Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

#11   #10 Que no, que no, que la suma no tiene resultado finito. Repito que es una media, por lo que tenemos considerar todos los resultados posibles.
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#13   #12 Te agradecería que no me llamaras cabezón, gracias.

Respecto al tema, te comento que no me encierro en nada, simplemente realizo el cálculo de la esperanza de la ganancia. Si yo quiero saber qué ganancia espero obtener, tendré que calcular la esperanza de la ganancia, ¿no? Pues eso.

Tienes una esperanza matemática de menos de 0,01 de conseguir 64 euros

Tienes una esperanza matemática del 0,25 de conseguir 4.

Tienes una esperanza del 0,5 de conseguir 2.


Eso no es "esperanza matemática", sino probabilidad. Estás confundiendo términos.

Te recomiendo que vuelvas a leer mi artículo y te fijes en la definición de esperanza (o que preguntes o la busques en otro sitio si no la entiendes) y vuelvas a analizar todo esto.

Saludos.
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#17   #16 No, la suma tiende a uno por definición (nos ha jodido el Capitaine Obvious), pero el valor tiende a cero.

¿La suma de qué? ¿El valor de qué?

Y si le llamo esperanza a la probabilidad tú ya deberías ver por dónde voy

Derecho al desastre xD
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 *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
#39   #16 Si yo ya estudié estadística, hace veinte años, pero también mates, y cuando llegas a una indeterminación, te has de buscar la vida (L'Hopital, mierdecilias de esas cuando un algoritmo te sale 0/0 o infinito/0)
Que una suma sea infinito es, si acaso, una divergencia, no una indeterminación y por lo tanto no ha lugar aplicar ningún L'Hôpital ni nada. No hay ningún problema con la suma: infinita veces uno es infinito. Es relativamente intuitivo y creo que #gaussianos te lo ha explicado todo bastante bien.
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#44   #16 Empecemos con que aquí lo que hay es una suma de términos que son a su vez producto de un número cada vez más grande con un número cada vez más pequeño:

S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ... (M representa el número grande, m el pequeño y S la suma)

Es decir, los términos Mi·mi tienen como límite ∞·0, y ahí hay que saber qué hacer con ellos, hasta ahí de acuerdo.

Por ejemplo, si los Mi se comportasen como una progresión aritmética (1, 2, 3, 4, 5...) y los mi como una progresión geométrica (½, ¼, ⅛...) se vería que los productos sucesivos Mi·mi tienden a 0. (También se vería que la suma es finita, por cierto.)

Por el contrario, si los Mi tomasen los valores 1, 2, 4, 8... mi y los mi creciesen mucho más lentamente (por ejemplo, si fueran fracciones cuyos numeradores son 1 y cuyos denominadores siguen una progresión aritmética: 1, ½, ⅓, ¼...), estaría claro que los productos sucesivos Mi·mi tienden a infinito (y por tanto que la suma es infinita).

Ahora vamos al grano.

En este caso, los Mi siguen una progresión geométrica de razón 2: M1=2, M2=4, M3=8, M4=16, ..., Mi=2i para cualquier índice natural i (con "natural" me refiero a "perteneciente al conjunto de los números naturales", es decir, 1, 2, 3, 4...). Los Mi representan el dinero ganado si la primera cruz sale en la tirada número i.

Los mi también siguen una progresión geométrica de razón ½: m1=½, m2=¼, m3=⅛, m4=1/16, ..., mi=1/2i, que es igual a 2-i. Los mi representan la probabilidad de que la primera cruz salga en la tirada número i.

La esperanza es igual a la suma de los sucesivos productos de cada una de las ganancias posibles (los Mi) por la probabilidad de obtener esas ganancias (los mi):

S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ...

En este caso, hay infinitos términos: la primera cruz puede salir en la primera tirada, en la segunda, en la 1564ª, etc. No hay límite teórico incluso aunque las sucesivas probabilidades se acerquen más y más a cero.

¿Cuánto vale esa suma?

Si el término general para los Mi es 2i y el término general para los mi es 2-i, el término general para Mi·mi es 2i · 2-i = 2i-i = 20 = 1.

Como la esperanza es una suma de infinitos términos de tipo Mi·mi, es una suma de infinitos unos, y por tanto no está acotada (es infinita).

Vamos, que Gaussianos tiene razón.
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 *   sabbut sabbut
#25   #13 #20 #21 Pero no hace falta hacerse la picha un lio para calcular lo que estaria dispuesto a pagar! ¿¿¿¿Tantas matematicas para que???? Logica!!! Yo estaria dispuesto a jugar 1 centimo, la cantidad maxima para que si al ganar la primera tirada y acierto, gane dinero, y la misma cantidad para que si perdiese, me hiciese perder lo minimo posible.

No es la apuesta mas etica o justa para el beneficio del que te hace el juego, pero como esa incognita no esta en la ecuacion...

Eso si, independientemente de quien lleve la razon en este juego matematico (Hay que ver la pasion que tienen los matematicos por desperdiciar años de su vida en formulas inutiles en el dia a dia... xD ) es que las formas de hayunamoscaenmisopa no son para nada las correctas, independientemente de que lleve razon o no.
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#33   #25 Pongamos que hay una "banca" que ofrece jugar a este juego al mejor postor. Si tu ofreces 1 centimo, viene otro que ofrece 2 y te quedas sin jugar y por rácano pierdes la posibilidad de hacerte con un montón de pasta. La gracia está es si se ofreciera una partida de estas en una subasta de matemáticos con fondos ilimitados ( xD )la puja no terminaría nunca porque siempre valdría la pena ofrecer algo más.

Hay que ver la pasion que tienen los matematicos por desperdiciar años de su vida en formulas inutiles en el dia a dia...

Bueno, es que hay depravados a los que les gusta el tema como un fin en sí mismo, no por la utilidad que pueda tener en el día a día; aunque de hecho muchas veces sí la tenga. ;)
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#14   #12 Grosso modo:

Tienes una esperanza probabilidad del 0,5 de conseguir 2, cosa que aporta 0.5*2=1 a la esperanza.

Tienes una esperanza matemática probabilidad del 0,25 de conseguir 4, cosa que aporta 0,25*4=1 a la esperanza.

Tienes una esperanza matemática probabilidad de menos de 0,01 1/64=~0.156 de conseguir 64 euros, cosa que aporta 64*1/64=1 a la esperanza.

Sumadas todas las aportaciones E=1+1+1+1+.... = infinito.

Lo que suma finito como en la paradoja de Zenón es la suma de todas las probabilidades. En concreto suma 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1, cosa que era bastante de esperar.
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 *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
#15   #14 1/64=~0.156 de conseguir 64 euros,

Ouch 1/64=~.0156
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#26   #21 Te estás equivocando. En #14 está bastante bien explicado la diferencia entre el tema de Aquiles (número de sumandos infinito -que no da infinito-) y este (esperanza infinita -por supuesto, número de sumandos también infinito-).

Dicho esto, yo, si puedo jugar muchas veces, jugaría 10€, porque supondría que antes de la vez 100 conseguiría 10 caras seguidas y ya saldría ganando dinero.
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#31   #26 La probabilidad de sacar 10 caras seguidas es de 1/1024
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#80   #76
Los casos más graciosos son casos como este donde alguien que habla sin saber (estudió algo hace 20 años... y por lo que se ve lo tiene muy olvidado) le llama cabezón ( #12 ) a un experto matemático (con años de experiencia, blog de matemáticas, etc). Y no contento con eso habla de dar collejas ( #21 ) a otro, todos le dicen que está equivocado y él sigue convencido de que todo el mundo está equivocado. Ojo, la cosa no es que esté equivocado por estar en contra de la opinión de la mayoría ni en contra de autoridades en la materia... el problema es que se niega a razonar, en lugar de usar argumentos recurre a insultos ("cabezón") y violencia ("collejas").

"El problema de la humanidad es que los estúpidos están seguros de todo y los inteligentes están llenos de dudas." - Bertrand Russell
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#98   #80 Ah! Perfecto, llamas la atención a uno que insulta a otro (#12, si es que cabezón es un insulto) insultando a través de una cita. Al menos dilo directamente.

Coincido con #12 en que si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).
#84La "Esperanza" es un valor medio de una variable aleatoria, que suele estar definida entre valores concretos para ser de alguna utilidad distinta a la paja mental. La tontería que se plantea en el artículo es tan simple cómo que cualquier número que opere con infinito será absorbido cual peladilla por el monstruo Bu.
#95 En el cálculo estadístico olvídate de demostrar nada. La "Esperanza" no se demuestra, sino al contrario. Es un parámetro, un instrumento para el cálculo estadístico que debes saber interpretar para usarlo o olvidarte de ello.
#96 Si tienes a 1 millón de tíos haciendo cola para jugar, con que hagas pagar más de un euro a cada uno no pierdes, y si haces pagar más de dos te forras seguro (salvo catástrofe, claro).
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#99   #98 si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).

En realidad, para tener la seguridad de no perder puedes pagar dos euros, ya que es el mínimo que vas a ganar en la partida. Pero lo que se plantea no es cuanto hay que pagar para tener la seguridad de no perder, es cuanto hay que pagar para tener una esperanza de ganancia positiva.

Es decir, si pagas por ejemplo tres euros por jugar tienes una probabilidad de 1/2 de perder un euro (si sale cruz a la primera y recibimos 2 euros) y 1/2 de ganar como mínimo un euro (si sale cruz a la segunda y recibimos cuatro euros, o ganar mucho más si sale más tarde). Por lo que podemos considerar que pagar 3 euros por una partida también vale la pena, ya que las posibles ganancias igualan las posibles pérdidas, aunque no tengamos la seguridad de no perder. El caso es que si analizamos el juego desde ese punto de vista para cualquier cantidad que paguemos veremos que jugar "vale la pena", en el sentido de que la esperanza sigue siendo positiva; aunque para valores muy grandes la probabilidad de perder un montón de dinero será muy grande, siempre quedará una pequeña probabilidad de ganar que compensará todas las pérdidas.
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 *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
#103   #98
"Ah! Perfecto, llamas la atención a uno que insulta a otro (#12, si es que cabezón es un insulto) insultando a través de una cita. "

Yo no llamé estúpido a nadie, en todo caso fue Bertrand Russell, aunque tampoco Russell con esa frase insulta a alguien concreto directamente, sólo dijo que hay estúpidos... espero que tú no niegues que hay estúpidos ni el hecho de que son un problema. Nótese que el comentario al que respondo habla de Meneame en general y la cita habla también en general.


"Al menos dilo directamente."
¿por qué quieres que insulte? ¿te gusta promover el insulto? ¿o sólo te apetece ponerme un negativo por insultar? :-P

Negativos y karma aparte, es posible que yo no sepa si alguien es estúpido ni tengo por qué entrar en eso, pero puedo citar una frase a modo de precaución... de forma que nadie esté obligado a darse por aludido. Otro ejemplo: yo puedo decir que consumir una medicina en exceso puede matarte, puedo decirlo a modo de precaución y podría estar salvando la vida de alguien, pero eso es no es lo mismo que decirle a alguien que está consumiendo medicinas en exceso sobre todo si no estoy seguro. Si alguien las podría consumir en exceso le puedo salvar la vida pero si no lo hace no tiene por qué darse por aludido.
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 *   Acido Acido

menéame