forma general (si no depende de nada más, por ejemplo), poniendo:
Probabilidad = (número de casos en los que ocurre)/(total de casos posibles) y después se puede simplificar esa fracción.
Partiendo de ello tenemos que si, para 2 clones, la probabilidad es de 1/2, quiere decir que la probabilidad de casos en los que se votará negativo con esos dos clones es de 1/2, o lo que es lo mismo, sólo en 1 caso de cada 2, podrá votar negativo con esos dos clones. Eso quiere decir que, para cualquier otro par, al menos 1 es el que envía la noticia. Como las noticias sólo tienen un usuario que las envía, quiere decir que ese par sólo puede ser 1, o lo que es lo mismo, sólo hay 2 pares posibles en todo el "universo de posibilidades" puedan votar negativo o no.
Con lo cual, para ese usuario, tenemos que el número de sus clones son 4 (2 pares de 2 usuarios cada par)

[#4 Kircheis]

#3 Da igual si el usuario puede votar negativo con todos sus clones o no, la diferencia es que unos los usa como cuentas generales y otros los utiliza en exclusiva para votar negativo. Es decir, la probabilidad 1/2 se refiere a si los clones son exclusivamente para votar negativo, no a si puede votar negativo con los 2.

[#5 tnt80]

#4 Tienes razón, se ve que leí demasiado rápido, pero siguen entonces siendo 4, la probabilidad de que los use exclusivamente para votar negativo es de 1/2, o lo que es lo mismo, que hay otro par que podría haberse escogido exclusivamente para votar negativo, y sólo otro par (o sería menor a 1/2) con lo que vuelven a ser 2 pares de 2, y vuelve a ser 4

[#6 Kircheis]

#5 Si son 4 (A, B, C, D) y 2 son solo para votar negativo (C y D) tenemos que todos los pares de 2 posibles son:
AB -> no usa los dos exclusivamente para votar negativo
AC -> no usa los dos exclusivamente para votar negativo
AD -> no usa los dos exclusivamente para votar negativo
BC -> no usa los dos exclusivamente para votar negativo
BD -> no usa los dos exclusivamente para votar negativo
CD -> sí usa los dos exclusivamente para votar negativo
Y entonces la probabilidad es 1/6, no 1/2.

[#7 tnt80]

#6 Cierto

Mmmm muy cierto
(me está gustando el problemita )

[#1 fantomax]

#0 ¡Muy grande!

[#2 Kircheis]

#1 He estado a punto de usar tortillas con cebolla y sin cebolla en vez de clones, pero entonces los participantes se habrían centrado más en qué tortilla es mejor