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![La paradoja de la escalera o por qué PI no es igual a 4 [EN]](https://cdn.mnmstatic.net/cache/2e/ca/media_thumb_2x-link-3066395.jpeg?1547142066)
#4:
El problema es que suma los catetos en lugar de la hipotenusas que es lo que realmente aproxima el valor de la longitud de la circunferencia.
#14:
#7, soy matemático e intento explicártelo. Para empezar tienes un círculo y unas figuras que se van aproximando al círculo, ¿no? Ahora te pregunto, explícame tú por qué motivo el que unas figuras se acerquen a otra esto implica que sus perímetros también lo hagan.
Es que a ver, lo que se acercan son las áreas, pero a la hora de acercar áreas el perímetro es irrelevante por eso de tener área 0.
Míralo de otra forma. Coge un segmento de longitud 1. Mételo dentro de un rectángulo de base 1 y altura x con x tan pequeño como quieras. Conforme disminuyas x el rectángulo se acercará al segmento. Ahora bien, en ese rectángulo podrás dibujar una curva tan larga como quieras. O simplemente podrías cambiar el perímetro de dicho rectángulo por algo en patrón de escalera y hacer dicho perímetro tan largo como quieras.
En fin, resumiendo, no hay paradoja, simplemente que tú has pensado que si una figura se acerca a otra su perímetro también, pero si lo piensas bien, no tienes ninguna razón para afirmar que eso es cierto (de hecho como ya has comprobado es falso).
Es que a ver, lo que se acercan son las áreas, pero a la hora de acercar áreas el perímetro es irrelevante por eso de tener área 0.
Míralo de otra forma. Coge un segmento de longitud 1. Mételo dentro de un rectángulo de base 1 y altura x con x tan pequeño como quieras. Conforme disminuyas x el rectángulo se acercará al segmento. Ahora bien, en ese rectángulo podrás dibujar una curva tan larga como quieras. O simplemente podrías cambiar el perímetro de dicho rectángulo por algo en patrón de escalera y hacer dicho perímetro tan largo como quieras.
En fin, resumiendo, no hay paradoja, simplemente que tú has pensado que si una figura se acerca a otra su perímetro también, pero si lo piensas bien, no tienes ninguna razón para afirmar que eso es cierto (de hecho como ya has comprobado es falso).
#12:
Tonterías. Dios dejó por dos veces bien claro en la Biblia que pi vale 3 exactamente, y se acabó el debate.
1 Reyes 7:23
"Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos."
2 Crónicas 4:2
"También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor."
Una cita podría ser un error, pero dos, imposible: pi vale 3. Palabra de Dios.
1 Reyes 7:23
"Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos."
2 Crónicas 4:2
"También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor."
Una cita podría ser un error, pero dos, imposible: pi vale 3. Palabra de Dios.
#19:
#7 Te lo explico de otra manera mas conceptual. El camino mas corto entre dos puntos es la linea recta, no?, cuando tu vas recortando el cuadrado inicial lo que vas haciendo es un camino que cada vez hace mas zig-zags, si vale que aparentemente es menos distancia, si pero eso es una ilusion, lo que pareces que te acercas al supuesto camino mas corto en verdad lo estas volviendo a ganar porque tienes que dar mas curvas en el camino.
Con la imagen lo entenderas, en verdad lo unico que esta haciendo esa aproximacion es una carretera con muchas esquinas, y lo que se acerca a la cicunferencia lo pierde es esquinas,
Imagina que quieres llegar a la cima de una montaña en bicicleta subiendo solo por una por una ladera. Lo que acortas llendo solo por una ladera que seria el camino mas corto lo ganarias por tener que ir haciendo eses. Osea que los zig-zags en verdad son mucha distancia. Por eso no converge a pi, sino a 4, lo comido por lo servido. Imagina que esa carretera es el perimetro, es bastante largo.
🌿
Con la imagen lo entenderas, en verdad lo unico que esta haciendo esa aproximacion es una carretera con muchas esquinas, y lo que se acerca a la cicunferencia lo pierde es esquinas,
Imagina que quieres llegar a la cima de una montaña en bicicleta subiendo solo por una por una ladera. Lo que acortas llendo solo por una ladera que seria el camino mas corto lo ganarias por tener que ir haciendo eses. Osea que los zig-zags en verdad son mucha distancia. Por eso no converge a pi, sino a 4, lo comido por lo servido. Imagina que esa carretera es el perimetro, es bastante largo.
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#7:
Intenté leer las respuestas que desmienten esa falacia matemática, pero no logro entenderlas (y no es por el inglés). Me quedé con que sería posible aplicar el mismo razonamiento erróneo con un triángulo de perímetro 3.
Supongo que el problema de la escalera es que al recortar el cuadrado hasta casi el infinito no estás eliminando las esquinas, solo las reduces a la vez que las multiplicas, así que siempre sobra algo.
Supongo que el problema de la escalera es que al recortar el cuadrado hasta casi el infinito no estás eliminando las esquinas, solo las reduces a la vez que las multiplicas, así que siempre sobra algo.
Comentarios
El problema es que suma los catetos en lugar de la hipotenusas que es lo que realmente aproxima el valor de la longitud de la circunferencia.
#4 Se basa en la intuición que podríamos tener al pensar que cuando la medida de los catetos de esos triángulos se acerque a cero, se igualarán a la hipotenusa que también tendería a cero. Pero efectivamente es otra falacia.
#4 No, el problema es que el círculo realmente en la naturaleza NO EXISTE.
Quicir, un círculo en la naturaleza está hecho de átomos, y los átomos tienen espacio entre ellos, con lo cual, no es un círculo realmente, es un polígono de miles de millones de lados. E ya.
#36 Eso es irrelevante. Una circunferencia es un objeto matemático abstracto, que no tiene por qué ser reproducible físicamente.
#38 Por eso PI no existe.
#39 Eso es como si dices que las matemáticas no existen, lo cual puede ser un debate muy interesante, pero para el caso que nos ocupa es irrelevante.
#40 Existir, existen, en nuestros cocos, pero son una mera herramienta que se aproxima a la realidad a veces, y a veces no.
#41 Pues muy bien, pero en una discusión sobre matemáticas decir "pi no existe porque las mates no existen" es bastante absurdo. Son más ganas de hacerse el listo que otra cosa.
#41 #43 No creo. Incluso la singularidad anterior al Big Bang provocó irregularidades a posteriori.
El círculo como tal solo existe como objeto abstrasto.
#54 Esa afirmación es muy general como para hacerla sin mayores pruebas. Podemos discutir si puede existir un círculo perfecto a nivel de masa, en cuyo caso podríamos remitirnos a la limitación que mencionaba #46 (el tamaño de la molécula, o más bien, la forma de la molécula que usas para dibujar). Pero el material no es la única forma de trazar un círculo.
Por ejemplo, el orbital electrónico de baja energía del átomo de hidrógeno es una esfera:
https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital
Cabe esperar que puedan existir trayectoras circulares perfectas de objetos en la naturaleza, aunque sea más probable toparnos con fenómenos con ruido. ¿Puedes asegurar, por ejemplo, que no se pueda hacer girar un objeto en una órbita circular perfecta? La respuesta es no, no puedes asegurarlo (incluso si todos los casos observados hasta ahora no siguen esa órbita, sino una versión deformada de la misma).
#55 A ver, teóricamente claro que puedes, por eso la teoría (el modelo matemático) lo permite, pero eso no quiere decir que nosotros podamos hacerlo en la práctica.
La discusión me parece un poco absurda, de todas maneras, porque me parece que una simple rueda cuenta como una "circunferencia", a pesar de los errores milimétricos que pueda tener.
#56 En realidad yo lo que quería destacar es que el límite no tiene porqué estar a nivel de materia, porque puedes formar una circunferencia con otras "cosas" (por ejemplo, usando fotones). Al final siempre existe el límite físico a la hora de medir, así que, incluso si produces una circunferencia perfecta, no podrías comprobar que lo es.
#57 Eso mismo.
#38 Puedes aproximarlo infinitamente.
#42 En realidad solo puedes aproximarla finitamente, otra cosa es que esa aproximación sea más que suficiente para trabajar con ella como si fuese perfecta.
#46 En una sola acción sí, pero podrías mejorar tu técnica infinitamente y así lograr una aproximación infinitamente precisa. O eso supongo, quizá haya un límite físico a lo bien que se puede aproximar un objeto de este tipo.
#47 El tamaño de una molécula de la sustancia con la que estés haciendo la aproximación.
#36 Eso no es correcto. Los átomos se pueden representar de muchas formas, y una muy común es usar radios de Van der Waals, que son básicamente esferas. Es cierto que sabemos que entre los electrones de la capa externa y el núcleo hay un vacío, pero no es incorrecto afirmar que el átomo "acaba" en ese radio de Van der Waals (aunque la mecánica cuántica da aproximaciones más precisas sobre la forma exacta del átomo).
A nivel macroscópico, puedes trazar un círculo con bastante precisión usando un compás con una punta muy fina. No todo se reduce a "miles de millones de polígonos", ni mucho menos.
Hay otros ejemplos de formas circulares cuasiperfectas que puedes encontrar en la naturaleza, como el campo gravitatorio de un objeto supermasivo de alta densidad y radio pequeño.
#36 Los terroristas y los militares del Counter Strike no existen y sin embargo entre sus interacciones surgen un montón de postulados lógicos que se cumplen o no (como si una bala ha impactado a un rival o que cada vez que disparas gastas munición y que cuando se acaba no puedes seguir disparando). Que exista o no es irrelevante para poder desarrollar postulados, teoremas o axiomas.
Tonterías. Dios dejó por dos veces bien claro en la Biblia que pi vale 3 exactamente, y se acabó el debate.
1 Reyes 7:23
"Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos."
2 Crónicas 4:2
"También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor."
Una cita podría ser un error, pero dos, imposible: pi vale 3. Palabra de Dios.
#12 Los egipcios por lo visto también usaban pi=3. Que para construir pirámides se ve que es una aproximación suficientemente buena
#12 #22 Los Simpson ya predijeron que Dios diría 2 veces que PI es 3 exactamente y que los egipcios usarían PI=3.
#22 No, macho, los egipcios, los hindús y posiblemente los babilonios ya conocían el teorema de pitágoras, pero en europa siempre hemos sido muy fans de los griegos, así que nos enteramos a traves de pitágoras.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem
Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) conjectured that Pythagorean triples were discovered algebraically by the Babylonians.[71] Written between 2000 and 1786 BC, the Middle Kingdom Egyptian Berlin Papyrus 6619 includes a problem whose solution is the Pythagorean triple 6:8:10, but the problem does not mention a triangle. The Mesopotamian tablet Plimpton 322, written between 1790 and 1750 BC during the reign of Hammurabi the Great, contains many entries closely related to Pythagorean triples.
Me ha dejado PI-tidifuso!
#1 pi-ro que dices!
#2 Una pi-rogrullada.
#1: Pues pásate por aquí, fliparás en 3D, contiene pwnages matemáticos similares:
Es muy pwned, incluso ahí demuestran que PI es 3.
#9 nada que ver, ese enlace me duele hasta el alma.
#23: De eso se trata, de chinchar a los matemáticos resolviendo diversos problemas matemáticos de forma correcta, pero usando formas muy poco ortodoxas.
Intenté leer las respuestas que desmienten esa falacia matemática, pero no logro entenderlas (y no es por el inglés). Me quedé con que sería posible aplicar el mismo razonamiento erróneo con un triángulo de perímetro 3.
Supongo que el problema de la escalera es que al recortar el cuadrado hasta casi el infinito no estás eliminando las esquinas, solo las reduces a la vez que las multiplicas, así que siempre sobra algo.
#7 Creo entender que indican que el Area si que va convergiendo al circulo pero no el Perimetro, donde se ve claramente que se mantiene constante. Cosas de infinitos ;( (los griegos con paradojas varias muestran que de 'intuitivo' no tiene nada)
#8 Otras cosas poco intuitivas que salieron estos días por aquí:
post-it-valio-premio-nobel/c09#c-9
El Post-it que valió un premio Nobel
jotdown.eshttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall
https://es.wikipedia.org/wiki/Falacia_del_apostador
#7: El perímetro de un círculo es 4 veces el diámetro (o mejor: ocho el radio) si la circunferencia la mides mediante el método de Manhatan, si usas el método euleriano (el valor absoluto del vector), entonces sigue siendo PI, o 2×PI si calculas con el radio.
#7 básicamente la figura límite que se forma al pasar a infinito está formada totalmente por puntos singulares (esquinas). Que la longitud se mantenga al pasar al infinito depende de que no existan dichos puntos.
#7, soy matemático e intento explicártelo. Para empezar tienes un círculo y unas figuras que se van aproximando al círculo, ¿no? Ahora te pregunto, explícame tú por qué motivo el que unas figuras se acerquen a otra esto implica que sus perímetros también lo hagan.
Es que a ver, lo que se acercan son las áreas, pero a la hora de acercar áreas el perímetro es irrelevante por eso de tener área 0.
Míralo de otra forma. Coge un segmento de longitud 1. Mételo dentro de un rectángulo de base 1 y altura x con x tan pequeño como quieras. Conforme disminuyas x el rectángulo se acercará al segmento. Ahora bien, en ese rectángulo podrás dibujar una curva tan larga como quieras. O simplemente podrías cambiar el perímetro de dicho rectángulo por algo en patrón de escalera y hacer dicho perímetro tan largo como quieras.
En fin, resumiendo, no hay paradoja, simplemente que tú has pensado que si una figura se acerca a otra su perímetro también, pero si lo piensas bien, no tienes ninguna razón para afirmar que eso es cierto (de hecho como ya has comprobado es falso).
#7 Te lo explico de otra manera mas conceptual. El camino mas corto entre dos puntos es la linea recta, no?, cuando tu vas recortando el cuadrado inicial lo que vas haciendo es un camino que cada vez hace mas zig-zags, si vale que aparentemente es menos distancia, si pero eso es una ilusion, lo que pareces que te acercas al supuesto camino mas corto en verdad lo estas volviendo a ganar porque tienes que dar mas curvas en el camino.
Con la imagen lo entenderas, en verdad lo unico que esta haciendo esa aproximacion es una carretera con muchas esquinas, y lo que se acerca a la cicunferencia lo pierde es esquinas,
Imagina que quieres llegar a la cima de una montaña en bicicleta subiendo solo por una por una ladera. Lo que acortas llendo solo por una ladera que seria el camino mas corto lo ganarias por tener que ir haciendo eses. Osea que los zig-zags en verdad son mucha distancia. Por eso no converge a pi, sino a 4, lo comido por lo servido. Imagina que esa carretera es el perimetro, es bastante largo.
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#19 #7
A mí me gusta otro ejemplo (creo que lo leí en uno de fractales, o de paradojas o etc.)
Lo que sería una “hipotenusa”.
Véase la siguiente cuadricula de 8x8
Para llegar desde la esquina izquierda de abajo a la esquina izquierda de arriba tienes puedes hacer (todo con movimientos a los lados y arriba y abajo, no en diagonal):
8 hacia arriba y 8 hacía la derecha, un total de 16 movimientos.
Si lo haces por el “medio” como en la imagen en rojo vas haciendo 1 arriba 1 a la derecha, pero al final has continuado haciendo, 8 hacia arriba y 8 hacía la derecha, un total de 16 movimientos.
Si la cuadricula es de 1 millón por 1 millón haciendo las dos combinaciones de dará 2 millones, solo que la que va por el “centro” parece que es una línea recta en diagonal al ojo humano, pero no lo es (de hecho, en general, así funcionan nuestras pantallas de ordenador).
Por lo tanto, por mucho que reduzcas nunca será lo mismo que una diagonal.
#52 Sí es lo mismo. Pero en este caso no es un fractal, aunque esté de alguna forma relacionado. El perímetro o la linea esa roja esa siempre tendrá la misma distancia que si subieras y luego vas a la derecha. Que es lo que tu comentas. En un fractal esa linea tendría una longitud infinita porque un fractal sería un "objeto" que a la hora de medirlo te das cuenta que siempre tiene zig-zags mas pequeños y nunca terminarías.
🌱
#7 exacto. No puedes pasar "suavemente" de escalera a circulo.
#7 imagina un círculo dibujado en la pantalla de tu ordenador, está pixelado, por lo que no es un círculo real, sino un polígono que resulta muy parecido a un círculo y que tiende a tener el mismo área.
Sin embargo su perímetro no es circular, tiene pequeñas aristas, que cuando se suman dan un número mayor que el que se esperaría de un círculo de igual área.
#7 justo es eso.
Cuando la escalera se acerca a la forma del círculo, siempre sobra algo.
Cuantos más tramos tiene la escalera, más pequeño es cada uno de los sobrantes, pero también cada vez hay más sobrantes
Es decir, hay más trocitos pero más pequeños.
Y justamente el tamaño de los trocitos es inversamente proporcional al número de trocitos.
Así, si tenemos el doble de tramos, el tamaño de cada sobrante es la mitad
Por lo que siempre acaba sobrando la misma cantidad.
Aunque lleves esto al infinitivo, el sobrante total es constante.
Para entenderlo, si dibujas un ángulo recto de catetos iguales y en lugar de hipotenusa pones un arco circular, la figura la puedes hacer más pequeña o más grande, pero siempre de forma proporcional (cuestión de escala)
Si los trozos son la mitad de grandes, puedes poner el doble de trozos alrededor del círculo.
Si quieres poner el triple de trozos, debes dividir el tamaño entre 3.
De ahí la proporcionalidad.
#30 Aunque ibas muy bien, el final es un fallo garrafal . El área se va reduciendo en cada iteración, lo que es constante es el perímetro de la figura resultante.
#32 pues yo creo que al final se entiende mejor, con lo de la escala.
#33 Ue, es que editaste. Antes tenías puesto que el área permanecía constante, lo que no es cierto.
#7 El perímetro de la figura no tiende al círculo.
Haz zoom. Si hubiera una mayor aproximación a cada iteración, tendería. No lo hace.
Yo lo veo obvio.
#7 Me sorprende que nadie te los haya nombrado ya:
Puedes tener una área finita pero de perímetro infinito: https://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch
Puedes tener una figura de superficie infinita y volumen 0: https://es.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger.
#49 Y tambien un área finita con perimetro finito, pero indefinido. https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_la_línea_de_costa
Vaya, no me lo es-pi-raba.
Pi es 3 exactamente.
A mi me mola la teoría de la flecha, que dice que si te disparan una flecha nunca te va a alcanzar, porque cuando llegue a la mitad de su recorrido le quedará la otra mitad, y cuando llegue a la mitad de la mitad de quedará la otra mitad de la mitad, y así sucesivamente. Cosas de infinitos.
Un envío muy ins-pi-rado.
Cómo que no es cuatro? En la métrica del taxi, que es la que usa en el ejemplo, pi vale cuatro
¿Pi? La mentira de Pi se acabó:
https://www.scientificamerican.com/article/let-s-use-tau-it-s-easier-than-pi/
Supongo que es lo que tienen los infinitos, que haciendo eso nunca vas a tener una circunferencia, por muchas veces que lo hagas, siempre podrás hacerlo otra vez.
Un buen ejemplo visual son los fractales.
Ciencia troll
La clave es pensar que los "píxeles" jamás pueden estar "diagonalmente" colocados. Si nunca lo están, perímetro = 4. La clave es que, precisamente, un círculo tiene todos sus "píxeles" en "diagonal". Agradezco correcciones.
#15 Es algo así. Yo lo veo como un cordón que envuelve al cuadrado. Si quieres envolver el círculo con él te sobrará un trozo, la única forma de aproximarlo sería hacer un zigzag que cubriera su área. Pero el cordón no se habría vuelto más corto, sólo lo hemos ondulado para hacer una forma parecida.