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gaussianos.com/este-juego-tiene-ganancia-esperada-infinit... 
Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar? Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita? Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito: menéame
#4 La cantidad inicial no la pone el jugador, sino quien ofrece el juego. La pregunta es cuánto dinero pagarías al principio por jugar. Si te ofrezco en juego por 10000€, ¿jugarías? ¿Y por 1000? ¿Cuánto será, por decirlo de alguna forma, tu máximo?
#5 Estamos calculando la ganancia esperada, la ganancia media. La esperanza es una media, por eso hay que tener en cuenta todos los casos posibles: que salga cruz por primera vez en la primera tirada, que salga en la segunda, o en la tercera, etc.
Si tenéis más dudas no tenéis más que preguntar
Respecto al tema, te comento que no me encierro en nada, simplemente realizo el cálculo de la esperanza de la ganancia. Si yo quiero saber qué ganancia espero obtener, tendré que calcular la esperanza de la ganancia, ¿no? Pues eso.
Tienes una esperanza matemática de menos de 0,01 de conseguir 64 euros
Tienes una esperanza matemática del 0,25 de conseguir 4.
Tienes una esperanza del 0,5 de conseguir 2.
Eso no es "esperanza matemática", sino probabilidad. Estás confundiendo términos.
Te recomiendo que vuelvas a leer mi artículo y te fijes en la definición de esperanza (o que preguntes o la busques en otro sitio si no la entiendes) y vuelvas a analizar todo esto.
Saludos.
pastebin.com/7z88EHXr
Después de ejecutar el script 10 veces, he obtenido las siguientes medias:
18.650978
10.333214
8.383532
12.136228
9.562446
10.084366
17.017284
10.153694
9.43742
11.296562
Sacad vuestras propias conclusiones pero yo de aquí deduzco que sería razonable pagar 8 euros por jugar. Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug
Échale otro vistazo y lo verás
Hay que ver la pasion que tienen los matematicos por desperdiciar años de su vida en formulas inutiles en el dia a dia...
Bueno, es que hay depravados a los que les gusta el tema como un fin en sí mismo, no por la utilidad que pueda tener en el día a día; aunque de hecho muchas veces sí la tenga.
Tienes una
esperanzaprobabilidad del 0,5 de conseguir 2, cosa que aporta 0.5*2=1 a la esperanza.Tienes una
esperanza matemáticaprobabilidad del 0,25 de conseguir 4, cosa que aporta 0,25*4=1 a la esperanza.Tienes una
esperanza matemáticaprobabilidad demenos de 0,011/64=~0.156 de conseguir 64 euros, cosa que aporta 64*1/64=1 a la esperanza.Sumadas todas las aportaciones E=1+1+1+1+.... = infinito.
Lo que suma finito como en la paradoja de Zenón es la suma de todas las probabilidades. En concreto suma 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1, cosa que era bastante de esperar.
No he podido evitar recordar el famoso diálogo:
- Señorita, ¿se acostaría usted conmigo por un millón de dólares?
- Por supuesto.
- ¿Y por un dólar?
- ¿Qué se cree usted que soy?
- Eso ya ha quedado claro, ahora estamos negociando el precio.
(G. Marx)
Después de varios intentos, sólo he conseguido 3 cruces seguidas. Estaría dispuesto a apostar la mitad de esta coincidencia: 4 euros.
¿Cuánto estaría dispuesto a gastarme?
Para empezar me puse en plan Mr Scrooge (tan habitual por estas fechas) y me dije 2€ así no pierdo nunca, como mínimo no gano nada.
Después pensé arriesgarme, que demonios es un juego, así que pensé que lo lógico sería apostar 4€ ya que tengo un 50% de posibilidades de recuperar mi inversión y a partir de ahí todo serían ganancias... Pero claro con un poco de buena suerte se gana un pastón por solamente 4€
Así que me dije, en la Lotería de Navidad se tiene una posibilidad muy mínima de ganar y aún así juego... Pero claro que si apuesto hasta la misma posibilidad que tengo en la lotería de Navidad me gastó un pastón y no es plan.
Por lo que he llegado a la conclusión de Bernoulli ¿cuánto dinero no me importaría perder con la posibilidad, remota, a cambio de hacerme rico... supongo que unos 50€ por probar una vez.
Pero he pensado el problema de otra forma.... ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a que fuese la cantidad para jugar si fuese yo el que hiciese el juego? 50€ parece una cifra razonable, pero si tengo mala suerte me despluman por solamente 50€, tendría que realizarlo muchas veces para recuperar el dinero y cuantas más lo realizase más posibilidades de que me volvieran a desplumar, así que lo mejor sería una cifra más alta, pero si pido mucho más nadie estaría dispuesto a apostar ¿estaríais dispuestos a proponer el juego? ¿A qué precio?
En otro orden de cosas, hace unos días he descubierto un juego tonto pero interesante, y para ser legal he de decir: He perdido el juego.
S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ... (M representa el número grande, m el pequeño y S la suma)
Es decir, los términos Mi·mi tienen como límite ∞·0, y ahí hay que saber qué hacer con ellos, hasta ahí de acuerdo.
Por ejemplo, si los Mi se comportasen como una progresión aritmética (1, 2, 3, 4, 5...) y los mi como una progresión geométrica (½, ¼, ⅛...) se vería que los productos sucesivos Mi·mi tienden a 0. (También se vería que la suma es finita, por cierto.)
Por el contrario, si los Mi tomasen los valores 1, 2, 4, 8... mi y los mi creciesen mucho más lentamente (por ejemplo, si fueran fracciones cuyos numeradores son 1 y cuyos denominadores siguen una progresión aritmética: 1, ½, ⅓, ¼...), estaría claro que los productos sucesivos Mi·mi tienden a infinito (y por tanto que la suma es infinita).
Ahora vamos al grano.
En este caso, los Mi siguen una progresión geométrica de razón 2: M1=2, M2=4, M3=8, M4=16, ..., Mi=2i para cualquier índice natural i (con "natural" me refiero a "perteneciente al conjunto de los números naturales", es decir, 1, 2, 3, 4...). Los Mi representan el dinero ganado si la primera cruz sale en la tirada número i.
Los mi también siguen una progresión geométrica de razón ½: m1=½, m2=¼, m3=⅛, m4=1/16, ..., mi=1/2i, que es igual a 2-i. Los mi representan la probabilidad de que la primera cruz salga en la tirada número i.
La esperanza es igual a la suma de los sucesivos productos de cada una de las ganancias posibles (los Mi) por la probabilidad de obtener esas ganancias (los mi):
S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ...
En este caso, hay infinitos términos: la primera cruz puede salir en la primera tirada, en la segunda, en la 1564ª, etc. No hay límite teórico incluso aunque las sucesivas probabilidades se acerquen más y más a cero.
¿Cuánto vale esa suma?
Si el término general para los Mi es 2i y el término general para los mi es 2-i, el término general para Mi·mi es 2i · 2-i = 2i-i = 20 = 1.
Como la esperanza es una suma de infinitos términos de tipo Mi·mi, es una suma de infinitos unos, y por tanto no está acotada (es infinita).
Vamos, que Gaussianos tiene razón.
Con un millón de iteraciones...
hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
...
unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
...
unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)
Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...
Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.
Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.
Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.
Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
Me recuerda al método Martingala, que igualmente tiene probabioiad 1 de exito en el infinito.
es.wikipedia.org/wiki/Martingala
Dicho esto, yo, si puedo jugar muchas veces, jugaría 10€, porque supondría que antes de la vez 100 conseguiría 10 caras seguidas y ya saldría ganando dinero.
Creo que de manera teorico matematica tienes ganancia infinita. Sobre la practica es arriesgado o por lo menos irrealizable.
Disculpad la ortografia, estoy desde un.movil.
¿La suma de qué? ¿El valor de qué?
Y si le llamo esperanza a la probabilidad tú ya deberías ver por dónde voy
Derecho al desastre
¿Jugaríamos a un juego en donde la probabilidad de ganar es muy alta, pero en caso de perder serían perdidas infinitas? Digo que esto es más real porque tiene mucho que ver con la medida de riesto VaR (Value ar risk, valor de riesgo). Se trata de que en principio al realizar inversiones fuertes, se estudiaba la probabilidad de que la inversión diera perdidas. Y se pueden realizar muy buenos estudios donde se puede decir con 95% 97% o hasta 99% que un negocio no generará perdidas.
El problema es que esto solo asegura que la probabilidad de que una inversión de pérdidas es pequeña, pero no nos dice nada de cuanto perderemos. Esto en su momento provocó una crisis financiera. Y ahí es donde entra en juego el VaR, que pretende hacer una estimación teniendo en cuenta las posibles perdidas (en el remoto caso de que se den)
Me parece que este enfoque "inverso" es mucho más práctico que el típico de la ganancia infinita.
PS: Por cierto, respecto a este artículo, la relación viene de que es improbable ganar más de lo que apuestas, sobre todo si para participar pagas mucho. Pero existe una remota posibilidad de que ganes muchas veces más de lo que apuestas, y hasta que sea más de lo que hayas apostado en todas las veces anteriores.
Que una suma sea infinito es, si acaso, una divergencia, no una indeterminación y por lo tanto no ha lugar aplicar ningún L'Hôpital ni nada. No hay ningún problema con la suma: infinita veces uno es infinito. Es relativamente intuitivo y creo que #gaussianos te lo ha explicado todo bastante bien.
Ouch 1/64=~.0156
Los casos más graciosos son casos como este donde alguien que habla sin saber (estudió algo hace 20 años... y por lo que se ve lo tiene muy olvidado) le llama cabezón ( #12 ) a un experto matemático (con años de experiencia, blog de matemáticas, etc). Y no contento con eso habla de dar collejas ( #21 ) a otro, todos le dicen que está equivocado y él sigue convencido de que todo el mundo está equivocado. Ojo, la cosa no es que esté equivocado por estar en contra de la opinión de la mayoría ni en contra de autoridades en la materia... el problema es que se niega a razonar, en lugar de usar argumentos recurre a insultos ("cabezón") y violencia ("collejas").
"El problema de la humanidad es que los estúpidos están seguros de todo y los inteligentes están llenos de dudas." - Bertrand Russell
No, no lo es. Sea lo que sea un "suceso único"
Al que no conozca El Cedazo se lo recomiendo calurosamente, es una extensión de El Tamíz e igual de excelente (o casi)
#64 Gaussianos en la noticia mismamente...
Habría que tener en cuenta también un factor importante: ¿Se puede jugar una única vez? ¿O se puede jugar tantas veces como queramos? (De manera análoga al dilema de prisionero y su versión reiterada)
"Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug"
Creo que tu script tiene un fallo:
def jugar():
contador = 0
while(lanzar_moneda()):
contador = contador + 1
if contador > 0:
return pow(2, contador)
return 0
Es decir, si el primer lanzamiento de moneda es False resultaría contador = 0 y return 0 ...
En ese caso, la esperanza también es infinita pero la suma sería de este estilo: 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .... = 0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ...
En 1 millón de veces habría:
500 000 ... 0
250 000 ... 2
125 000 ... 4
062 500 ... 8
031 250 ... 16
15 625 ... 32
7 812
3 906
1 953
976
488
244
122
61
30
15
7
3
1
Al hacer la media: 0 + 1/2 + 1/2 + ... = 18/2 = 9
(como ves, unas veces te sale 8, otras 10 ... en media más o menos 9)
Si lo hubieras hecho bien sería:
1 + 1 + 1 .... (19 veces) = 19
(te saldrá unas veces 16, otras 23 ... en media 19)
Si en lugar de 1 millón de veces lo haces 1000 millones la media te saldrá del orden de 29 ... porque 2^10 es 1024 (aproximadamente 1000) ... así que multiplicar por 1000 es avanzar 10 en el exponente del 2 y, por tanto, en la media. Al ser 1024 y no 1000 por eso me salió 9 en lugar de 10, 19 en lugar de 20 y 29 en lugar de 30 ... pero las medias 10, 20, 30 serían en realidad más exactas.
Nota1: es posible que en tus ensayos con un millón de veces te salga uno con una media anormalmente alta... podría salir 37, por ejemplo,... sería muy muy muy raro, sí, pero podría ocurrir. (* ver nota siguiente)
Nota2: la aleatoriedad que dan los algoritmos no es real, son algoritmos pseudoaleatorios... así que es posible que nunca nunca nunca te saliesen por ejemplo 21 caras seguidas (2^20 son ) en tu algoritmo, cosa que en la realidad sí puede ocurrir. Esta nota sería contradictoria con la anterior... es decir, en teoría te podría salir una media muy anormalmente alta pero dada la pseudoaletoriedad no te saldrá NUNCA. Lo cual, evidentemente desvirtúa el ensayo teórico del que estamos hablando... el que haces con el ordenador NUNCA te dará premios muy muy altos y por tanto nunca tenderá a infinito la media en los ensayos por ordenador.
De todas formas, creo que esta paradoja sirve para demostrar que la esperanza matemática como medición de lo "bueno" que es un juego, no sirve para nada
Respondiendo a la pregunta del post, me gustaría hacer una simulación, pero apostaría a que el premio medio sería un valor entre 2 y 4 euros (a ojo de buen cubero) ¿ando bien?
Justo estaba haciendo yo un programilla!
#50 Con unas matematicas un poco más complejas, así es como funciona la bolsa. El caso es que de vez en cuando toca pagar 1 chillón para recuperar un euro. Aunque luego los economistas lo llamen ciclos de recesión.
EDIT: debería haber una forma de retirar votos...
El problema cambia cuando se cambia la perspectiva y asumes el papel de la banca. Es decir, no cuanto estás dispuesto a pagar por jugar, sino qué precio pondrías para ser la banca. La historia está que dependiendo de la cantidad inicial, la banca siempre gana pero no de forma indefinidamente, hasta que alguien saca 20 caras seguidas.
Por tanto, la pregunta es, estarías dispuesto a asumir el papel de la banca, sabiendo que en cualquier momento alguien puede llevarse todas las ganancias más una deuda. El caso es que la percepción del riesgo cambia. Aunque sea una probabilidad pequeña, las consecuencias son muy graves y se percibe con un riesgo muy superior al que tiene realmente y casi nadie quiere ser la banca.
El tema se vuelve más interesante cuando en vez de un evento aleatorio del que no se tiene control se habla de un evento sobre el que uno tiene control. Por ejemplo, aunque la probabilidad de morir en un accidente de tráfico es superior a morir en un accidente de avión, la gente tiene miedo a los aviones, pero no a los coches; porque al conducir un coche, la sensación de control da una percepción subjetiva que disminuye la percepción del riesgo.
¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?
Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?
De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.
Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
En un juego en el que la esperanza tuviera un valor concreto y no tendiera a infinito, al aumentar el número de partidas con las que calculamos la media, esa media tendería a precisamente ese valor. Yo trataba de señalar que, en este caso, nuestra estimación de la esperanza (esa media que calculamos) irá aumentando indefinidamente según aumentemos el número de iteraciones del Monte Carlo. Pero eso es por la peculiaridad que tiene este juego. No sucederá con juegos "normales".
En realidad, el resultado esperado de una ejecución de tu script con el número de tiradas que sea es tan infinito como el del juego original; aunque la distribución de los resultados cambia. O, dicho de otro modo, la media de mil ejecuciones de tu script con n=1000 tendrá el mismo aspecto que una ejecución de tu script con n=1000000, y que la media de un millón de ejecuciones con n=1; cosa que es bastante obvia si nos fijamos en el código. Los resultados más bajos con n=1000 que con n=1000000 son sólo una "apariencia" que sucede por tener una muestra pequeña; pero la media de muchas ejecuciones tenderá a infinito en ambos casos.
Como comenta #48, en los casinos ya han pensado en eso unas cuantas veces. No existe juego de casino en el que haya un método matemático para ganar.
"tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando)"
#46 "¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?"
No, la probabilidad de palmarlo todo jugando una vez es 0%.
Tienes un 50% de llevarte 2 euros y tienes un 50% de llevarte 4 euros o más... así que nunca nunca lo vas a palmar todo jugando una vez.
Sin embargo, si juegas 3 veces pagando 3 euros cada vez...
La primera vez tienes un 50% de llevarte 2 euros, así que si jugaste 3 euros esa vez perdiste 1 euro (como tenías 5 euros y pierdes 1 te quedan 4 euros). De esos 50% de casos en los que pierdes 1 euro, la segunda jugada puedes perder 1 euro también, cosa que ocurriría un 50% de las segundas jugadas... el 50% de la segunda * el 50% de la primera = un 25% (1/4) de veces que perderías en las dos primeras jugadas (empezaste con 5 euros, perdiste 1 euro dos veces y te quedan 3 euros). De ese 25% la mitad de las veces perderías en la tercera jugada ... así que son 12.5% (1/8) de veces las que perderías un euro en cada una de las 3 jugadas y en total pierdes 3 euros. Como apuestas "3 euros" y pierdes 3 euros, esto significa que lo palmaste "todo" (eso sí, jugando 3 veces). Bueno, en realidad la frase original no hablaba de palmarlo "todo" sino de no poder seguir jugando... y, efectivamente, si la apuesta es de 3 euros y empiezas con 5 euros al perder 1 euro 3 veces seguidas te quedas con 2 euros y no puedes seguir jugando ya que jugar costaba 3 euros.
Sí, le he llamado nuez moscada al pote de pimienta, pero el plato es lo que cuenta. Y hamijo, yo me gano la vida cocinando cosas que tú ni sabes que existen.
10 resultados cambiando el millón por mil
8.614
4.962
4.786
6.848
4.394
6.85
4.98
7.79
6.502
6.254
Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.
Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
Y me muestra el símbolo de infinito después de ejecutar el script
El problema viene cuando no puedes respaldar con dinero la siguiente jugada. Entonces pierdes todo.
es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matemática.
Y de paso la página del "cabezón"
gaussianos.com/
Si llamamos "sorteo(n)" al juego consistente en sacar una bola de un bombo con n bolas numeradas y premiar al jugador que tiene el número con n euros, podemos observar que:
a) La esperanza del juego sorteo(n) es igual a un euro para todo n. Es decir, todo lo que sea pagar más de 1 euro por jugar es perder dinero (de media) y todo lo que sea pagar menos de 1 euro es ganar dinero (de media).
b) La esperanza del juego consistente en la sucesión de varios sorteos será la suma de las esperanzas. Es decir, que si vamos a participar en k sorteos deberíamos pagar k euros por ellos, ya que cada uno vale 1 euro.
c) El juego que describe el artículo es equivalente a la combinación de sorteos de la forma sorteo(2)+sorteo(4)+sorteo(8)+sorteo(16)+.... cuya esperanza es igual a 1+1+1+1+... que efectivamente es infinito.
Y otra observación que se puede hacer al respecto es que aunque el juego tal como está descrito sí tiene esperanza infinita es obviamente imposible de implantar en la realidad, ya que hacen falta infinitos euros para cubrir el posible premio a dar.
Una versión algo más realista (aunque no mucho) del mismo juego en que como máximo se pudiera otorgar como premio el producto bruto mundial (pongamos 2^46 euros por poner una cifra que es potencia de dos y facilitarme el cálculo) no habría que pagar por él más que:
2^1*2^-1 + 2^2*2^-2 + .... 2^46*2^-46 + 2^46*2^-47 + 2^46*2^-48 + .... =
1 + 1 + .... 1 + 1/2 + 1/4 + .... =
46 + 1 = 47
...la relativamente modesta cifra de 47 euros.
Conclusión: aunque las matemáticas dicen lo que dicen, no pagueis mucho dinero a nadie por un juego parecido a éste a menos que os garantice que puede cubrir premios realmente astronómicos.
Coincido con #12 en que si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).
#84La "Esperanza" es un valor medio de una variable aleatoria, que suele estar definida entre valores concretos para ser de alguna utilidad distinta a la paja mental. La tontería que se plantea en el artículo es tan simple cómo que cualquier número que opere con infinito será absorbido cual peladilla por el monstruo Bu.
#95 En el cálculo estadístico olvídate de demostrar nada. La "Esperanza" no se demuestra, sino al contrario. Es un parámetro, un instrumento para el cálculo estadístico que debes saber interpretar para usarlo o olvidarte de ello.
#96 Si tienes a 1 millón de tíos haciendo cola para jugar, con que hagas pagar más de un euro a cada uno no pierdes, y si haces pagar más de dos te forras seguro (salvo catástrofe, claro).
Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
No se dar una respuesta al problema. Lo estoy tratando de plantear dando la vuelta y preguntándome por la probabilidad de perder al apostar una cantidad x, pero no termino de verlo.
Del moderador estoy admirado de la paciencia que tiene al responder.
#54 Claro, tú te jugarías alegremente un euro y jugarías así miles de veces hasta aburrirte. Porque ganarías siempre, incluso en aquellos casos en que obtienes la primera cruz en la primera tirada. Pero la otra parte (el casino, por decirlo así) sabe que la ganancia esperada es infinita y requiere un pago sustancialmente mayor por partida... desde luego, considerará que el pago de un euro es claramente insuficiente. ¿Hasta qué cantidad aceptarías pagar por cada partida? 2 euros los pagaría yo con los ojos cerrados, porque sé que al menos voy a ganar eso mismo. 3 euros también, porque sé que la mitad de las veces conseguiré 2 y la otra mitad de las veces conseguiré al menos 4. Por el mismo razonamiento, es ventajoso pagar 4 euros. Y 5, y 10, y 20, y cualquier número porque, de nuevo, la ganancia esperada es infinita. Pero claro, en la vida real muy pocos aceptarían pagar 20 euros por partida, o incluso 10. ¿Cuál es tu límite?
#91 Ese es el funcionamiento de la martingala, que es una cosa completamente distinta.
imageshack.us/a/img337/4821/trollstrollseverywhere1.jpg
O como diría Dilbert: search.dilbert.com/comic/Random%20Nine
#73 Como me has votado negativo sin haberme argumentado o razonado nada, te lo he devuelto. Eres libre de volver a hacer lo mismo, si te apetece.
Si tú planteas que cuando salga cruz paras de jugar, la probabilidad de una nueva tirada tiende a cero a medida que avanzas, no a infinito. Ahí está el truco, es una suma de resultado finito pero de infinitos sumandos.
Pues creo que tienes razón. Hay que añadir uno al contador de tiradas. Bien visto.
#86 pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.
A parte de que en ese caso se une a la decisión de jugar o no el "antipremio" psicológico de que les toque a todos tus compañeros de trabajo menos a ti.
En realidad, para tener la seguridad de no perder puedes pagar dos euros, ya que es el mínimo que vas a ganar en la partida. Pero lo que se plantea no es cuanto hay que pagar para tener la seguridad de no perder, es cuanto hay que pagar para tener una esperanza de ganancia positiva.
Es decir, si pagas por ejemplo tres euros por jugar tienes una probabilidad de 1/2 de perder un euro (si sale cruz a la primera y recibimos 2 euros) y 1/2 de ganar como mínimo un euro (si sale cruz a la segunda y recibimos cuatro euros, o ganar mucho más si sale más tarde). Por lo que podemos considerar que pagar 3 euros por una partida también vale la pena, ya que las posibles ganancias igualan las posibles pérdidas, aunque no tengamos la seguridad de no perder. El caso es que si analizamos el juego desde ese punto de vista para cualquier cantidad que paguemos veremos que jugar "vale la pena", en el sentido de que la esperanza sigue siendo positiva; aunque para valores muy grandes la probabilidad de perder un montón de dinero será muy grande, siempre quedará una pequeña probabilidad de ganar que compensará todas las pérdidas.
Créeme que sí
Si jugamos una partida a cara o cruz de las normales (yo me pido cara)jugándonos un euro por tirada la esperanza de lo que gano es 0: 1*1/2 - 1*1/2 <- Esto es para una tirada, todas las tiradas son iguales así que si lo repito infinitas veces gano 0.
Pero si solo cuento las ganancias también me forro: 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2...
Primero habláis de que las caras son nuestra baza y una vez sale cruz, el juego termina, pagando la banca en función de las caras que han salido.
Sin embargo, luego habláis de caras como punto de escape.
Si he entendido bien y con las caras duplico, y con las cruces termina la partida, jugaría un 10% de mi stack como apuesta inicial y acabaría siendo rico.
Quizás me haya columpiado al intentar entenderlo, porque me parece un caramelito.
Los resultados numéricos que me han devuelto mi script no son más que golpes de ciego para saber dónde nos estamos moviendo. Puede que de las fórmulas, se pueda deducir que es divergente. Pero una simulación numérica, puede hacernos una idea de lo divergente que es. En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión
Pues yo digo que SÍ----------------ahora viene otro y me dice que -----------NO. Y ya está liada que SÍ que NO que no me insultes, tal....
"Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio"
jajaja ¡No, hombre!
En el caso peor vas a ganar 2 euros!!!
¿te negarías a jugar si cuesta 2 euros???
jajaja Nadie se debería negar a jugar si cuesta 2 euros.
Ya que es imposible perder nada, siempre recupero los 2 euros... y con algo de suerte puedo ganar por la cara 2 euros, ó 6 euros, ó 14, etc... sin riesgo.
Incluso si cuesta 3 euros jugaría seguramente (a menos que perder 1 euro supusiese algo grave para mi o que no sepa si la moneda puede estar trucada): en la mitad de los casos pierdo 1 euro, y en la otra mitad gano 1 euro al menos...
Jugar cosas como 20 euros ya es más lotería... aunque es un juego ventajoso, jugando 20 en la mitad de los casos perdería casi todo (18 euros) y lo de perder el 90% en el 50% de los casos ya no me parece tan gracioso. Aunque he jugado a la Lotería de Navidad donde se pierde el 100% en el 85% de los casos, así que es peor, pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.
Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:
0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media
En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
(lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )
#60
"¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "
Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.
En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5
(bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")
En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.
Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)
Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)
Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)
Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.
Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
Aunque el script me diga que la media sea de casi 30€ yo no jugaría más de 8€ para tener al menos un 12% de probabilidad de obtener un "reintegro". De poco me sirve que unos pocos afortunados de entre muchos desafortunados se lleven un buen pellizco y suban la media.
"Ah! Perfecto, llamas la atención a uno que insulta a otro (#12, si es que cabezón es un insulto) insultando a través de una cita. "
Yo no llamé estúpido a nadie, en todo caso fue Bertrand Russell, aunque tampoco Russell con esa frase insulta a alguien concreto directamente, sólo dijo que hay estúpidos... espero que tú no niegues que hay estúpidos ni el hecho de que son un problema. Nótese que el comentario al que respondo habla de Meneame en general y la cita habla también en general.
"Al menos dilo directamente."
¿por qué quieres que insulte? ¿te gusta promover el insulto? ¿o sólo te apetece ponerme un negativo por insultar?
Negativos y karma aparte, es posible que yo no sepa si alguien es estúpido ni tengo por qué entrar en eso, pero puedo citar una frase a modo de precaución... de forma que nadie esté obligado a darse por aludido. Otro ejemplo: yo puedo decir que consumir una medicina en exceso puede matarte, puedo decirlo a modo de precaución y podría estar salvando la vida de alguien, pero eso es no es lo mismo que decirle a alguien que está consumiendo medicinas en exceso sobre todo si no estoy seguro. Si alguien las podría consumir en exceso le puedo salvar la vida pero si no lo hace no tiene por qué darse por aludido.
Juega una vez y le va mal en el primer tiro, se lleva dos euros. ("esperanza": 2)
Juega otra vez le va mal en el segundo tiro, 4 euros ("esperanza": 3)
Juega otra vez le va mal en el primer tiro, 2 euros ("esperanza": 2.66...)
Juega otra vez le va mal en el tercer tiro, 8 euros ("esperanza": 4)
Juega otra vez le va mal en el primer tiro, 2 euros ("esperanza": 3.algo...)
Juega otra vez le va mal en el segundo tiro, 4 euros ("esperanza": 3.algo+...)
Juega otra vez le va mal en el primer tiro, 2 euros ("esperanza": 3.algo-...)
Juega otra vez le va mal en el cuarto tiro, 16 euros ("esperanza": 4.algo)
Estoy suponiendo que las ganancias siguen la distribución dada por las probabilidades, es decir 2,4,2,8,2,4,2,16,2,4,2,8,2,4,2,32,2,4,2,8,2,4,2,16...
Se ve que sube a infinito no? (aunque un poco lentamente).
El juego es sencillo: para cada premio de 2n, tenemos una probabilidad asociada de 2-n. Y la tirada de la moneda se corresponde con una distribución geométrica G(p) con p=0.5 (la probabilidad de cruz), premios aparte.