Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

#35   Creo que lo mas razonable sería simular por ordenador una gran cantidad de partidas (pongamos del orden de millones), y realizar a partir de allí una gráfica, que posiblemente se aproxime a alguna distribución estadística conocida. Posiblemente, echando un vistazo a la gráfica nos podamos hacer una idea de lo que sería razonable pagar por jugar.
Habría que tener en cuenta también un factor importante: ¿Se puede jugar una única vez? ¿O se puede jugar tantas veces como queramos? (De manera análoga al dilema de prisionero y su versión reiterada)
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#43   #35 Me acabo de permitir el lujo de realizar un pequeño script en python que simula un millon de jugadas y te dice la media.

pastebin.com/7z88EHXr

Después de ejecutar el script 10 veces, he obtenido las siguientes medias:
18.650978
10.333214
8.383532
12.136228
9.562446
10.084366
17.017284
10.153694
9.43742
11.296562

Sacad vuestras propias conclusiones pero yo de aquí deduzco que sería razonable pagar 8 euros por jugar. Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug
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#47   #43 #46 Joder, pues me quedé cortísimo.

Justo estaba haciendo yo un programilla!
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#52   #47 Primero, te invito a que termines tu programa. Es bastante probable que el mio tenga algún fallo
Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
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#56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

10 resultados cambiando el millón por mil

8.614
4.962
4.786
6.848
4.394
6.85
4.98
7.79
6.502
6.254

Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
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#60   #56 Pero el dinero que sea razonable pagar a cambio de jugar una partida, que es lo que intentamos descubrir con este programa, debería ser independiente del número de partidas que agrupes para hacer una media ¿no crees?

¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?

Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?

De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.

Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
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#64   #60 creo que estamos delante de un problema que no tiene solución (para la versión de una sola jugada) y que al igual el dilema del prisionero, es bastante interesante analizar las posibles soluciones y estrategiaS cuándo se juega n veces

Los resultados numéricos que me han devuelto mi script no son más que golpes de ciego para saber dónde nos estamos moviendo. Puede que de las fórmulas, se pueda deducir que es divergente. Pero una simulación numérica, puede hacernos una idea de lo divergente que es. En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión
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#66   #65 El caso es que si tu patrimonio total fuese de 1000 euros seguramente no querrías apostarlo todo, como se suele decir, a una sola carta.

#64 Gaussianos en la noticia mismamente...
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#70   #66 Ya, eso sí... pero bueno, ahí ya entran otros factores ya no puramente matemáticos, como indica el propio artículo :-)
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#69   #64 En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión.

En realidad, el resultado esperado de una ejecución de tu script con el número de tiradas que sea es tan infinito como el del juego original; aunque la distribución de los resultados cambia. O, dicho de otro modo, la media de mil ejecuciones de tu script con n=1000 tendrá el mismo aspecto que una ejecución de tu script con n=1000000, y que la media de un millón de ejecuciones con n=1; cosa que es bastante obvia si nos fijamos en el código. Los resultados más bajos con n=1000 que con n=1000000 son sólo una "apariencia" que sucede por tener una muestra pequeña; pero la media de muchas ejecuciones tenderá a infinito en ambos casos.
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#87   #56

Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
(lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


#60
"¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

(bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
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 *   Acido Acido
#88   #55 No le falla la intuición a #56 ... tiene que ver con el logaritmo en base 2 del número de veces...

Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.

Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
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#86   #52

"Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio"

jajaja ¡No, hombre!
En el caso peor vas a ganar 2 euros!!!

¿te negarías a jugar si cuesta 2 euros???
jajaja Nadie se debería negar a jugar si cuesta 2 euros.
Ya que es imposible perder nada, siempre recupero los 2 euros... y con algo de suerte puedo ganar por la cara 2 euros, ó 6 euros, ó 14, etc... sin riesgo.

Incluso si cuesta 3 euros jugaría seguramente (a menos que perder 1 euro supusiese algo grave para mi o que no sepa si la moneda puede estar trucada): en la mitad de los casos pierdo 1 euro, y en la otra mitad gano 1 euro al menos...

Jugar cosas como 20 euros ya es más lotería... aunque es un juego ventajoso, jugando 20 en la mitad de los casos perdería casi todo (18 euros) y lo de perder el 90% en el 50% de los casos ya no me parece tan gracioso. Aunque he jugado a la Lotería de Navidad donde se pierde el 100% en el 85% de los casos, así que es peor, pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.
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#89   #83 Creo que tu script tiene un fallo:

Pues creo que tienes razón. Hay que añadir uno al contador de tiradas. Bien visto.

#86 pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.

A parte de que en ese caso se une a la decisión de jugar o no el "antipremio" psicológico de que les toque a todos tus compañeros de trabajo menos a ti.
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#55   #43 Buen trabajo, pero ¿estamos seguros que el resultado es independiente del número de tiradas? ¿Es decir, de ese un millón? Si en lugar de un millón hubieras puesto mil y ante las mismas diez ejecuciones ¿habrías llegado a la misma conclusión? ¿y con mil millones?
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#59   #55 Esa es la "trampa", si tienes dinero para jugar "infinitas" veces terminarás ganando. Si miras el comentario al que contestas, y con el que te responden. Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.

Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
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 *   Arth
#62   #59 Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

En un juego en el que la esperanza tuviera un valor concreto y no tendiera a infinito, al aumentar el número de partidas con las que calculamos la media, esa media tendería a precisamente ese valor. Yo trataba de señalar que, en este caso, nuestra estimación de la esperanza (esa media que calculamos) irá aumentando indefinidamente según aumentemos el número de iteraciones del Monte Carlo. Pero eso es por la peculiaridad que tiene este juego. No sucederá con juegos "normales".
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#63   #55 #59 En general, y sin haber hecho pruebas con ese programa, cuantas más iteraciones se metan, normalmente mayor será la media. Explico un poco lo de "normalmente".

Con un millón de iteraciones...

hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
...
unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
...
unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)

Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...

Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.

Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.

Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.

Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
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 *   sabbut sabbut
#65   #59 ¿Infinitas veces? Si yo apuesto 1000 euros, con aguantar una ronda de 10 tiradas (9 caras y una cruz) ya tengo beneficios (1024 de ganancia bruta --> 24€ de ganancia neta) :-S


El juego es sencillo: para cada premio de 2n, tenemos una probabilidad asociada de 2-n. Y la tirada de la moneda se corresponde con una distribución geométrica G(p) con p=0.5 (la probabilidad de cruz), premios aparte.
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#83   #43

"Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug"

Creo que tu script tiene un fallo:

def jugar():
contador = 0
while(lanzar_moneda()):
contador = contador + 1

if contador > 0:
return pow(2, contador)

return 0


Es decir, si el primer lanzamiento de moneda es False resultaría contador = 0 y return 0 ...

En ese caso, la esperanza también es infinita pero la suma sería de este estilo: 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .... = 0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ...

En 1 millón de veces habría:
500 000 ... 0
250 000 ... 2
125 000 ... 4
062 500 ... 8
031 250 ... 16
15 625 ... 32
7 812
3 906
1 953
976
488
244
122
61
30
15
7
3
1

Al hacer la media: 0 + 1/2 + 1/2 + ... = 18/2 = 9

(como ves, unas veces te sale 8, otras 10 ... en media más o menos 9)

Si lo hubieras hecho bien sería:
1 + 1 + 1 .... (19 veces) = 19

(te saldrá unas veces 16, otras 23 ... en media 19)


Si en lugar de 1 millón de veces lo haces 1000 millones la media te saldrá del orden de 29 ... porque 2^10 es 1024 (aproximadamente 1000) ... así que multiplicar por 1000 es avanzar 10 en el exponente del 2 y, por tanto, en la media. Al ser 1024 y no 1000 por eso me salió 9 en lugar de 10, 19 en lugar de 20 y 29 en lugar de 30 ... pero las medias 10, 20, 30 serían en realidad más exactas.

Nota1: es posible que en tus ensayos con un millón de veces te salga uno con una media anormalmente alta... podría salir 37, por ejemplo,... sería muy muy muy raro, sí, pero podría ocurrir. (* ver nota siguiente)

Nota2: la aleatoriedad que dan los algoritmos no es real, son algoritmos pseudoaleatorios... así que es posible que nunca nunca nunca te saliesen por ejemplo 21 caras seguidas (2^20 son ) en tu algoritmo, cosa que en la realidad sí puede ocurrir. Esta nota sería contradictoria con la anterior... es decir, en teoría te podría salir una media muy anormalmente alta pero dada la pseudoaletoriedad no te saldrá NUNCA. Lo cual, evidentemente desvirtúa el ensayo teórico del que estamos hablando... el que haces con el ordenador NUNCA te dará premios muy muy altos y por tanto nunca tenderá a infinito la media en los ensayos por ordenador.
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#90   #83 Aún si los valores fueran aleatorios, los ensayos tampoco demostrarían nada porque el resultado sería impredecible y variable. Podría servir como orientación, en algunos casos, pero la única manera válida de demostración seguiría siendo la que usara argumentos matemáticos (probabilidad, teoría de la medida...)

O como diría Dilbert: search.dilbert.com/comic/Random%20Nine :-D

#73 Como me has votado negativo sin haberme argumentado o razonado nada, te lo he devuelto. Eres libre de volver a hacer lo mismo, si te apetece.
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#101   #90 Pues ha sido un error. Pero vaya, el otro comentario que te he votado positivo no te has quejado, ¿eh?. Eso si, corriendo a votarme negativo en dos comentarios sin ni siquiera preguntar el por qué.
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#104   #101 pues si me lo explicas a mí también el de #100 te lo agradezco...
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#105   #101 Mmmm la verdad que me estaba empezando a quemar un poco con el tema y el negativo fue el disparador, siento los negativos puestos. Te los devuelvo como pueda :-(

EDIT: debería haber una forma de retirar votos... o_o
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menéame