Muchos habréis oído hablar de la serie armónica, es una series mas usadas a la hora de hablar de tendencia a 0. Para aquellos que no la conozcáis, la serie armónica es se resume como 1/n donde n un número natural. Es fácil ver que esta serie tiende a 0 cuando n toma valores muy grandes, aunque el 0 no pertenece a la serie. Pero ¿Qué ocurre si sumamos todos los términos de esta serie?
Una "consecuencia" interesante de que la serie armónica tienda a infinito es que apilando libros en el borde de una mesa puedes alcanzar cualquier distancia horizontal por grande que sea. Eso sí, es posible que necesites muchos libros.
Hay un cuento muy bonito relacionado con la seria armónica.
A un pintor le dieron una pieza para que la pintara. La pieza era la superficie entre la función f(x) = 1/x y el eje de abcisas, entre x = 1 e infinito.
El pintor, para saber la pintura que necesitaría calculó el área A de la figura con la siguiente integral:
A = \int_^ 1/x dx
Y eso es infinito
Como el pintor tenía iniciativa se le ocurrió construir un recipiente que tendría la forma de una figura de revolución al hacer girar la función 1/x entorno al eje de abcisas.
En este caso el volumen de esta figura viene dado por la integral:
V = \int_^ \pi ( 1/x )^2 dx
Curiosamente este volumen sale finito por lo que el pintor solo tuvo que rellenarlo de pintura y meter la figura a pintar en el.
Me parece una explicación trivial. Si la serie tiene un número infinito de elementos, la suma tenderá a infinito. No hay que hacer grandes demostraciones algebraicas para darse cuenta...
#1, no es cierto que la suma de una serie tenga que ser necesariamente infinito, a pesar de tener infinitos términos.
Si coges la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^n + ..., esta serie tiene límite finito (2, de hecho). La suma de los n primeros términos es 2 - 1/2^n, que tiende a 2.
#3, hablamos de 1/n, pero en el comentario #1 decías que sumaba infinito debido a que tiene un número infinito de elementos (Si la serie tiene un número infinito de elementos, la suma tenderá a infinito). Es cierto que la suma de 1/n da infinito, pero no es cierto que sea tan solo por la razón trivial de tener un número infinito de terminos, porque hay series (por ejemplo, la de 1/2^n) con infinitos términos, pero en las que el resultado de la suma es finito.
No hay que hacer grandes demostraciones algebraicas para darse cuenta... Si no caes en el truco de agrupar es bastante difícil de demostrar*. Esta serie además tiene utilidad al definir y estudiar el logaritmo neperiano.
ln(x) = integral entre 1 y x de 1/t. Hay varias aproximaciones del logaritmo, pero una evidente es aproximarlo por la suma de los [x] primeros términos de la serie armónica.
* Utilizando el criterio integral sí es casi trivial, pero hay que demostrar entonces previamente que ln(x) -> inf cuando x -> inf.
Comentarios
¿No menciona la Constante de Euler-Mascheroni en un artículo sobre la serie armónica?
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
sorprendente
Yo me quedé en la serie armónica musical.
Una "consecuencia" interesante de que la serie armónica tienda a infinito es que apilando libros en el borde de una mesa puedes alcanzar cualquier distancia horizontal por grande que sea. Eso sí, es posible que necesites muchos libros.
http://mathworld.wolfram.com/BookStackingProblem.html
#6 La serie de la que habla la noticia...
Hay un cuento muy bonito relacionado con la seria armónica.
A un pintor le dieron una pieza para que la pintara. La pieza era la superficie entre la función f(x) = 1/x y el eje de abcisas, entre x = 1 e infinito.
El pintor, para saber la pintura que necesitaría calculó el área A de la figura con la siguiente integral:
A = \int_^ 1/x dx
Y eso es infinito
Como el pintor tenía iniciativa se le ocurrió construir un recipiente que tendría la forma de una figura de revolución al hacer girar la función 1/x entorno al eje de abcisas.
En este caso el volumen de esta figura viene dado por la integral:
V = \int_^ \pi ( 1/x )^2 dx
Curiosamente este volumen sale finito por lo que el pintor solo tuvo que rellenarlo de pintura y meter la figura a pintar en el.
Me parece una explicación trivial. Si la serie tiene un número infinito de elementos, la suma tenderá a infinito. No hay que hacer grandes demostraciones algebraicas para darse cuenta...
#1, no es cierto que la suma de una serie tenga que ser necesariamente infinito, a pesar de tener infinitos términos.
Si coges la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^n + ..., esta serie tiene límite finito (2, de hecho). La suma de los n primeros términos es 2 - 1/2^n, que tiende a 2.
#2 Pero hablamos de 1/n...
#3 "Si la serie tiene un número infinito de elementos, la suma tenderá a infinito"
#3, hablamos de 1/n, pero en el comentario #1 decías que sumaba infinito debido a que tiene un número infinito de elementos (Si la serie tiene un número infinito de elementos, la suma tenderá a infinito). Es cierto que la suma de 1/n da infinito, pero no es cierto que sea tan solo por la razón trivial de tener un número infinito de terminos, porque hay series (por ejemplo, la de 1/2^n) con infinitos términos, pero en las que el resultado de la suma es finito.
No hay que hacer grandes demostraciones algebraicas para darse cuenta... Si no caes en el truco de agrupar es bastante difícil de demostrar*. Esta serie además tiene utilidad al definir y estudiar el logaritmo neperiano.
ln(x) = integral entre 1 y x de 1/t. Hay varias aproximaciones del logaritmo, pero una evidente es aproximarlo por la suma de los [x] primeros términos de la serie armónica.
* Utilizando el criterio integral sí es casi trivial, pero hay que demostrar entonces previamente que ln(x) -> inf cuando x -> inf.