Leí que la solución matématica a a la paradoja de la tortuga de ¿Zenon puede ser, que no recuerdo? era que 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32.... es igual a 1
¿El infinito como número podría pues equivaler a 1?
Y de paso, ¿se puede considerar matemáticamente el infinito (no se donde tiene el simbolo el teclado) un número?
Repamponos, que dificil es vivir
Comentarios
#0
El infinito es un problema sobre el que se ha trabajado muchísimo, principalmente un tal Georg Cantor que descubrió que aunque muchos infinitos son iguales entre sí en cardinal, los hay que son diferentes en cardinal. La lió bastante parda.
Pero el "infinito" que tú propones no lo es. Es la suma de infinitos términos, pero que acaban siendo infinitamente pequeños, es, en términos más técnicos, un límite cuando n tiende a infinito de la suma de 1/2+1/4+1/8+...+1/2n, suma que nunca supera el 1.
si llamo a eso
S=1/2+1/4+1/8+...+1/2n
tendré que
S/2=1/4+1/8+1/16+...+1/2n+1
Restando ambas ecuaciones término a término
S-S/2=(1/2+1/4+1/8+...+1/2n)-(1/4+1/8+1/16+...+1/2n+1)
Así que S/2=1/2-1/2n+1
S=1-1/2n
Y cuano n es grande ese sustraendo se hace tan pequeño como yo quiera.
#1 O sea, que 3.13131313131313131 no es iguqal a 8,32323232323232323232... i son infinitos distintos
Alargo del numero porque no se poner el arco ese que va por la parte de parriba
En todo caso, ambos se representarian como un circulo ¿no?
En efecto , aunque me parece un poco raro usando la logica (aunque mas ilogico es que no alcance a la malvada tortuga), pero tendra que ser así , porque a primera vista , si a una cantidad cualesquiera aun representada en fracciones le restas el equivalente, este seria 0, en vez de 1. Supongo que así se consigue el acertadamente el 1 y estmos seguros que se alcanza, pero aun estoy liado, lo ire analizando porque no veo la razon de añadirle un +1 a n
Pero voy a leer lo de geog cantor, que suma con amor
#2 3,13131313.... no es infinito, es un número racional finito, su expansión decimal es infinita, periódica de hecho, por eso digo que es racional. Es un número metido entre el 3 y el 4, no infinito. El número de cifras decimales de los números que das es el mismo, pero el número está bien acotado, es finito, y ambos son distintos.
La cosa de contar infinitos se hace con conjuntos, no con cifras de un número.
#3 Entonce pi esta entre el 3 y el 4
Jo, no me digas que aunque se les llame racional o irracionales, los periodicos no involucran un caco de cojones
Voy a ver si empiezo con el cantor por que qa mi parecer los infinitos deben o deberian ser iguales en valor aunque se representen de distinta forma...
Es que a mi eso de los conjuntos me raya un poco, te explicaria algo que lei de bertrand rusell no se donde, pero seria, con mis palabras incapaz de describirlo aqui, como matematica igual te suena... recuerdo que la cosa iba de unos cuadros usados como simil
Pero vamos, creo que si se podria reconocer con o sin conjuntos un numero infinito o al menos de infinitas cifras
#4 Para mí son más sorprendentes los no periódicos, que no son racionales, y que solo por su expansión decimal no sea posible distinguir los algebraicos de los trascendentes, pero vamos, que esto que cuento es un jardín.
Y lo de la paradoja de Russell, claro que lo conozco, es fundamental en el desarrollo de todo esto, junto con Frege
#5 Crees que se podria demostrar que pi no acabaria siendo a la larga periodico o esta demostrado? es de suponer que no debiera serlo
A mi lo de los periodicos me mola, pues entiendo que a pesar entre uno y otro, no podrias en siguiendo una linea pasar al siguiente en vaor, pues ese valor supuestamente no acabaria nunca a pesar de estar comprendido entre un racional y otro...
Aunque lo que cuentas no es un jardín, en los jardines hay petunias, en un jardin nunca sembraria un ocho, mas que nada porque no germinan, y un matematico pareceria un espantagorgojos
No se porque con lo de rusell me acabo de acordar de los fractales, creo que un fractal seria un conjunto equivalente dentro de otro conjunto mas grande y así continuamente, ergo pues, no se si se puede havblar de subconjuntos o de un todo...
#6 Está demostradísimo. No solo que es irracional y portanto no periódico, sino que es trascendente.
#7 Yo lo supongo nada mas, usando la logica o mejor, la intuicion,para que las cosas cuadren pero en cuanto a eso, tengo que informarme, es una cosa que nunca consulte y alguna vez y alguna vezme dio la curiosidad.
Otra cosa pendiente por empollar un poco.
De todas formas, como soy vaguete, si me lo explicas, aunque sea con un enlace.... me gustaria saber el desarrollo, tiene que ser curiosa la demostracion :9 (si llego a entenderla, que primero tendria que estudiarla)
Los perodicos se representarian como un circulo o mas bien como una espiral en un sistema de coordenadas de cruz, ahora que lo estoy pensando? Tiendo a pensar que como un circulo en especial uno que fuera por ejemplo 3,1313131313 sin otras cifras, pero tal vez sea mas adecuada una espiral, devberia coger papel y boli y mirar a ver que pasa
Es que con estas cosas me pasa un poco como con lo de la temperatura de planck
#8
La irracionalidad es medio fácil
https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_de_la_irracionalidad_de_%CF%80
Para ver que es trascendente es más difícil y las herramientas que se necesitan son más avanzadas
https://www.gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente/
#9 Gracias chica, se agradecen estos aportes, se que mucho de lo que te he preguntado podría mirarlo por ahi, pero en una conversacion se aprende mas, mejor y es mas entretenido, aparte de poner aclarar dudas o creartelas mayores...
Y es agradable disertar pues así no resulta tan farragoso y es divertido. Incluso aunque quede como paleto, pero eso me la sopla, quien no pregunta no aprende, y si lo dejo pa otro rato, igual lo olvido y no lo consulto
De momento voy a leer lo que encuentre de cantor aparte de estos enlaces, me ha picado la curiosidad y si no lo sacas o sacamos, tal vez nunca se me habria ocurrido, suele estar lejos de las preocupaciones comunes de todo se aprende
Otra pregunta ¿si pi es transcendente alcanzará el reino de los cielos?
#10 En teología no me meto, matemáticas ya es de sobra.
#11 Jo, pues si demuestras la existencia o no existencia de dios, te ibas a hacer famosa y ganar el premio abel...
Aunque me temo, que expusieras lo que expusieras, la gente no cambiaria de opinion
#9 Por cierto, que molas, yo aparte de haber echo la basica, tuve unos maestros ceporros que no me motivaban gran cosa, cuando entro alguien competente y empece a sacar sobresalientes en esto es cusndo ya me tuve que poner a trabajar. Y en esa corta epoca llegaron a interesarme mucho, luego lo deje, olvide casi todo y el resto que he aprendido y recuperado despues a sido en plan autodidacta, y mas bien poco, para lo que me gustaría...
En fin, no seré matematico, ni fisico, ni astronomo ni bombero, pero bueno, cuando pienso que me tal vez me hubiera gustado, aunque no me disguste la vida que he llegado en el tema, me digo "por lo menos he follado" y eso me consuela mas que el haberlo aprendido
No hay vida mala si la sabes vivir. Es una reflexion filosofica ahora que me estoy autoanalizando
#12 Creo que lo importante de verdad es ser feliz, pero que los docentes tenemos cierta responsabilidad en ello.
#12 En realidad si te metes no es tan complicado... lo importante es la motivación, y perderle un poco el miedo. Yo uso una aproximación intuitiva a las matemáticas, y a pesar de ser una de mis asignaturas favoritas la dejé por culpa de que se me da fatal la aproximación formal.
Aún así... solo requiere un poco más de esfuerzo. Por analogía es como la gente con dislexia... "se puede", pero cuesta. Lo importante no es la expresión formal sino "el concepto" subyacente. Esa expresiones complicadas solo intentan reflejar "una idea" en un protocolo standar asumido por toda la comunidad. En realidad el matemático que las escribió tenía un concepto muy diferente en la cabeza. Yo me centro en comprenderles, ver sus frustraciones y limitaciones a la hora de expresar lo que querían expresar, y luego entiendes mejor el lenguaje formal, para inmediatamente olvidarlo porque en realidad, el concepto es más sencillo de manejar.
Primero "lo lees", sufres... luego"lo entiendes" y luego te lo pasas por el forro y aplicas tu propia comprensión. Las biografías aportan datos útiles muchas veces.
Para darte un ejemplo: hace un tiempo, como uso un sistema muy poco formal, tuve una duda... estuve un tiempo un tiempo con ella, pero sin querer, curioseando, descubrí que era un teorema viejo y ya más que demostrado. "Llegue" a la misma idea, util para mi problema. No sabía si era "legal" decirlo... , pero al descubrir el teorema, ya me quité el peso de encima.
Las matemáticas son cojonudas para el dia a dia, y una fuente de herramientas bestial. Solo saber un poquito de estadística ya te inmuniza contra mucho cuñado con chaqueta y sin corbata.
#17 Ahora que si lleva corbata........
#24 Los detalles lo son todo.
#4 Antes que con el infinito que es algo bastante complicado de entender BIEN (te aconsejo que leas sobre el hotel de Hilbert) creo que te faltan unas clases sobre tipos de números.
#28 bueno, pero el infinito es finito o no?
Me pregunto
#2 Yo que no tengo ni idea descubrí este blog, muy interesante con ejemplos muy "faciles" sobre el concepto de infinito
https://eltamiz.com/alienigenas-matematicos/
Creo que a #1 ya se lo comenté
#2 Los números con decimales periódicos significa que son resultado de una fracción. O sea, que son números del conjunto Q de los números racionales.
Lo que tu planteas es la suma de sucesión, que se llama serie. Hay series que son convergentes, como la que propones, que significa que, aunque haya infinitos términos, la suma es finita.
También hay series divergentes, es decir, en que la suma es infinita.
En mis tiempos esto eran matematicas de 2º de BUP.
#1 Cuando n es grande se va a 1, que es el límite de la suma anterior.
#0 Es el motivo por el que se llaman numeros racionales, porque son contraintuitivos. Si divides una tortilla en tres porciones iguales, son tres objetos con un arco de circunferencia finito, pero matemáticamente tienen una longitud que se expresa con infinitos decimales.
Esa formula viene a decir que si coges la tortilla y la partes por la mitad, y una mitad en la mitad, y esa mitad en la mitad, y así sucesivamente hasta el infinito, la suma de todos los trozos nunca podrá sumar mas de una tortilla completa.
El dilema de Zenon (famoso por afirmar erróneamente que el movimiento no existe) dice que si dividimos un paso en infinitos tramos, la longitud del tramo tiende a cero, y que tras sumar todos los infinitesimales seria una suma de infinitos ceros, por tanto cero. Por supuesto estaba totalmente equivocado, porque en realidad seria una suma de limites tendiendo a cero. De ahí viene la famosa contestación de Diogenes que dando un paso hacia la puerta demostró que "El movimiento se demuestra andando".
#15 El hecho de que la expresión decimal de un número racional sea infinita o no depende de la base de numeración escogida. Eso sí, en los irracionales siempre es infinita y no periódica.
#15 se llaman numeros racionales, porque son contraintuitivos
¿En serio? Yo creía que se llamaban racionales porque derivan de una "ratio" o "razón". A lo mejor #16 nos lo puede aclarar porque, la verdad, la explicación que tú das despierta mis dudas.
#19 Tienes toda la razón. Y su signo es una Q por la palabra "cociente" en muchas lenguas.
En cualquier caso son aceptados como números en estados muy tempranos de las matemáticas (antiguo Egipto y Mesopotamia) a diferencia de los negativos, que llegaron al renacimiento aún apestados, así que tan contraintuitivos no deben ser. Incluso la expansión en forma sexagesimal (no decimal) es sumeria, nada nuevo.
#0, para añadirte para pensar
1/1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+...=(pi^2)/6
(la suma de los inversos de los cuadrados)
o
1/1+1/2+1/3+1/4h1/5+1/6+1/7+1/8+...=infinito.
Hay infinitos mayores que otros. El conjunto N de los numeros naturales es infinito, ya que siempre se puede añadir una unidad. Este infinito se designa por Alpeh 0 ( ℵ superíndice 0). Los conjuntos de los números enteros Z y racionales Q, aunque a primera vista pueda parecer anti-intuitivo, tienen el mismo número de elementos, ya que se puede establecer una relación biyectiva entre ellos (demostrado por George Cantor mediante su brillante argumento diagonal). Hipotéticamente se podría elaborar una lista de todos los elementos de dichos conjuntos, o mejor dicho, ya que la oración anterior es falsa, se podría establecer un criterio para elaborar dicha lista. Estos tres conjuntos comparten el mismo cardinal (el mencionado ℵ^0), pero entre dos números naturales, enteros o racionales cualesquiera (por ejemplo "k" y "k+1") existen a su vez infinitos números. Éste es el conjunto R de los números reales, y su cardinal es Aleph 1 (ℵ^1). No es posible establecer un criterio para elaborar una lista de los números reales, como también demostró Cantor, ya que por un mero acto de sustitución ordenada de decimales siempre es posible generar un nuevo número. Así se estableció la fértil e inesperada diferenciación entre infinitos contables e infinitos no contables. Respecto a la paradoja de Zenón, no fueron las series convergentes las que la resolvieron, ni mucho menos, ya que la convergencia no deja de ser una especie de acuerdo tácito entre matemáticos, sino que fue la "digitalización" del Universo llevada a cabo por Max Planck la que la disipó, al establecer unidades mínimas de espacio y de tiempo, aniquilando así la concepción continua de aquellos que imperaba hasta entonces. Aparentemente la Realidad es discreta, lo cual nunca ha dejado de ser evidente, ya que si fuese continua sería infinita, y, al ser infinita, estaría todo lleno, y viviríamos en la perfecta y compacta esfera Parmenídea en la que, de hecho, vivimos.
#18 –Aúpa, Patxi. Oye, ¿qué te daba la ecuación?
–Infinito.
–¿Sólo?