Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

#36   Que curioso, un amigo me planteó este dilema hace un par de semanas mientras estabamos echando birras. Mi respuesta fue que dependía del dinero que tuviese ya que no es lo mismo tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando) que tener 80 euros y apostar 3 por jugada lo que haría que fuese muy improbable que acabase perdiendo dinero.
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 *   uno_d_tantos uno_d_tantos
#46   #36 ¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?

De todas formas, creo que esta paradoja sirve para demostrar que la esperanza matemática como medición de lo "bueno" que es un juego, no sirve para nada :-D

Respondiendo a la pregunta del post, me gustaría hacer una simulación, pero apostaría a que el premio medio sería un valor entre 2 y 4 euros (a ojo de buen cubero) ¿ando bien?
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#47   #43 #46 Joder, pues me quedé cortísimo.

Justo estaba haciendo yo un programilla!
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#52   #47 Primero, te invito a que termines tu programa. Es bastante probable que el mio tenga algún fallo
Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
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#56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

10 resultados cambiando el millón por mil

8.614
4.962
4.786
6.848
4.394
6.85
4.98
7.79
6.502
6.254

Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
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#60   #56 Pero el dinero que sea razonable pagar a cambio de jugar una partida, que es lo que intentamos descubrir con este programa, debería ser independiente del número de partidas que agrupes para hacer una media ¿no crees?

¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?

Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?

De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.

Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
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#64   #60 creo que estamos delante de un problema que no tiene solución (para la versión de una sola jugada) y que al igual el dilema del prisionero, es bastante interesante analizar las posibles soluciones y estrategiaS cuándo se juega n veces

Los resultados numéricos que me han devuelto mi script no son más que golpes de ciego para saber dónde nos estamos moviendo. Puede que de las fórmulas, se pueda deducir que es divergente. Pero una simulación numérica, puede hacernos una idea de lo divergente que es. En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión
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#66   #65 El caso es que si tu patrimonio total fuese de 1000 euros seguramente no querrías apostarlo todo, como se suele decir, a una sola carta.

#64 Gaussianos en la noticia mismamente...
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#69   #64 En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión.

En realidad, el resultado esperado de una ejecución de tu script con el número de tiradas que sea es tan infinito como el del juego original; aunque la distribución de los resultados cambia. O, dicho de otro modo, la media de mil ejecuciones de tu script con n=1000 tendrá el mismo aspecto que una ejecución de tu script con n=1000000, y que la media de un millón de ejecuciones con n=1; cosa que es bastante obvia si nos fijamos en el código. Los resultados más bajos con n=1000 que con n=1000000 son sólo una "apariencia" que sucede por tener una muestra pequeña; pero la media de muchas ejecuciones tenderá a infinito en ambos casos.
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#87   #56

Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
(lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


#60
"¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

(bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
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 *   Acido Acido
#88   #55 No le falla la intuición a #56 ... tiene que ver con el logaritmo en base 2 del número de veces...

Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.

Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
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#86   #52

"Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio"

jajaja ¡No, hombre!
En el caso peor vas a ganar 2 euros!!!

¿te negarías a jugar si cuesta 2 euros???
jajaja Nadie se debería negar a jugar si cuesta 2 euros.
Ya que es imposible perder nada, siempre recupero los 2 euros... y con algo de suerte puedo ganar por la cara 2 euros, ó 6 euros, ó 14, etc... sin riesgo.

Incluso si cuesta 3 euros jugaría seguramente (a menos que perder 1 euro supusiese algo grave para mi o que no sepa si la moneda puede estar trucada): en la mitad de los casos pierdo 1 euro, y en la otra mitad gano 1 euro al menos...

Jugar cosas como 20 euros ya es más lotería... aunque es un juego ventajoso, jugando 20 en la mitad de los casos perdería casi todo (18 euros) y lo de perder el 90% en el 50% de los casos ya no me parece tan gracioso. Aunque he jugado a la Lotería de Navidad donde se pierde el 100% en el 85% de los casos, así que es peor, pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.
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#89   #83 Creo que tu script tiene un fallo:

Pues creo que tienes razón. Hay que añadir uno al contador de tiradas. Bien visto.

#86 pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.

A parte de que en ese caso se une a la decisión de jugar o no el "antipremio" psicológico de que les toque a todos tus compañeros de trabajo menos a ti.
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#79   #36
"tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando)"

#46 "¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?"

No, la probabilidad de palmarlo todo jugando una vez es 0%.
Tienes un 50% de llevarte 2 euros y tienes un 50% de llevarte 4 euros o más... así que nunca nunca lo vas a palmar todo jugando una vez.

Sin embargo, si juegas 3 veces pagando 3 euros cada vez...
La primera vez tienes un 50% de llevarte 2 euros, así que si jugaste 3 euros esa vez perdiste 1 euro (como tenías 5 euros y pierdes 1 te quedan 4 euros). De esos 50% de casos en los que pierdes 1 euro, la segunda jugada puedes perder 1 euro también, cosa que ocurriría un 50% de las segundas jugadas... el 50% de la segunda * el 50% de la primera = un 25% (1/4) de veces que perderías en las dos primeras jugadas (empezaste con 5 euros, perdiste 1 euro dos veces y te quedan 3 euros). De ese 25% la mitad de las veces perderías en la tercera jugada ... así que son 12.5% (1/8) de veces las que perderías un euro en cada una de las 3 jugadas y en total pierdes 3 euros. Como apuestas "3 euros" y pierdes 3 euros, esto significa que lo palmaste "todo" (eso sí, jugando 3 veces). Bueno, en realidad la frase original no hablaba de palmarlo "todo" sino de no poder seguir jugando... y, efectivamente, si la apuesta es de 3 euros y empiezas con 5 euros al perder 1 euro 3 veces seguidas te quedas con 2 euros y no puedes seguir jugando ya que jugar costaba 3 euros.
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menéame