El Trágico Final del Hotel Infinito

Clásico video del hotel infinito ampliado con conjuntos no numerables y de donde salen los números reales y referencias a la incompletitud de Gödel.

[#1 Arariel]

#0 ¿Puedes editar el título por "El Trágico Final del Hotel Infinito"?

[#2 Desactivado]

Bastante bien explicado, muy preciso, aunque no entren en demostraciones completas.
Al final aceleran un poco.

[#3 ccguy]

Uno de estos problemas que se entienden de puta madre hasta que las cosas se complican

[#4 Desactivado]

Debería poder existir en meneame el voto "pedante enteradillo que necesita coger una pala".

[#5 dunachio]

Copiado al 99% del documental "Viaje al infinito" de Netflix.
https://www.netflix.com/es/title/81273453

[#6 RamonMercader]

El tragico final fue cuando llegaron infinitos inspectores de hacienda con infinitos requerimientos de las infinitas facturas porque la web de hacienda solo admite 200

[#7 Desactivado]

#4 Y el voto para los comentarios "meneante cuñao con palillo en la boca". ¿Tanto te molesta que se haga divulgación? Por supuesto que tú ya conocías lo que se dice en el vídeo ¿no?

Pues dime: ¿los números quebrados son numerables o no numerables?

(Por cierto, hay más formas de trabajar que cogiendo una pala. Saludos)

[#8 Ashark]

#5 Es un tema muy frecuente. pero más bien y como advierte, es simplemente el remake del primer vídeo del canal en 2013. Y visto el scroll que me echa humo en 10 años el primero ha generado infinitos comentarios

En estos diez años han aparecido también infinidad de vídeos similares

[#9 Desactivado]

#7 Ah, pues un carajillo después de comer no vendría mal. Yo invito.

[#10 Mark_]

Mira que me gusta Quantum pero este vídeo me ha parecido un tostonaco potente. Como que se enreda en demasiada narrativa para explicar algo que aunque sea complejo, lo hace serlo aún más al añadir tanto dato innecesario.

[#11 sad2013]

Alguien puede explicar de qué va, para los que no nos suena lo del hotel infinito?

[#12 Cosas_Veredes]

#11 Lo que voy a decir no es riguroso pero para entendernos lo mismo vale.

Basicamente que sabemos que hay dos infinitos. Uno es cuantos numeros naturales hay y el otro cuantos numeros reales hay. Sabemos que hay más números reales que naturales. Aunque los dos sean infinitos, el infinito real es mayor que el infinito natural. Tiene más numeros. Más habitaciones en el hotel.
Lo gracioso viene si te preguntas si hay algún otro infinito entre medio, igual hay uno más, ó 2, ó 30 o un continuo de infinitos. Pues la cosa es que no podemos responder a esa pregunta. Es indecidible. Puedes decir que hay 5 o que hay 7 y no vas a encontrar nada que contradiga ninguna de las dos suposiciones, ni que las demuestre.

[#13 el_pepiño]

#10 El tema es muy interesante. Para mí le sobra todos ese adorno de teatralizarlo como un informativo, creo que se puede hacer divulgación entrenida sin todo ese contenido superfluo.

[#14 Otori]

#12 algo absurdo eso de que un infinito sea mayor que el otro.

[#15 Ashark]

#12 Un resumen muy razonable, estupendo.
Aquí el meollo pero está a años luz de lo que puedan llegar mis neuronas
https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuo

[#16 mudito]

#12 Adonde irán los infinitos, que no damos, que guardamos. ♫

[#17 archiputoamo]

#14 Un infinito son solo números positivos hacia delante

Y otro infinito son números tanto positivos como negativos hacia atrás, como verás uno de los 2 infinitos tiene más números pero ambos son infinitos

[#18 Gutierrez86]

#14 es paradójico, por que parece absurdo pero no lo es. Te doy todos los numeros naturales, los infinitos, podrías con ellos etiquetar los reales? Decir éste etiqueta 1, éste etiqueta 2... de forma que todos queden etiquetados con una etiqueta diferente?

Con los enteros puedes, con los racionales también. Y con los reales? El video muestra la prueba de que no. De que hay más reales que naturales

Dicho de otra forma no hay ninguna manera de organizar el conjunto de todos los reales en una única lista de forma que podamos decir cual es el siguiente al 3, sin importar cómo decidas organizarlos

[#19 Tren_de_Lejanias]

#14 #18 Pues es así y eso sin incluir el infinito formado por los números naturales y complejos que es aún mayor. Que no te extrañe que Cantor, me parece que era ese el que lo estudió, acabara volviéndose loco.

[#20 vvega]

#17 No, no, no, los infinitos de los números naturales y los enteros, que son los que dices tú, tienen la misma cardinalidad, igual que los pares, los primos o los racionales: Son todos contables, aleph 0. El que tiene una cardinalidad mayor es el de los reales, que incluye los irracionales (raíz de 2, pi, e...)

[#21 archiputoamo]

#20 gracias por la corrección! Siempre se aprende algo más

[#22 Pericoelcruel]

#14 Cuando se piensa en infinito en potencia, sí, pero en la teoría de Cantor los infinitos se toman en acto (infinito actual), es decir, se toma el conjunto infinito como si tuvieras los infinitos elementos ya dados; de estar forma comparas los conjuntos suponiendo que lo has hecho con todos los elementos. Que el infinito es en acto no tiene demostración, es una idea subjetiva que se toma como principio (https://es.wikipedia.org/wiki/Infinito_potencial_e_infinito_actual); normalmente en divulgación se omite este hecho para darle más vidilla a la cosa.
Es muy común pensar que existe una demostración más seria que la típica basada en el argumento de la diagonal de Cantor que solemos ver en divulgación, pero la realidad es que no, es que la demostración de que los números reales es mayor que la de los naturales se basa en el argumento de la diagonal y es tal cual.

[#23 Gutierrez86]

#17 naturales y enteros tienen la misma cardinalidad. Puedo organizar los enteros por ejemplo de la siguiente manera.
0, 1, -1, 2, -2...
Y ahora para saber cuál es el término n de la lista lo que hago es:
Si n es par el resultado será n/2
Si n es impar el resultado será - (n - 1)/2

Ej: cual es el 3°? 3 es impar, el resultado será - (3 - 1)/2=-1

Pero al revés también, sabiendo el entero puedo conocer la posición
Si es >0, su posición será entero*2
Si es ≤0, su posición será -(entero*2)+1

Ej: cual es la posición del -2?
-2 ≤ 0, por tanto, posición = - ((- 2)*2)+1=5

Podemos para cada entero asignarle un natural y viceversa. No sobran ni faltan

[#24 Desactivado]

#14 Infinito solo es un límite. O si quieres una forma matemática de decir que una sucesión no tiene límite (o tiene límite "palabro")

También si miras los números reales entre dos números hay infinitos números tal y como están definidos. Son topológicamente distintos y hace a R más "denso" y por tanto incomparable a N. Por eso son distintos.

[#25 Desactivado]

#4 Haber estudiado.

[#26 KaisserSozze]

#12 Quizá estoy diciendo una tontería, pero supongo que dependerá de las definición de diferentes infinitos que hagas. Por favor, corrígeme si em equivoco. Si yo defino un primer infinito como naturales pares, y un segundo infinito como reales, creo que debería ser correcto decir que infinito naturales está entre ambos: infinito naturales pares < infinito naturales < infinito reales ¿Qué problema habría con eso? Otra cosa sería probarlo, mas allá de la que lógica te diga que así es. Estoy de sobremesa y el coco ahora no me da para eso. Lo resumiría en un gran axioma que dice "si tienes dos infinitos y uno es mayor que el otro, y se puede definir un tercer infinito que sea subconjunto del primero, es que si que hay un infinito en medio" Vale, ya sé que es hacer un poco trampa, ya que no estoy viendo si hay un infinito entre los naturales y los reales, si no que estoy definiendo un tercero, que es menor a ambos. Pero si que resuelve la pregunta replanteada de ¿Hay un infinito entre los naturales pares y los reales? Que es la que originalmente había planteado.
Yendo a conjuntos infinitos de números, y resumiendo, sabemos que Naturales

[#27 Gutierrez86]

#24 entre dos racionales también hay infinitos racionales, y sin embargo sí son numerables. Su cardinalidad es la misma que la de los naturales

[#28 Desactivado]

#27 Por eso digo: Son topológicamente distintos y hace a R más "denso" tal y como están definidos

[#29 AsVHEn]

#26 Hay la misma cantidad de números naturales pares que de números naturales.
La forma contar elementos de conjuntos es relacionar 1 a 1 elementos. Los naturales pares y los naturales, se pueden relacionar así 2n con n. Así todos tienen pareja, por lo que son igual de grandes. Eso no lo puedes hacer con los naturales y los reales, y no hay ningún conjunto entre los naturales y los reales (Ninguno que no puedan contar los naturales y que a la vez no pueda contar a los reales)

[#30 unpaseante]

#26 Sí, dices una tontería.

La "tontería" está en que no eres consciente que "

[#31 meneandro]

#14 ¿Absurdo por qué? Tienes infinitos números naturales. Pero en medio de dos números naturales cualesquiera (como el 1 y el 2) hay infinitos números racionales. Y eso, sólo entre dos, cuenta infinitos números entre cada uno de los infinitos números y tendrás infinitos infinitos (si sumas 1+1 tienes 2; si sumas infinito + infinito tienes infinito, pero... infinitos infinitos... eso por narices debe ser más grande que un infinito o una suma finita de infinitos). ¿Cómo llamarías a un infinito que es infinitamente más grande que el infinito? ¿son del mismo tipo? ¿tienen las mismas características? ¿se comportan igual? ¿las mismas propiedades? pues eso, que para ti es una tontería, es el tipo de cosas que hacen avanzar el saber del ser humano.

[#32 Otori]

#31 lo siento pero mi cerebro no llega más allá de que algo infinito no tiene fin. Y si no tiene fin no puede ser más pequeño que algo que tampoco tiene fin. Quisiera comprender todo lo que me han contestado pero de verdad que no me llega, para mí el infinito es infinito.

[#33 visualito]

#14

Hey el siglo XIX te llama, que le devuelvas su crítica a Cantor.

[#34 unpaseante]

#32 A ver como lo explico de forma sencilla, "infinito" solo significa que "no es finito". En otras palabras, "infinito" solo significa que no tiene 0 elementos, ni 1 elemento, ni 2 elementos, ni 3 elementos, etc; i.e., "infinito" significa que no lo puedes contar con los números de contar (i..e, con los naturales).

Piensa ahora en el intervalo [0,1] de números reales. ¿Es infinito? Sí ¿Tiene fin? Sí, el 1 es el tope (i.e., fin) y está dentro de ese conjunto.

[#35 Otori]

#33 como voy a criticar a quien no conozco

[#36 KaisserSozze]

#30 Efectivamente es lógicamente equivalente < a "≤ y ≠", como ves no lo desconozco. Pero no entiendo cuando dices "remplazar < con ≤" ya que eso si que no es lógicamente equivalente.

[#37 KaisserSozze]

#29 Gracias, ahora entiendo el criterio para saber si dos infinitos son igual de grandes o no. Aclarado.

[#38 Fernando_x]

#26 el infinito "naturales pares" tiene el mismo tamaño que el infinito "naturales". Demostración? A cada elemento del primer conjunto le asignamos el que resulta de dividirlo entre dos. Como al dividir un natural par entre dos, seguimos teniendo un número natural, pero que en este caso puede ser tanto par como impar. Y no sobra ni falta ninguno. Así que hay tantos naturales pares como naturales. Aunque parezca contraintuitivo acabamos de asignarlos de uno a uno sin que sobre ni falte. Ambos infinitos tienen el mismo tamaño.

[#39 unpaseante]

#36 Por "reemplazar < con ≤" me refiero solo a tu texto de #26. Por ser más claro:

- lo que has escrito en #26 es falso.
- considera el texto que resulta de cambiar en tu escrito #26 las apariciones de < con ≤. En tal caso, eso sí sería verdadero.

[#40 Otori]

#34 a ver, yo soy muy simple,trato de explicármelo así, dos filas infinitas de trailers ,una fila de trailers de 8 ruedas y otra de trailers de 16 ruedas. Donde hay más ruedas? Y mi cabeza me sigue diciendo que en las dos filas hay un número infinito de ruedas

[#41 unpaseante]

Lo que dices es cierto (solo hay el detalle, que no sé si eres consciente, que cuando dices "2 filas infinitas" se sobreentiende, y es crucial para que cuadre, que estas poniendo el mismo tipo de infinito en cada una de esas 2 filas).

[#42 Gutierrez86]

#37 una curiosidad. Si hago 2 circulos, ambos con el mismo centro pero uno el doble de grande que otro, ambos tienen infinitos puntos, y además esos infinitos son iguales. Podemos relacionar cada punto del pequeño con aquel punto del grande que esté en la misma recta y hacia el mismo lado, pero al doble de distancia

[#43 Acido]

#19
"y eso sin incluir el infinito formado por los números naturales y complejos que es aún mayor"


¿Te refieres a las sucesiones de números complejos?
Sería más sencillo hablar de sucesiones de números reales. Los complejos tienen el mismo cardinal que los reales

[#44 Cosas_Veredes]

#26 es lo que dice #29.
Piensa que realmente no puedes contar cuantos elementos hay. Son infinitos elementos! Sin embargo puedes comparar si son conjuntos equivalentes y por lo tanto tienen la misma cantidad de elementos.

Otra forma se verlo sería imaginarte que tengo una máquina a la que le doy un número natural que nadie haya usado antes y me da un billete de 500 euros con ese número de serie. Podría imprimir infinitos billetes "válidos". Si te digo que uses los números pares, yo podría seguir usando los números impares y los dos podríamos imprimir la cantidad de billetes válidos que quisieramos.

[#45 Cosas_Veredes]

#44 #26 por cierto, me parece muy guay que le des vueltas a las cosas

[#46 unpaseante]

Dejo aquí un "ejercicio" que creo viene a cuento (y que relaciona además con computación) para el curioso.

Sea A un conjunto finito no vacío (pueden pensar en los dígitos binarios , o en los dígitos decimales , o en los símbolos ASCII, o en los símbolos unicode, etc). ¿Cuántas frases se pueden formar? [Por frases nos referimos a sucesiones finitas de los símbolos en A]. ¿Es el mismo infinito que en los números naturales?

PS1: Lo realmente interesante (filosóficamente hablando) está cuando eres consciente que todo el conocimiento humano (i.e., todas las demostraciones matemáticas que conocemos y que aún no conocemos, etc), incluso aquel que habla de infinitos no numerables, forma parte del infinito numerable que responde a la pregunta que he dejado.
PS2: Lo que he puesto tiene un aire a la bien conocida "Skolem Paradox" https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem's_paradox pero es mucho más fácil de digerir (y por eso lo pongo).

[#47 MoñecoTeDrapo]

#40 efectivamente, hay las mismas ruedas en ambos conjuntos. Esos conjuntos infinitos son equivalentes. Pero hay otros que no, como el intervalo real [0,1] que te comentaban que está más "tupido".

[#48 MoñecoTeDrapo]

#24 es más que un límite: existen los conjuntos infinitos, que tienen un número infinito de elementos. Y el intervalo real [0,1] que tiene límites finitos, incluye entre esos límites infinitos elementos

[#49 Otori]

#47 y ahí es donde me pierdo

[#50 unpaseante]

#49 Tal vez te ayuda ver una forma explícita de emparejar (1 a 1, i.e., en una biyección) el "N (de los naturales)" con el conjunto NxN (i.e., los puntos de plano con ambas coordenadas números naturales). Tienes una en
https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function#Cantor_pairing_function
y un emparejamiento que funciona se ve muy claro la imagen
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Cantor%27s_Pairing_Function.svg/330px-Cantor%27s_Pairing_Function.svg.png

[#51 Desactivado]

#4 debería haber un voto de "ignorante que le molesta que los demás sepan más que él y se dedica a insultarlos porque le falta un mínimo de respeto humano".
Y otro de "persona que quiere venir a un foro de nivel y luego le molesta que la gente tenga nivel".

[#52 Otori]

#50 se agradecen profundamente los esfuerzos,pero no tengo base para asimilar eso. Terminé el bachillerato algo justo y de eso hace ya 25 años.

[#53 Desactivado]

#22 habrá miles de demostraciones y la de la diagonal de Cantor será una de allas, digo yo.
A ver, se me ocurre una. Los reales en [0,1) pueden considerarse en binario y por ello el conjunto de subconjuntos de N tomando el criterio de que la primera cifra se corresponde con el 1 de N, la segunda con el 2, la tercera con el 3... y si la cifra es 0 el número no está en el subconjunto y si es 1, el número está en el subconjunto. Es casi obvio que [0,1) -> Partes_de(N) ya que es una relación biunívoca (a falta de detallar el 0,11111...). Se sabe que no hay relación inyectiva de Partes_de(A) -> A, así que de ninguna manera hay relación biunívoca de R -> N.
Se llega a lo mismo que con la demostración de la diagonal Cantor.

[#54 Desactivado]

#51 Si sabe tanto que lo demuestre en vez de hacer de papagayo de otros. Para hacer divulgación no se puede ir de pedante perdonavidas.
Me quedo con Javier García, al menos llama señores a los términos de las ecuaciones.

[#55 Desactivado]

#54 A quien no sabe ni tiene interés por aprender, no se le puede demostrar nada.

[#56 suzudo]

#26 Pues tienes el infinito 1/0| Y si a infinito le sumas algo, le restas multiplicas o incluso le sumas por si mismo te sale el mismo infinito y sabes que es el mismo porque tiene las mismas propiedades aunque se piense que son diferentes porque deberia ser mayor que... pero cuando lo exponeras sobre sí mismo te aparece otro infinito que tiene propiedades diferentes y asi con infinidad de infinitos diferentes. Uno podría pensar en un infinito entre dos infinitos pero si tiene las mismas propiedades de cualquiera de los dos es el mismo infinito que ese. Es cuando el nuevo es realmente nuevo y matemáticamente ya no se comporta igual

[#57 suzudo]

#14 Pues absurdo para el sentido común pero no para la lógica y las matemáticas... Y como diferentes humanos tenemos diferente sentido común (así de "común" es ... Pues... )

[#58 Desactivado]

#4 El trabajo físico lo hace hasta una mula, pensar es más complejo.

[#59 Pericoelcruel]

#53 No me he expresado correctamente, estaba pensando en la demostración de Cantor, es decir, que cuando uno ve la explicación en divulgación piensa que la de Cantor será en realidad "más seria", es decir, que evitará de alguna forma lo que de entrada parece absurdo, y es dar por sentado que has comparado todos los números reales, pues al ser infinitos se supone que el conjunto no termina (la visión de infinito en potencia), pero que realmente al demostración es tal cual.

Toda demostración se basa en la premisa de que supongo que tengo en acto infinitos elementos y procedo a comparar.

[#60 sad2013]

#12 gracias. Después de tu explicación, algo me suena... Le daré una vuelta.

[#61 Desactivado]

#59 No te sigo muy bien, pero yo creo que formalmente sí se puede definir el conjunto A= y luego el producto cartesiano de B=AxAxA... donde hay tantos A como números naturales y entonces se puede saber si dos elementos de B son iguales, que es lo mismo que tú dices "comparar infinitos elementos de golpe". No le veo fallo lógico por esa parte.
¿ Alguien que no sabe matemáticas no capta esos matices ? ¿ No se da cuenta que hay que demostrar y tener cuidado con ellos ? Pues es posible, y entre esos que no saben matemáticas habría que meter a físicos e ingenieros, supongo, que no entran a entender los fundamentos de las matemáticas. Pero desde Cantor para acá, ya se sabe que hay que tener cuidado con todos los detalles. No se puede poner ningún = alegremente. Se tiene que tener claro que son el mismo elemento del mismo conjunto.

[#62 Pericoelcruel]

#61 Sí, a lo que voy es que cuando se dice que el infinito de los reales es mayor que los naturales, se suele omitir que estás hablando del infinito actual o en acto; pero es importante hacerlo, porque siendo una forma genuina de tratar el infinito al poderse hacer sin entrar en contradicciones ("no hay fallo lógico" como dices) no es cierto como se suele dar a entender en divulgación que es la forma "genuina" o "de verdad", y es por ello que se supone erróneamente que existe algún tipo de demostración o similar que dice que el infinito se debe tomar en acto, pero no hay tal cosa. Tomando el infinito en potencia existe también todo un desarrollo de las matemáticas. El infinito actual se puso de moda porque abrió todo un abanico de nuevas matemáticas y axiomas...y como suele pasar solucionó paradojas, pero creo otras.

No estoy criticando el infinito en acto, es un axioma más, muy interesante.

Yo soy físico; en la naturaleza no existe, que sepamos, el infinito en acto (siquiera en potencia, salvo hipótesis sobre la infinitud del universo), o al menos no hay evidencia del mismo, pero se trabaja muchísimo con él, por ejemplo en estrategias matemáticas para eliminar los infinitos que pueden dar las ecuaciones, o también por ejemplo en el tratamiento de sumas divergentes en teoría de cuerdas u otras de caracter cuántico.

[#63 Desactivado]

#62 Se te ve que controlas. Eres el segundo físico que veo con un conocimiento tan profundo de los fundamentos de las matemáticas. No dudo que habrá más, no toco estos temas con los que conozco, por lo general.