EDICIóN GENERAL

La paradoja de la moneda que gira

El artículo lo prueba con vídeo y animación. Pero me quedé con un sinsabor porque ¿Dónde está la prueba teórica? ¿Las fórmulas? ¿Siempre será N+1? ¿Es aplicable a polígonos regulares?
#8 hablando de las monedas que son iguales. si ambas monedas girasen a la vez ambas darian solo una vuelta ya que el punto de revolución se mantendría siempre en la unión de ambas. Al solo moverse una el punto de revolución va haciendo una trazada que se corresponde con el perímetro de la moneda mas un perímetro adicional. En el articulo hay otro grafico donde en línea azul te marca la trazada de la revolución
#8, la moneda gira n veces por ser su longitud la n-ésima parte de la otra, y a su vez por desplazarse alrededor de esta gira una vez más, de ahí el n+1.

Para ver el giro extra piénsalo de otra forma. Si la moneda gira alrededor de la otra de forma que el punto de contacto suyo con la otra moneda es siempre el mismo (vamos, deslizándose) daría una vuelta. O visto de tira forma, si una persona andando le da la vuelta al mundo (imagina una persona enana andando en la moneda), al dar la vuelta a la moneda si cuerpo también habría dado una vuelta.
#8 Eso de N+1 es una explicación a medias. La solución a la paradoja, está en el GIF.
Marcamos un punto P en cualquier lugar de la circunferencia de la moneda. Si la moneda estuviera clavada a una superficie por su centro, y la hiciéramos girar, entonces P se movería 2 * Pi * R para completar una vuelta.
La paradoja se basa en que el sentido común nos traiciona, y pensamos que si la moneda rota alrededor de otra, entonces esa distancia al rotar será aplicable al problema, y no es cierto. Sólo sería cierto si el punto P de la moneda A estuviera en contacto SIEMPRE con la moneda B, y si pensamos esto y miramos otra vez el problema, es obvio que esto no es así.
Como se ve en el GIF, el punto P forma un cardioide.
#8 Veamos de dónde sale el "+ 1".

Supongamos que tenemos dos monedas del mismo tamaño. Cuando la moneda que gira está en la posición inicial (arriba), la parte que está en contacto con la moneda fija está en la parte de abajo de la que gira. Cuando hacemos girar la moneda alrededor de la fija y damos 1/2 vuelta alrededor de ella, ahora la moneda que gira está en contacto con la moneda principal PERO EN SU PARTE SUPERIOR. Es decir, el contacto con la moneda principal ha "girado" 180 grados, es decir, media vuelta. Al seguir girando y llegar a la posición original, la parte en contacto será nuevamente la parte de abajo. El punto de contacto ha "girado" otros 180 grados. En total el punto de contacto, al dar la vuelta alrededor de la fija ha girado 360 grados, es decir una vuelta completa. De allí viene el "+ 1".

- ¿Sucede con cualquier polígono regular de igual perímetro que la moneda que gira? Creo que sí, pues al girar alrededor del polígono regular siempre dará una vuelta alrededor de éste.
- ¿Sucederá con cualquier polígono convexo de igual perímetro que la moneda que gira? Creo que sí.
- ¿Y si el polígono es arbitrario, donde pudiera ser también cóncavo en alguna parte? Si el perímetro total es igual al de la moneda, creo que sí. porque cualquier vuelta local en un sentido se compensaría con otra vuelta local en el otro sentido y al final solo se estaría dando una vuelta completa alrededor del polígono fijo, así que volveríamos a sumar un "+ 1".
#8 Sí, y a tetraedros cuánticos.
#8: Yo en la asignatura de mecanismos repasé las fórmulas haciendo movimientos con los bolis. :-P

Si tenéis una impresora 3D, aprovechadla e imprimid algunos engranajes planetarios y contáis las vueltas.

menéame