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Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar? Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita? Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:
etiquetas: ganancia esperada, infinita, paradoja de san petersburgo
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112comentarios mnm karma: 570
  1. #7   #2 Tú pagas por jugar una cantidad que te pide el que te ofrece el juego, pongamos 100€, y comenzamos a tirar la moneda hasta que salga cruz por primera vez. Si ha salido en la tercera tirada te llevas 2^3=8 euros, por lo que perderías 92 (recuerda que pagaste 100). Pero, por ejemplo, si sale en la séptima te llevas 2^7=128, por lo que ganarías 28. La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto al principio para aceptar el juego?

    #4 La cantidad inicial no la pone el jugador, sino quien ofrece el juego. La pregunta es cuánto dinero pagarías al principio por jugar. Si te ofrezco en juego por 10000€, ¿jugarías? ¿Y por 1000? ¿Cuánto será, por decirlo de alguna forma, tu máximo?

    #5 Estamos calculando la ganancia esperada, la ganancia media. La esperanza es una media, por eso hay que tener en cuenta todos los casos posibles: que salga cruz por primera vez en la primera tirada, que salga en la segunda, o en la tercera, etc.

    Si tenéis más dudas no tenéis más que preguntar :-)
    votos: 60    karma: 529
  2. #43   #35 Me acabo de permitir el lujo de realizar un pequeño script en python que simula un millon de jugadas y te dice la media.

    pastebin.com/7z88EHXr

    Después de ejecutar el script 10 veces, he obtenido las siguientes medias:
    18.650978
    10.333214
    8.383532
    12.136228
    9.562446
    10.084366
    17.017284
    10.153694
    9.43742
    11.296562

    Sacad vuestras propias conclusiones pero yo de aquí deduzco que sería razonable pagar 8 euros por jugar. Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug
    votos: 14    karma: 118
  3. #55   #43 Buen trabajo, pero ¿estamos seguros que el resultado es independiente del número de tiradas? ¿Es decir, de ese un millón? Si en lugar de un millón hubieras puesto mil y ante las mismas diez ejecuciones ¿habrías llegado a la misma conclusión? ¿y con mil millones?
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  4. #14   #12 Grosso modo:

    Tienes una esperanza probabilidad del 0,5 de conseguir 2, cosa que aporta 0.5*2=1 a la esperanza.

    Tienes una esperanza matemática probabilidad del 0,25 de conseguir 4, cosa que aporta 0,25*4=1 a la esperanza.

    Tienes una esperanza matemática probabilidad de menos de 0,01 1/64=~0.156 de conseguir 64 euros, cosa que aporta 64*1/64=1 a la esperanza.

    Sumadas todas las aportaciones E=1+1+1+1+.... = infinito.

    Lo que suma finito como en la paradoja de Zenón es la suma de todas las probabilidades. En concreto suma 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1, cosa que era bastante de esperar.
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  5. #48   Dicho esto, por supuesto que se trata de un problema teórico. Ningún casino ofrecería este juego precisamente porque la ganancia esperada (la esperanza matemática) es infinita. Las casas de apuestas, las loterías, etc. obviamente se ganan sus perras a partir de juegos en que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, o sea, por término medio pierde dinero cada vez que apuesta.
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  6. #52   #47 Primero, te invito a que termines tu programa. Es bastante probable que el mio tenga algún fallo
    Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
    Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
    Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
    votos: 1    karma: 12
  7. #56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

    10 resultados cambiando el millón por mil

    8.614
    4.962
    4.786
    6.848
    4.394
    6.85
    4.98
    7.79
    6.502
    6.254

    Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
    votos: 1    karma: 15
     *   prejudice prejudice
  8. #59   #55 Esa es la "trampa", si tienes dinero para jugar "infinitas" veces terminarás ganando. Si miras el comentario al que contestas, y con el que te responden. Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

    A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.

    Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
    votos: 1    karma: 15
     *   Arth Arth
  9. #83   #43

    "Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug"

    Creo que tu script tiene un fallo:

    def jugar():
    contador = 0
    while(lanzar_moneda()):
    contador = contador + 1

    if contador > 0:
    return pow(2, contador)

    return 0


    Es decir, si el primer lanzamiento de moneda es False resultaría contador = 0 y return 0 ...

    En ese caso, la esperanza también es infinita pero la suma sería de este estilo: 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .... = 0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ...

    En 1 millón de veces habría:
    500 000 ... 0
    250 000 ... 2
    125 000 ... 4
    062 500 ... 8
    031 250 ... 16
    15 625 ... 32
    7 812
    3 906
    1 953
    976
    488
    244
    122
    61
    30
    15
    7
    3
    1

    Al hacer la media: 0 + 1/2 + 1/2 + ... = 18/2 = 9

    (como ves, unas veces te sale 8, otras 10 ... en media más o menos 9)

    Si lo hubieras hecho bien sería:
    1 + 1 + 1 .... (19 veces) = 19

    (te saldrá unas veces 16, otras 23 ... en media 19)


    Si en lugar de 1 millón de veces lo haces 1000 millones la media te saldrá del orden de 29 ... porque 2^10 es 1024 (aproximadamente 1000) ... así que multiplicar por 1000 es avanzar 10 en el exponente del 2 y, por tanto, en la media. Al ser 1024 y no 1000 por eso me salió 9 en lugar de 10, 19 en lugar de 20 y 29 en lugar de 30 ... pero las medias 10, 20, 30 serían en realidad más exactas.

    Nota1: es posible que en tus ensayos con un millón de veces te salga uno con una media anormalmente alta... podría salir 37, por ejemplo,... sería muy muy muy raro, sí, pero podría ocurrir. (* ver nota siguiente)

    Nota2: la aleatoriedad que dan los algoritmos no es real, son algoritmos pseudoaleatorios... así que es posible que nunca nunca nunca te saliesen por ejemplo 21 caras seguidas (2^20 son ) en tu algoritmo, cosa que en la realidad sí puede ocurrir. Esta nota sería contradictoria con la anterior... es decir, en teoría te podría salir una media muy anormalmente alta pero dada la pseudoaletoriedad no te saldrá NUNCA. Lo cual, evidentemente desvirtúa el ensayo teórico del que estamos hablando... el que haces con el ordenador NUNCA te dará premios muy muy altos y por tanto nunca tenderá a infinito la media en los ensayos por ordenador.
    votos: 3    karma: 26
  10. #2   Yo no entiendo una cosa .... porque según lo explica, no veo riesgo ... es decir, ¿cuando pierdo mi dinero? ¿sólo en la primera jugada si sale cara? ¿o siempre que salga cara? . No se si me explico :-P
    votos: 1    karma: 20
  11. #13   #12 Te agradecería que no me llamaras cabezón, gracias.

    Respecto al tema, te comento que no me encierro en nada, simplemente realizo el cálculo de la esperanza de la ganancia. Si yo quiero saber qué ganancia espero obtener, tendré que calcular la esperanza de la ganancia, ¿no? Pues eso.

    Tienes una esperanza matemática de menos de 0,01 de conseguir 64 euros

    Tienes una esperanza matemática del 0,25 de conseguir 4.

    Tienes una esperanza del 0,5 de conseguir 2.


    Eso no es "esperanza matemática", sino probabilidad. Estás confundiendo términos.

    Te recomiendo que vuelvas a leer mi artículo y te fijes en la definición de esperanza (o que preguntes o la busques en otro sitio si no la entiendes) y vuelvas a analizar todo esto.

    Saludos.
    votos: 17    karma: 164
  12. #20   #19 la esperanza matemática de un suceso único es su probabilidad.

    No, no lo es. Sea lo que sea un "suceso único" xD .
    votos: 3    karma: 32
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  13. #31   #26 La probabilidad de sacar 10 caras seguidas es de 1/1024
    votos: 6    karma: 52
  14. #36   Que curioso, un amigo me planteó este dilema hace un par de semanas mientras estabamos echando birras. Mi respuesta fue que dependía del dinero que tuviese ya que no es lo mismo tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando) que tener 80 euros y apostar 3 por jugada lo que haría que fuese muy improbable que acabase perdiendo dinero.
    votos: 0    karma: 10
     *   uno_d_tantos uno_d_tantos
  15. #46   #36 ¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?

    De todas formas, creo que esta paradoja sirve para demostrar que la esperanza matemática como medición de lo "bueno" que es un juego, no sirve para nada :-D

    Respondiendo a la pregunta del post, me gustaría hacer una simulación, pero apostaría a que el premio medio sería un valor entre 2 y 4 euros (a ojo de buen cubero) ¿ando bien?
    votos: 1    karma: 20
  16. #50   jugando en la ruleta lo puedes hacer al negro y rojo, juegas 1 E al negro y si ganas todo tuyo, si pierdes en la siguiente juegas 2E al negro si ganas recuperas el primer euro y ganas el segundo euro apostado, que pierdes insistes con el negro y apuestas el primer euro mas los dos segundos mas otro euro total cuatro, si ganas recuperas lo apostado anteriormente mas un euro, pierdes dale al negro otra vez 1+2+4 que perdiste mas otro para ganar en total 8, asi hasta el infinito, el negro saldra al final y algo habras ganado
    votos: 1    karma: -3
  17. #60   #56 Pero el dinero que sea razonable pagar a cambio de jugar una partida, que es lo que intentamos descubrir con este programa, debería ser independiente del número de partidas que agrupes para hacer una media ¿no crees?

    ¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?

    Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?

    De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.

    Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
    votos: 1    karma: 17
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  18. #64   #60 creo que estamos delante de un problema que no tiene solución (para la versión de una sola jugada) y que al igual el dilema del prisionero, es bastante interesante analizar las posibles soluciones y estrategiaS cuándo se juega n veces

    Los resultados numéricos que me han devuelto mi script no son más que golpes de ciego para saber dónde nos estamos moviendo. Puede que de las fórmulas, se pueda deducir que es divergente. Pero una simulación numérica, puede hacernos una idea de lo divergente que es. En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión
    votos: 0    karma: 6
  19. #73   #50 Eso se llama martingala, y no, no funciona. Primero porque nadie tiene infinito dinero, y segundo porque para eso esta el 0, para que una de cada 37 veces pierdas tu dinero.

    Como comenta #48, en los casinos ya han pensado en eso unas cuantas veces. No existe juego de casino en el que haya un método matemático para ganar.
    votos: 3    karma: 17
  20. #98   #80 Ah! Perfecto, llamas la atención a uno que insulta a otro (#12, si es que cabezón es un insulto) insultando a través de una cita. Al menos dilo directamente.

    Coincido con #12 en que si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).
    #84La "Esperanza" es un valor medio de una variable aleatoria, que suele estar definida entre valores concretos para ser de alguna utilidad distinta a la paja mental. La tontería que se plantea en el artículo es tan simple cómo que cualquier número que opere con infinito será absorbido cual peladilla por el monstruo Bu.
    #95 En el cálculo estadístico olvídate de demostrar nada. La "Esperanza" no se demuestra, sino al contrario. Es un parámetro, un instrumento para el cálculo estadístico que debes saber interpretar para usarlo o olvidarte de ello.
    #96 Si tienes a 1 millón de tíos haciendo cola para jugar, con que hagas pagar más de un euro a cada uno no pierdes, y si haces pagar más de dos te forras seguro (salvo catástrofe, claro).
    votos: 1    karma: 13
  21. #101   #90 Pues ha sido un error. Pero vaya, el otro comentario que te he votado positivo no te has quejado, ¿eh?. Eso si, corriendo a votarme negativo en dos comentarios sin ni siquiera preguntar el por qué.
    votos: 1    karma: 18
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