En tiempos de smartphones y tabletas, volver un instante al lápiz y al papel debería ser obligatorio. Y más si es para hacer cuentas y recordar al matemático italiano Guido Grandi, quien demostró que sumar y restar unos no es tan fácil. Haz la prueba: ¿cuál es el resultado de la operación 1-1+1-1+1..., así hasta el infinito? La respuesta, si no la recordabas o no la sabías, te sorprenderá.
A mí me parece una chorrada. La manera estándar de definir las sumas infinitas es como el límite de la sucesión de las sumas parciales. Si no existe ese límite (como es el caso, porque el valor siempre oscila entre 0 y 1), entonces no existe la suma, no tiene sentido decir que es igual a esto o a aquello. Haciendo la cosa esa de la media, efectivamente el límite es 1/2, pero no me convence porque me parece un procedimiento un poco ad hoc, ¿por qué hacer eso y no otra cosa? Por ejemplo, establezcamos la siguiente regla: si la sucesión de las sumas parciales es convergente, la suma vale lo que vale el límite; y para cualquier sucesión de sumas parciales no convergentes, decretamos que vale 1/3. Es un procedimiento que contiene al estándar y que arroja como resultado 1-1+1-1+1-1 ... = 1/3.
De acuerdo con #5. Una suma de una serie (infinita) es el límite de las sumas parciales, y las sumas parciales de esta serie no convergen, luego la serie no es convergente, no existe su suma. De hecho esta serie es el ejemplo típico de serie que no converge a ninguna suma que se pone cuando se enseña suma de series numéricas en primeros cursos de ciencias o ingenierías.
#1 Mande? de dónde te has sacado eso? Revísate las matemáticas de secundaria porque tienes el concepto matemático de "límite" un tanto oxidado. Léete a #5 que me ha ahorrado el esfuerzo de escribírtelo para ponerme el esfuerzo de refutarle que eso de que la resolución que da "1/2" es "un poco ad hoc". Realmente no es tan "ad hoc" ni nada parecido, es otra manera de pensar en un proceso de inducción, calculando el límite en el infinito, pero en vez de por la derecha, poniendo un 1 por la izquierda, al principio, puesto que ponerlo al final (repito, infinito) igual se hace... "un poco largo".
#7#10 Me gustaría entonces que alguien me explicara por qué tomar la media de las sumas parciales tiene más sentido que el procedimiento que he dicho yo, porque esto es lo que quiero decir, que no se explica por qué hacer eso no es una chorrada.
#11 Joer, es bastante evidente el por qué. Tú lo de 1/3 te lo sacas del forro de las gónadas, sin aportar ningún tipo de explicación lógica y razonada. Como si dices que vale Pi, e, i... o incluso 42.
El caso es que tienes una función que defines como f(0)= 1 y f(n)=(1)*f(n1). Esto se me acaba de ocurrir a mí "en un flash" pero creo que es correcto. Si tal, verás que se parece un montón, pero que un montón, a la función "factorial". De hecho "sólo" cambia que donde aquí pongo "(-1)", en el factorial se pone "n"... poca cosa...
La cosa viene cuando quieres calcular el valor de f en el infinito. En ocasiones suele funcionar la intuición de que infinito es "un número la hostia de grande", en ocasiones no. A veces puedes ver el resultado inmediatamente, a veces no. Así que ahí tienes los límites, que suelen ayudar (como en el caso de 1/X cuando X->0) a saber si hay solución y, de haberla, cuál. Y en el caso de la función "factorial", sale rapidito que, a medida que aumentas N, el valor de f(N) va a ser N veces más grande que en el paso anterior, ergo tiende a infinito.
Sin embargo aquí no. Y en el vídeo lo que quizás se salta un poco por encima y que estaría bien que explicase, aunque va implícito en cierta manera, es que "infinito" no es un número "la hostia de grande", sino un concepto, una idea no representable en realidad por ningún número (porque pienses en el número que pienses, siempre habrá uno después... excepto que estés programando y te de overflow el tipo de dato... (toma comentario friki)). Pero lo que él explica es, en los casos en que da 0 y que da 1, que el resultado depende de si el N para el que lo estamos calculando es, respectivamente, impar o par (entendemos que 0 es par). Lo explica de otra manera, con lo de coger las sumas entre paréntesis según te convenga, pero es la misma idea.
Y la otra opción, la que da 1/2, viene como consecuencia de dar un paso más allá sobre los dos casos anteriores. Y para esta función da, por así decirlo, la media aritmética de los dos valores posibles, lo cual tiene cierta lógica.
¿Tu propuesta? la tiene también, pero sólo en tu cabeza...
#12 Creo que no nos estamos entendiendo. Entiendo bien lo que es un límite de una sucesión, no hace falta pensar en "evaluar f en el infinito" ni nada parecido, un límite es un límite. Mi solución es algo que yo me saco del forro de las gónadas, claro que sí, pero precisamente por eso: para compararlo con el procedimiento de la media, que también me parece sacado del forro de las gónadas de alguien. Cuando tú dices lo cual tiene cierta lógica, ¿por qué tiene "lógica" hacer eso de la media? Esa es mi pregunta.
#13 Un límite es un límite... siempre y cuando digas para qué función lo estás definiendo y para cuando X se acerque, tienda, a qué valor. Si no se especifica eso, no es límite ni es nada.
Dicho eso, el proceso que da como resultado 1/2 puede parecer, en su origen, como que es una idea feliz que ha tenido alguien (realmente no es así, pero bueno, aceptemos barco), pero está haciendo operaciones matemáticas perfectamente válidas. Si tú tienes una igual, le puedes hacer a ambos lados de la igualdad lo mismo (multiplicarlo por el mismo número, dividirlo por el mismo número, restarle o sumarle lo mismo) que se va a quedar igual.
Y haciendo eso de suponer que la suma total se llama S (que no es tanto suponer, realmente es el valor que estamos buscando), y a 1 restarle lo que tienes a un lado, y luego a 1 restarle lo que tienes al otro, para que quede igual, y sustituir valores... no me parece nada del otro mundo. Que sí, que se te tiene que ocurrir y estar fino (supongo que después de mucho jugar con los "más uno" y los "menos uno"), pero es así como llega a que la suma total es 1/2.
En cuanto a lo de "lo cual tiene cierta lógica", es algo de mi cosecha. Usando un ejemplo parecido al de la luz que enciendes y apagas, en el infinito, si lo interpretamos como "un número la hostia de grande" en vez de como un concepto, hay dos posibilidades, que infinito sea par (y la función da 1) y que infinito sea impar (y la función da 0). Y como la probabilidad de que un número escogido al azar, entre infinitos números, sea par o que sea impar es la misma, es decir, 1/2, sucede que el resultado final es (1/2)*1+(1/2)*0=1/2.
O si nos ponemos en plan pseudo-cuántico (ya para nota esto ), a lo gato de Schrödinger, en el infinito tenemos la superposición de los dos estados posibles: que la suma sea 0 y que la suma sea 1, ambas "con igual probabilidad", así que cuando hayas "abierto la caja" (a.k.a. "calculado el resultado") infinitas veces y hayado la media, te dará 1/2.
Y si nos ponemos físicos, aunque esto ya es una ida de pinza, es como cuando en el colegio te explican el concepto de "centro de gravedad". La primera idea inherente a ello es pensar que dicho centro de gravedad está dentro del cuerpo para el que se lo estás calculando y que, además, hay masa del mismo cuerpo en ese punto. Hasta que te ponen el ejemplo (tonto, tontísimo por otro lado, pero es cuando te quedas pillado) de qué pasa cuando el objeto a medir es un anillo. En este caso el centro de gravedad está en el centro (suponemos un anillo perfectamente simétrico), pero ahí no hay ninguna masa del propio anillo.
Lo sé, esto último no tiene demasiado que ver con el caso que nos ocupa, pero me ha parecido interesante el paralelismo.
#14 No... si X es un espacio topológico y (xn) es una sucesión en X, decimos que x es un límite de la sucesión (xn) si para todo entorno U de x existe un número natural n0 tal que para todo n>=n0, xn está en U. O sea, que un punto x es un límite de la sucesión si en todo abierto que lo contenga están casi todos los términos de la sucesión (todos salvo un número finito). Eso es un límite, no depende de funciones ni nada.
En este caso, x = 1 no es límite de la sucesión de sumas parciales porque si tomas el abierto U = (1/2,3/2), que es un entorno suyo, siempre habrá números naturales n (concretamente, los valores pares) para los que xn = 0, que es un punto no contenido en U. Lo mismo ocurre para el valor x = 0, que tampoco es límite de la sucesión.
Lo de infinito par o impar, siento decirlo porque sé que no tienes mala intención y no quiero sonar borde, pero es descabellado, ahí ya estás diciendo cosas sin sentido.
Por último, reconozco que lo de la interpretación del procedimiento de la media como el cálculo del centro de masa no es totalmente loco, de hecho parece la generalización natural del cálculo del centro de masas a un número infinito de partículas. Ahora bien, que eso sea una generalización de la convergencia de una serie cualquiera sí me parece loco. En cualquier caso, creo que no nos vamos a poner de acuerdo.
ya se envio por aqui lo mismo de otra fuente hace unos meses y se dijo que era un poco chorra porque basicamente pone un 1 de mas porque le da la gana... si es una sucesion infinita no podias acabarla en el uno que a ti te de la gana, tendria que ir siempre en parjeas (1-1) tienen que ser un numero par de 1 no puedes acabarlo como tu quieras para que se quede cojo y te de el resultado que te de la gana
La unica "solución" es considerar infinito par o impar. Si lo consideramos par el resultado es 0 si lo consideramos impar el resultado es 1.
O eso creo modestamente
Comentarios
Un poco cansino el envío una y otra vez de lo mismo.
Es el ejemplo clásico de sucesión que no es incondicionalmente convergente
Mola.
Lo que me pregunto de de donde coño ha sacado el pollo este el papel de estaza y si es que en su universidad ha pasado Mariano recortando.....
A mí me parece una chorrada. La manera estándar de definir las sumas infinitas es como el límite de la sucesión de las sumas parciales. Si no existe ese límite (como es el caso, porque el valor siempre oscila entre 0 y 1), entonces no existe la suma, no tiene sentido decir que es igual a esto o a aquello. Haciendo la cosa esa de la media, efectivamente el límite es 1/2, pero no me convence porque me parece un procedimiento un poco ad hoc, ¿por qué hacer eso y no otra cosa? Por ejemplo, establezcamos la siguiente regla: si la sucesión de las sumas parciales es convergente, la suma vale lo que vale el límite; y para cualquier sucesión de sumas parciales no convergentes, decretamos que vale 1/3. Es un procedimiento que contiene al estándar y que arroja como resultado 1-1+1-1+1-1 ... = 1/3.
De acuerdo con #5. Una suma de una serie (infinita) es el límite de las sumas parciales, y las sumas parciales de esta serie no convergen, luego la serie no es convergente, no existe su suma. De hecho esta serie es el ejemplo típico de serie que no converge a ninguna suma que se pone cuando se enseña suma de series numéricas en primeros cursos de ciencias o ingenierías.
#1 Mande? de dónde te has sacado eso? Revísate las matemáticas de secundaria porque tienes el concepto matemático de "límite" un tanto oxidado. Léete a #5 que me ha ahorrado el esfuerzo de escribírtelo para ponerme el esfuerzo de refutarle que eso de que la resolución que da "1/2" es "un poco ad hoc". Realmente no es tan "ad hoc" ni nada parecido, es otra manera de pensar en un proceso de inducción, calculando el límite en el infinito, pero en vez de por la derecha, poniendo un 1 por la izquierda, al principio, puesto que ponerlo al final (repito, infinito) igual se hace... "un poco largo".
Anda que.
#7 muchas gracias por la aclaracion
#7 #10 Me gustaría entonces que alguien me explicara por qué tomar la media de las sumas parciales tiene más sentido que el procedimiento que he dicho yo, porque esto es lo que quiero decir, que no se explica por qué hacer eso no es una chorrada.
#11 Joer, es bastante evidente el por qué. Tú lo de 1/3 te lo sacas del forro de las gónadas, sin aportar ningún tipo de explicación lógica y razonada. Como si dices que vale Pi, e, i... o incluso 42.
(toma comentario friki)). Pero lo que él explica es, en los casos en que da 0 y que da 1, que el resultado depende de si el N para el que lo estamos calculando es, respectivamente, impar o par (entendemos que 0 es par). Lo explica de otra manera, con lo de coger las sumas entre paréntesis según te convenga, pero es la misma idea.
El caso es que tienes una función que defines como f(0)= 1 y f(n)=(
1)*f(n1). Esto se me acaba de ocurrir a mí "en un flash" pero creo que es correcto. Si tal, verás que se parece un montón, pero que un montón, a la función "factorial". De hecho "sólo" cambia que donde aquí pongo "(-1)", en el factorial se pone "n"... poca cosa...La cosa viene cuando quieres calcular el valor de f en el infinito. En ocasiones suele funcionar la intuición de que infinito es "un número la hostia de grande", en ocasiones no. A veces puedes ver el resultado inmediatamente, a veces no. Así que ahí tienes los límites, que suelen ayudar (como en el caso de 1/X cuando X->0) a saber si hay solución y, de haberla, cuál. Y en el caso de la función "factorial", sale rapidito que, a medida que aumentas N, el valor de f(N) va a ser N veces más grande que en el paso anterior, ergo tiende a infinito.
Sin embargo aquí no. Y en el vídeo lo que quizás se salta un poco por encima y que estaría bien que explicase, aunque va implícito en cierta manera, es que "infinito" no es un número "la hostia de grande", sino un concepto, una idea no representable en realidad por ningún número (porque pienses en el número que pienses, siempre habrá uno después... excepto que estés programando y te de overflow el tipo de dato...
Y la otra opción, la que da 1/2, viene como consecuencia de dar un paso más allá sobre los dos casos anteriores. Y para esta función da, por así decirlo, la media aritmética de los dos valores posibles, lo cual tiene cierta lógica.
¿Tu propuesta? la tiene también, pero sólo en tu cabeza...
#12 Creo que no nos estamos entendiendo. Entiendo bien lo que es un límite de una sucesión, no hace falta pensar en "evaluar f en el infinito" ni nada parecido, un límite es un límite. Mi solución es algo que yo me saco del forro de las gónadas, claro que sí, pero precisamente por eso: para compararlo con el procedimiento de la media, que también me parece sacado del forro de las gónadas de alguien. Cuando tú dices lo cual tiene cierta lógica, ¿por qué tiene "lógica" hacer eso de la media? Esa es mi pregunta.
#13 Un límite es un límite... siempre y cuando digas para qué función lo estás definiendo y para cuando X se acerque, tienda, a qué valor. Si no se especifica eso, no es límite ni es nada.
), a lo gato de Schrödinger, en el infinito tenemos la superposición de los dos estados posibles: que la suma sea 0 y que la suma sea 1, ambas "con igual probabilidad", así que cuando hayas "abierto la caja" (a.k.a. "calculado el resultado") infinitas veces y hayado la media, te dará 1/2.
Dicho eso, el proceso que da como resultado 1/2 puede parecer, en su origen, como que es una idea feliz que ha tenido alguien (realmente no es así, pero bueno, aceptemos barco), pero está haciendo operaciones matemáticas perfectamente válidas. Si tú tienes una igual, le puedes hacer a ambos lados de la igualdad lo mismo (multiplicarlo por el mismo número, dividirlo por el mismo número, restarle o sumarle lo mismo) que se va a quedar igual.
Y haciendo eso de suponer que la suma total se llama S (que no es tanto suponer, realmente es el valor que estamos buscando), y a 1 restarle lo que tienes a un lado, y luego a 1 restarle lo que tienes al otro, para que quede igual, y sustituir valores... no me parece nada del otro mundo. Que sí, que se te tiene que ocurrir y estar fino (supongo que después de mucho jugar con los "más uno" y los "menos uno"), pero es así como llega a que la suma total es 1/2.
En cuanto a lo de "lo cual tiene cierta lógica", es algo de mi cosecha. Usando un ejemplo parecido al de la luz que enciendes y apagas, en el infinito, si lo interpretamos como "un número la hostia de grande" en vez de como un concepto, hay dos posibilidades, que infinito sea par (y la función da 1) y que infinito sea impar (y la función da 0). Y como la probabilidad de que un número escogido al azar, entre infinitos números, sea par o que sea impar es la misma, es decir, 1/2, sucede que el resultado final es (1/2)*1+(1/2)*0=1/2.
O si nos ponemos en plan pseudo-cuántico (ya para nota esto
Y si nos ponemos físicos, aunque esto ya es una ida de pinza, es como cuando en el colegio te explican el concepto de "centro de gravedad". La primera idea inherente a ello es pensar que dicho centro de gravedad está dentro del cuerpo para el que se lo estás calculando y que, además, hay masa del mismo cuerpo en ese punto. Hasta que te ponen el ejemplo (tonto, tontísimo por otro lado, pero es cuando te quedas pillado) de qué pasa cuando el objeto a medir es un anillo. En este caso el centro de gravedad está en el centro (suponemos un anillo perfectamente simétrico), pero ahí no hay ninguna masa del propio anillo.
Lo sé, esto último no tiene demasiado que ver con el caso que nos ocupa, pero me ha parecido interesante el paralelismo.
#14 No... si X es un espacio topológico y (xn) es una sucesión en X, decimos que x es un límite de la sucesión (xn) si para todo entorno U de x existe un número natural n0 tal que para todo n>=n0, xn está en U. O sea, que un punto x es un límite de la sucesión si en todo abierto que lo contenga están casi todos los términos de la sucesión (todos salvo un número finito). Eso es un límite, no depende de funciones ni nada.
En este caso, x = 1 no es límite de la sucesión de sumas parciales porque si tomas el abierto U = (1/2,3/2), que es un entorno suyo, siempre habrá números naturales n (concretamente, los valores pares) para los que xn = 0, que es un punto no contenido en U. Lo mismo ocurre para el valor x = 0, que tampoco es límite de la sucesión.
Lo de infinito par o impar, siento decirlo porque sé que no tienes mala intención y no quiero sonar borde, pero es descabellado, ahí ya estás diciendo cosas sin sentido.
Por último, reconozco que lo de la interpretación del procedimiento de la media como el cálculo del centro de masa no es totalmente loco, de hecho parece la generalización natural del cálculo del centro de masas a un número infinito de partículas. Ahora bien, que eso sea una generalización de la convergencia de una serie cualquiera sí me parece loco. En cualquier caso, creo que no nos vamos a poner de acuerdo.
#15 Carmiña, lo dejo.
#5 Como dices no vale reordenar terminos en el caso de que la sucesion no sea convergente, asi que la suma no existe.
Pero por otro lado si existe:
http://es.wikipedia.org/wiki/Sumaci%C3%B3n_de_Ces%C3%A0ro
ya se envio por aqui lo mismo de otra fuente hace unos meses y se dijo que era un poco chorra porque basicamente pone un 1 de mas porque le da la gana... si es una sucesion infinita no podias acabarla en el uno que a ti te de la gana, tendria que ir siempre en parjeas (1-1) tienen que ser un numero par de 1 no puedes acabarlo como tu quieras para que se quede cojo y te de el resultado que te de la gana
Tanto como horas pensando...
La unica "solución" es considerar infinito par o impar. Si lo consideramos par el resultado es 0 si lo consideramos impar el resultado es 1.
O eso creo modestamente