Problemas: comentarios [2943079]

#11 Producto de distancias

--165145-- — Thu, 03 May 2018 18:45:29 +0000

#9, es una duda lógica la tuya, pero como te han dicho es que es para todo valor de X. Pero si quieres miralo de otra forma. Estamos hablando de polinomios. Un polinomio que tiene las mismas raíces que otro con la misma multiplicidad, y teniendo ambos el mismo coeficiente en x^k para algún k son iguales. En este caso los polinomios tenían como raíces las raíces n-ésimas de la unidad con multiplicidad 1 y al quitar en ambos lados la raíz 1 siguen teniendo las mismas y además el coeficiente del término de mayor grado es el mismo en ambos e igual a 1.

Si no te convence, pues otra forma de explicarlo. Estás de acuerdo en que ambas expresiones son iguales para todo valor distinto de 1, ¿no? Pues tenemos dos polinomios que son iguales en todos esos puntos, y como los polinomios son funciones continuas, en el 1 también valen lo mismo.

#10 y porque nos quedan funciones continuas

» autor: --165145--

#10 Producto de distancias

AntonPirulero — Thu, 03 May 2018 17:12:46 +0000

#9 No, la cancelación se puede hacer porque la igualdad se da para todo valor de x.

» autor: AntonPirulero

#9 Producto de distancias

allenharpell — Thu, 03 May 2018 14:26:11 +0000

#6 Pero si cancelas x-1 y haces x=1 ¿No estarías dividiendo por cero?

» autor: allenharpell

#8 Producto de distancias

fantomax — Wed, 02 May 2018 15:04:13 +0000

#6 Muy bueno, también me fui por los derroteros trigonométricos y me parecía demasiado farragoso

» autor: fantomax

#7 Producto de distancias

--165145-- — Wed, 02 May 2018 13:56:57 +0000

#6, coño, he dado un pequeño rodeo . Claro, los a_k se pueden ver como los vértices del polígono y es inmediato que las distancias son efecticamente los |1-a_k| directamente, no hacía falta pasar por los senos por el camino

» autor: --165145--

#6 Producto de distancias

AntonPirulero — Wed, 02 May 2018 13:12:41 +0000

#4 Tu argumento me parece muy bien. Escribimos, como tú dices, que
x^n - 1 = (x - 1) (1 + x + ... + x^(n-1)) = (x - 1)(x - a2)...(x - an)
siendo 1, a2, ... an las raíces n-esimas de la unidad, que forman los vértices de un polígono regular de radio 1. Si cancelamos el factor x - 1 y hacemos x=1 podemos acortar un poco tomando módulos. Entonces tenemos que
n = |1 - a2|...|1 - an|,
que es el resultado que se pedía.

» autor: AntonPirulero

#5 Producto de distancias

fantomax — Wed, 02 May 2018 12:56:17 +0000

#4 Estaba currando en la misma linea que tú, pero en plan perecita, poco a poco.

» autor: fantomax

#4 Producto de distancias

--165145-- — Wed, 02 May 2018 11:31:36 +0000

Pues creo que lo tengo. Digo más o menos lo que he hecho, saltándome unos cuantos detalles. Lo primero es darse cuenta que las distancias que salen son iguales a

2*seno(m*360º/(2n)) desde m=1 hasta n-1

Esto es fácil verlo si usamos la típica representación del seno en la circunferencia unidad.

Luego habría que demostrar que el producto de los términos seno(m*360º/(2n)) desde m=1 hasta n-1 es n/2^n-1.

Y para demostrar este producto se utiliza que si descomponemos el polinomio xⁿ-1 en el campo complejo nos sale que es el producto de expresiones de la forma (x-a_k) desde i=1 hasta n, siendo los ak las n distintas raíces enésimas de 1 en el campo complejo. Dividiendo por x-1 obtenemos a la derecha un término menos y a la izquierda la expresión x^n-1+x^n-2+...+x+1

Sustituimos x por 1 y obtenemos

n-1= el producto de (x-a_k) desde i=1 hasta n-1 (como 1 es una raíz n-ésima de 1, considero que es la última y por eso la he eliminado).

Y lo voy a dejar aquí que así sin latex ni nada queda muy engorroso escribir. La cosa es que las raíces enésimas de la unidad tienen como parte real e imaginaria cosenos y senos de ángulos de la forma m*360º/n, de ahí que al final el producto se pueda sacar de lo que he escrito hasta ahora, pero como además en mis cuentas uso la exponencial de números complejos, creo que es demasiado engorroso para un sitio como este.

#0, ¿tú conoces alguna otra demostración más sencilla?

» autor: --165145--

#3 Producto de distancias

--165145-- — Wed, 02 May 2018 08:21:53 +0000

#0, ya veo que es demostrarlo, de primeras me pensaba que sería buscar qué polígono cumple esa propiedad. Rápidamente he comprobado algunos casos y efectivamente parece cierto. Me parece una propiedad muy curiosa que no conocía. A ver si saco un rato y lo pienso.

» autor: --165145--

#2 Producto de distancias

AntonPirulero — Wed, 02 May 2018 07:46:06 +0000

#1 Sí, a ver si alguien se anima!

» autor: AntonPirulero

#1 Producto de distancias

fantomax — Wed, 02 May 2018 07:38:58 +0000

#0 Supongo que el reto consiste en demostrarlo, ¿no?

» autor: fantomax