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Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar? Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita? Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:
etiquetas: ganancia esperada, infinita, paradoja de san petersburgo
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112comentarios mnm karma: 570
«12
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     *   disconubes disconubes
  2. #2   Yo no entiendo una cosa .... porque según lo explica, no veo riesgo ... es decir, ¿cuando pierdo mi dinero? ¿sólo en la primera jugada si sale cara? ¿o siempre que salga cara? . No se si me explico :-P
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  3. #3   #2 El riesgo es que no amortices la cantidad que pagas por jugar.
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  4. #4   No lo entiendo, si está clarísimo: menos de lo que ganas si ganas en la primera tirada (2€). Por ejemplo, 1€. Así siempre ganas.
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     *   hugamen hugamen
  5. #6   He lanzado una moneda en la primera me ha salido cara.

    Después de varios intentos, sólo he conseguido 3 cruces seguidas. Estaría dispuesto a apostar la mitad de esta coincidencia: 4 euros.
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  6. #7   #2 Tú pagas por jugar una cantidad que te pide el que te ofrece el juego, pongamos 100€, y comenzamos a tirar la moneda hasta que salga cruz por primera vez. Si ha salido en la tercera tirada te llevas 2^3=8 euros, por lo que perderías 92 (recuerda que pagaste 100). Pero, por ejemplo, si sale en la séptima te llevas 2^7=128, por lo que ganarías 28. La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto al principio para aceptar el juego?

    #4 La cantidad inicial no la pone el jugador, sino quien ofrece el juego. La pregunta es cuánto dinero pagarías al principio por jugar. Si te ofrezco en juego por 10000€, ¿jugarías? ¿Y por 1000? ¿Cuánto será, por decirlo de alguna forma, tu máximo?

    #5 Estamos calculando la ganancia esperada, la ganancia media. La esperanza es una media, por eso hay que tener en cuenta todos los casos posibles: que salga cruz por primera vez en la primera tirada, que salga en la segunda, o en la tercera, etc.

    Si tenéis más dudas no tenéis más que preguntar :-)
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  7. #9   #8 No, no es igual que la historia de Aquiles y la tortuga. En este caso tenemos una cantidad infinita de unos, por lo que la suma es infinito.

    Échale otro vistazo y lo verás :-)
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  8. #11   #10 Que no, que no, que la suma no tiene resultado finito. Repito que es una media, por lo que tenemos considerar todos los resultados posibles.
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  9. #13   #12 Te agradecería que no me llamaras cabezón, gracias.

    Respecto al tema, te comento que no me encierro en nada, simplemente realizo el cálculo de la esperanza de la ganancia. Si yo quiero saber qué ganancia espero obtener, tendré que calcular la esperanza de la ganancia, ¿no? Pues eso.

    Tienes una esperanza matemática de menos de 0,01 de conseguir 64 euros

    Tienes una esperanza matemática del 0,25 de conseguir 4.

    Tienes una esperanza del 0,5 de conseguir 2.


    Eso no es "esperanza matemática", sino probabilidad. Estás confundiendo términos.

    Te recomiendo que vuelvas a leer mi artículo y te fijes en la definición de esperanza (o que preguntes o la busques en otro sitio si no la entiendes) y vuelvas a analizar todo esto.

    Saludos.
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  10. #14   #12 Grosso modo:

    Tienes una esperanza probabilidad del 0,5 de conseguir 2, cosa que aporta 0.5*2=1 a la esperanza.

    Tienes una esperanza matemática probabilidad del 0,25 de conseguir 4, cosa que aporta 0,25*4=1 a la esperanza.

    Tienes una esperanza matemática probabilidad de menos de 0,01 1/64=~0.156 de conseguir 64 euros, cosa que aporta 64*1/64=1 a la esperanza.

    Sumadas todas las aportaciones E=1+1+1+1+.... = infinito.

    Lo que suma finito como en la paradoja de Zenón es la suma de todas las probabilidades. En concreto suma 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1, cosa que era bastante de esperar.
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  11. #15   #14 1/64=~0.156 de conseguir 64 euros,

    Ouch 1/64=~.0156
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  12. #17   #16 No, la suma tiende a uno por definición (nos ha jodido el Capitaine Obvious), pero el valor tiende a cero.

    ¿La suma de qué? ¿El valor de qué?

    Y si le llamo esperanza a la probabilidad tú ya deberías ver por dónde voy

    Derecho al desastre xD
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  13. #18   ¿pagaría tanto como tanto tiempo tuviera para dedicarme al juego?
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  14. #20   #19 la esperanza matemática de un suceso único es su probabilidad.

    No, no lo es. Sea lo que sea un "suceso único" xD .
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  15. #22   Los trolls clásicos de menéame... ¿están de vacaciones? Porque los becarios no dan la talla :troll:
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  16. #23   #21 No, entro a vacilar y me quedo, porque me pareces divertido. ¿Puedes ampliar un poco eso de que "la esperanza matemática de un suceso único es su probabilidad"?
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  17. #24   Las soluciones como dice al final del artículo apuntan a ramas que se sscapan de lo estrictamente matematico. Matematicamente si es rentable pagar cualquier cantidad si dispusiesemos de un lanzador de monedas infinitamente rapido , o una cantidad de tiempo no finita para vernos ganadores sí o sí.
    Creo que de manera teorico matematica tienes ganancia infinita. Sobre la practica es arriesgado o por lo menos irrealizable.

    Disculpad la ortografia, estoy desde un.movil.
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     *   --173997-- --173997--
  18. #25   #13 #20 #21 Pero no hace falta hacerse la picha un lio para calcular lo que estaria dispuesto a pagar! ¿¿¿¿Tantas matematicas para que???? Logica!!! Yo estaria dispuesto a jugar 1 centimo, la cantidad maxima para que si al ganar la primera tirada y acierto, gane dinero, y la misma cantidad para que si perdiese, me hiciese perder lo minimo posible.

    No es la apuesta mas etica o justa para el beneficio del que te hace el juego, pero como esa incognita no esta en la ecuacion...

    Eso si, independientemente de quien lleve la razon en este juego matematico (Hay que ver la pasion que tienen los matematicos por desperdiciar años de su vida en formulas inutiles en el dia a dia... xD ) es que las formas de hayunamoscaenmisopa no son para nada las correctas, independientemente de que lleve razon o no.
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  19. #26   #21 Te estás equivocando. En #14 está bastante bien explicado la diferencia entre el tema de Aquiles (número de sumandos infinito -que no da infinito-) y este (esperanza infinita -por supuesto, número de sumandos también infinito-).

    Dicho esto, yo, si puedo jugar muchas veces, jugaría 10€, porque supondría que antes de la vez 100 conseguiría 10 caras seguidas y ya saldría ganando dinero.
    votos: 4    karma: 48
  20. #27   No veo mucho futuro a este juego en el mundo de los trileros...
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  21. #28   apostaría 1€, un millón de veces. :-D
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  22. #29   Añado a #24 .

    Me recuerda al método Martingala, que igualmente tiene probabioiad 1 de exito en el infinito.
    es.wikipedia.org/wiki/Martingala
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  23. #30   P.d: Ademas, el planteamiento de este juego es bastante absurdo. Lo logico seria que dependiendo de la cantidad apostada, obtuvieses beneficios de forma equitativa, porque si voy a ganar lo mismo apostando 1 centimo, que 16 gritones de euros, seria bastante idiota apostar mas dinero.

    Asi que lo siento por Nicolas y Daniel Bernoulli, mientras que vosotros pasasteis años de vuestra vida calculando una formula en torno a un enunciado bastante estupido, seguro que vuestros coetaneos estaban en algun bar bebiendo vodka y forniciando con rusas despendoladas xD
    votos: 1    karma: -3
  24. #31   #26 La probabilidad de sacar 10 caras seguidas es de 1/1024
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  25. #32   Y si la espera a esa ganancia es infinita? :-D
    votos: 0    karma: 9
  26. #33   #25 Pongamos que hay una "banca" que ofrece jugar a este juego al mejor postor. Si tu ofreces 1 centimo, viene otro que ofrece 2 y te quedas sin jugar y por rácano pierdes la posibilidad de hacerte con un montón de pasta. La gracia está es si se ofreciera una partida de estas en una subasta de matemáticos con fondos ilimitados ( xD )la puja no terminaría nunca porque siempre valdría la pena ofrecer algo más.

    Hay que ver la pasion que tienen los matematicos por desperdiciar años de su vida en formulas inutiles en el dia a dia...

    Bueno, es que hay depravados a los que les gusta el tema como un fin en sí mismo, no por la utilidad que pueda tener en el día a día; aunque de hecho muchas veces sí la tenga. ;)
    votos: 12    karma: 107
  27. #34   #31 De hecho la posibilidad de sacar 17 caras seguidas es inferior a la de que te toque el Gordo y ganarías 270000€ menos. "Ganancia esperada infinita" es un eufemismo, no es cuestión de cuánto dinero estás dispuesto a apostar, basta con mirar cuál es una probabilidad razonable y jugar en base a ella. Y sin ponerme a calcular avanzo que muy poquito y por tanto es una noticia bastante insulsa. :-)
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     *   Africanus Africanus
  28. #35   Creo que lo mas razonable sería simular por ordenador una gran cantidad de partidas (pongamos del orden de millones), y realizar a partir de allí una gráfica, que posiblemente se aproxime a alguna distribución estadística conocida. Posiblemente, echando un vistazo a la gráfica nos podamos hacer una idea de lo que sería razonable pagar por jugar.
    Habría que tener en cuenta también un factor importante: ¿Se puede jugar una única vez? ¿O se puede jugar tantas veces como queramos? (De manera análoga al dilema de prisionero y su versión reiterada)
    votos: 3    karma: 27
     *   prejudice prejudice
  29. #36   Que curioso, un amigo me planteó este dilema hace un par de semanas mientras estabamos echando birras. Mi respuesta fue que dependía del dinero que tuviese ya que no es lo mismo tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando) que tener 80 euros y apostar 3 por jugada lo que haría que fuese muy improbable que acabase perdiendo dinero.
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     *   uno_d_tantos uno_d_tantos
  30. votos: 0    karma: 9
  31. #38   Me ha parecido curioso el problema.
    ¿Cuánto estaría dispuesto a gastarme?
    Para empezar me puse en plan Mr Scrooge (tan habitual por estas fechas) y me dije 2€ así no pierdo nunca, como mínimo no gano nada.
    Después pensé arriesgarme, que demonios es un juego, así que pensé que lo lógico sería apostar 4€ ya que tengo un 50% de posibilidades de recuperar mi inversión y a partir de ahí todo serían ganancias... Pero claro con un poco de buena suerte se gana un pastón por solamente 4€
    Así que me dije, en la Lotería de Navidad se tiene una posibilidad muy mínima de ganar y aún así juego... Pero claro que si apuesto hasta la misma posibilidad que tengo en la lotería de Navidad me gastó un pastón y no es plan.
    Por lo que he llegado a la conclusión de Bernoulli ¿cuánto dinero no me importaría perder con la posibilidad, remota, a cambio de hacerme rico... supongo que unos 50€ por probar una vez.

    Pero he pensado el problema de otra forma.... ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a que fuese la cantidad para jugar si fuese yo el que hiciese el juego? 50€ parece una cifra razonable, pero si tengo mala suerte me despluman por solamente 50€, tendría que realizarlo muchas veces para recuperar el dinero y cuantas más lo realizase más posibilidades de que me volvieran a desplumar, así que lo mejor sería una cifra más alta, pero si pido mucho más nadie estaría dispuesto a apostar ¿estaríais dispuestos a proponer el juego? ¿A qué precio?

    En otro orden de cosas, hace unos días he descubierto un juego tonto pero interesante, y para ser legal he de decir: He perdido el juego.
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  32. #39   #16 Si yo ya estudié estadística, hace veinte años, pero también mates, y cuando llegas a una indeterminación, te has de buscar la vida (L'Hopital, mierdecilias de esas cuando un algoritmo te sale 0/0 o infinito/0)
    Que una suma sea infinito es, si acaso, una divergencia, no una indeterminación y por lo tanto no ha lugar aplicar ningún L'Hôpital ni nada. No hay ningún problema con la suma: infinita veces uno es infinito. Es relativamente intuitivo y creo que #gaussianos te lo ha explicado todo bastante bien.
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  33. #40   Gaussianos, con toda la humildad del mundo, creo que habéis planteado mal la cuestión.

    Primero habláis de que las caras son nuestra baza y una vez sale cruz, el juego termina, pagando la banca en función de las caras que han salido.

    Sin embargo, luego habláis de caras como punto de escape.

    Si he entendido bien y con las caras duplico, y con las cruces termina la partida, jugaría un 10% de mi stack como apuesta inicial y acabaría siendo rico.

    Quizás me haya columpiado al intentar entenderlo, porque me parece un caramelito.
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  34. #41   #37 Oh, es que me pasa un poco como a los matemáticos con los teoremas. Me gustan los trolls. Discutir con ellos me parece un ejercicio interesante en sí mismo. Tal vez yo sea un poco troll también xD
    votos: 1    karma: 17
  35. #42   Por cierto este artículo me ha recordado a la estupenda serie de El Cedazo sobre Teoría de Juegos eltamiz.com/elcedazo/series/teoria-de-juegos/
    Al que no conozca El Cedazo se lo recomiendo calurosamente, es una extensión de El Tamíz e igual de excelente (o casi)
    votos: 1    karma: 30
  36. #43   #35 Me acabo de permitir el lujo de realizar un pequeño script en python que simula un millon de jugadas y te dice la media.

    pastebin.com/7z88EHXr

    Después de ejecutar el script 10 veces, he obtenido las siguientes medias:
    18.650978
    10.333214
    8.383532
    12.136228
    9.562446
    10.084366
    17.017284
    10.153694
    9.43742
    11.296562

    Sacad vuestras propias conclusiones pero yo de aquí deduzco que sería razonable pagar 8 euros por jugar. Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug
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  37. #44   #16 Empecemos con que aquí lo que hay es una suma de términos que son a su vez producto de un número cada vez más grande con un número cada vez más pequeño:

    S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ... (M representa el número grande, m el pequeño y S la suma)

    Es decir, los términos Mi·mi tienen como límite ∞·0, y ahí hay que saber qué hacer con ellos, hasta ahí de acuerdo.

    Por ejemplo, si los Mi se comportasen como una progresión aritmética (1, 2, 3, 4, 5...) y los mi como una progresión geométrica (½, ¼, ⅛...) se vería que los productos sucesivos Mi·mi tienden a 0. (También se vería que la suma es finita, por cierto.)

    Por el contrario, si los Mi tomasen los valores 1, 2, 4, 8... mi y los mi creciesen mucho más lentamente (por ejemplo, si fueran fracciones cuyos numeradores son 1 y cuyos denominadores siguen una progresión aritmética: 1, ½, ⅓, ¼...), estaría claro que los productos sucesivos Mi·mi tienden a infinito (y por tanto que la suma es infinita).

    Ahora vamos al grano.

    En este caso, los Mi siguen una progresión geométrica de razón 2: M1=2, M2=4, M3=8, M4=16, ..., Mi=2i para cualquier índice natural i (con "natural" me refiero a "perteneciente al conjunto de los números naturales", es decir, 1, 2, 3, 4...). Los Mi representan el dinero ganado si la primera cruz sale en la tirada número i.

    Los mi también siguen una progresión geométrica de razón ½: m1=½, m2=¼, m3=⅛, m4=1/16, ..., mi=1/2i, que es igual a 2-i. Los mi representan la probabilidad de que la primera cruz salga en la tirada número i.

    La esperanza es igual a la suma de los sucesivos productos de cada una de las ganancias posibles (los Mi) por la probabilidad de obtener esas ganancias (los mi):

    S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ...

    En este caso, hay infinitos términos: la primera cruz puede salir en la primera tirada, en la segunda, en la 1564ª, etc. No hay límite teórico incluso aunque las sucesivas probabilidades se acerquen más y más a cero.

    ¿Cuánto vale esa suma?

    Si el término general para los Mi es 2i y el término general para los mi es 2-i, el término general para Mi·mi es 2i · 2-i = 2i-i = 20 = 1.

    Como la esperanza es una suma de infinitos términos de tipo Mi·mi, es una suma de infinitos unos, y por tanto no está acotada (es infinita).

    Vamos, que Gaussianos tiene razón.
    votos: 4    karma: 58
     *   sabbut sabbut
  38. #45   Este tema está un poco repetido, además, concuerdo un poco con la comparación de aquiles y la tortuga como dice #8. Esto se puede entender como el caso contrario, que sí es más acertado.

    ¿Jugaríamos a un juego en donde la probabilidad de ganar es muy alta, pero en caso de perder serían perdidas infinitas? Digo que esto es más real porque tiene mucho que ver con la medida de riesto VaR (Value ar risk, valor de riesgo). Se trata de que en principio al realizar inversiones fuertes, se estudiaba la probabilidad de que la inversión diera perdidas. Y se pueden realizar muy buenos estudios donde se puede decir con 95% 97% o hasta 99% que un negocio no generará perdidas.

    El problema es que esto solo asegura que la probabilidad de que una inversión de pérdidas es pequeña, pero no nos dice nada de cuanto perderemos. Esto en su momento provocó una crisis financiera. Y ahí es donde entra en juego el VaR, que pretende hacer una estimación teniendo en cuenta las posibles perdidas (en el remoto caso de que se den)

    Me parece que este enfoque "inverso" es mucho más práctico que el típico de la ganancia infinita.

    PS: Por cierto, respecto a este artículo, la relación viene de que es improbable ganar más de lo que apuestas, sobre todo si para participar pagas mucho. Pero existe una remota posibilidad de que ganes muchas veces más de lo que apuestas, y hasta que sea más de lo que hayas apostado en todas las veces anteriores.
    votos: 5    karma: 44
     *   Arth Arth
  39. #46   #36 ¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?

    De todas formas, creo que esta paradoja sirve para demostrar que la esperanza matemática como medición de lo "bueno" que es un juego, no sirve para nada :-D

    Respondiendo a la pregunta del post, me gustaría hacer una simulación, pero apostaría a que el premio medio sería un valor entre 2 y 4 euros (a ojo de buen cubero) ¿ando bien?
    votos: 1    karma: 20
  40. #47   #43 #46 Joder, pues me quedé cortísimo.

    Justo estaba haciendo yo un programilla!
    votos: 1    karma: 20
  41. #48   Dicho esto, por supuesto que se trata de un problema teórico. Ningún casino ofrecería este juego precisamente porque la ganancia esperada (la esperanza matemática) es infinita. Las casas de apuestas, las loterías, etc. obviamente se ganan sus perras a partir de juegos en que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, o sea, por término medio pierde dinero cada vez que apuesta.
    votos: 1    karma: 16
  42. #49   La respuesta, desde un punto de vista matemático, es cualquier cantidad vale, porque en infinitas tiradas siempre acabas recuperando el dinero, aunque al final ganes nada.

    El problema cambia cuando se cambia la perspectiva y asumes el papel de la banca. Es decir, no cuanto estás dispuesto a pagar por jugar, sino qué precio pondrías para ser la banca. La historia está que dependiendo de la cantidad inicial, la banca siempre gana pero no de forma indefinidamente, hasta que alguien saca 20 caras seguidas.

    Por tanto, la pregunta es, estarías dispuesto a asumir el papel de la banca, sabiendo que en cualquier momento alguien puede llevarse todas las ganancias más una deuda. El caso es que la percepción del riesgo cambia. Aunque sea una probabilidad pequeña, las consecuencias son muy graves y se percibe con un riesgo muy superior al que tiene realmente y casi nadie quiere ser la banca.

    El tema se vuelve más interesante cuando en vez de un evento aleatorio del que no se tiene control se habla de un evento sobre el que uno tiene control. Por ejemplo, aunque la probabilidad de morir en un accidente de tráfico es superior a morir en un accidente de avión, la gente tiene miedo a los aviones, pero no a los coches; porque al conducir un coche, la sensación de control da una percepción subjetiva que disminuye la percepción del riesgo.
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  43. #50   jugando en la ruleta lo puedes hacer al negro y rojo, juegas 1 E al negro y si ganas todo tuyo, si pierdes en la siguiente juegas 2E al negro si ganas recuperas el primer euro y ganas el segundo euro apostado, que pierdes insistes con el negro y apuestas el primer euro mas los dos segundos mas otro euro total cuatro, si ganas recuperas lo apostado anteriormente mas un euro, pierdes dale al negro otra vez 1+2+4 que perdiste mas otro para ganar en total 8, asi hasta el infinito, el negro saldra al final y algo habras ganado
    votos: 1    karma: -3
  44. #51   #48 Un casino no tendría problemas. Con la cantidad acertada, casi siempre gana. Cuando alguien saca 20 caras seguidas, se le da una paliza acusandole de haber hecho trampas.

    #50 Con unas matematicas un poco más complejas, así es como funciona la bolsa. El caso es que de vez en cuando toca pagar 1 chillón para recuperar un euro. Aunque luego los economistas lo llamen ciclos de recesión.
    votos: 1    karma: 20
     *   mastermemorex mastermemorex
  45. #52   #47 Primero, te invito a que termines tu programa. Es bastante probable que el mio tenga algún fallo
    Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
    Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
    Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
    votos: 1    karma: 12
  46. #53   #7 Mucho mejor explicado que en el artículo.
    votos: 0    karma: 9
  47. #54   Si llegamos al caso extremo donde n=infinito, la ganancia sería infinita... pero de qué vale si la probabilidad de que ocurra es cero? Al ser la ganancia infinita, eso "desvirtúa" el EV final. Aunque matemáticamente sea posible, también es posible que un millón de monos aporreando un teclado durante el suficiente tiempo acaben escribiendo un soneto de Shakespeare. El problema aquí es que yo no tengo una banca infinita, ni voy a vivir etermamente... así que me juego un euro. Eso sí, me puedo pasar todo el tiempo jugando si hace falta :-D
    votos: 0    karma: 6
     *   Innacio Innacio
  48. #55   #43 Buen trabajo, pero ¿estamos seguros que el resultado es independiente del número de tiradas? ¿Es decir, de ese un millón? Si en lugar de un millón hubieras puesto mil y ante las mismas diez ejecuciones ¿habrías llegado a la misma conclusión? ¿y con mil millones?
    votos: 2    karma: 26
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  49. #56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

    10 resultados cambiando el millón por mil

    8.614
    4.962
    4.786
    6.848
    4.394
    6.85
    4.98
    7.79
    6.502
    6.254

    Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
    votos: 1    karma: 15
     *   prejudice prejudice
  50. #57   El problema me ha encantado, es muy bueno. De cuando estudiaba estadística recuerdo que en un estudio de la normal de Gauss, es normal que salga hasta 18 veces seguidas cruz. A partir de la 18 podríamos pensar que la moneda está trucada.
    No se dar una respuesta al problema. Lo estoy tratando de plantear dando la vuelta y preguntándome por la probabilidad de perder al apostar una cantidad x, pero no termino de verlo.

    Del moderador estoy admirado de la paciencia que tiene al responder.
    votos: 1    karma: 12
  51. #58   #31 lo sé, pero esa sería mi esperanza e ilusión para jugar xD
    votos: 0    karma: 7
  52. #59   #55 Esa es la "trampa", si tienes dinero para jugar "infinitas" veces terminarás ganando. Si miras el comentario al que contestas, y con el que te responden. Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

    A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.

    Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
    votos: 1    karma: 15
     *   Arth Arth
  53. #60   #56 Pero el dinero que sea razonable pagar a cambio de jugar una partida, que es lo que intentamos descubrir con este programa, debería ser independiente del número de partidas que agrupes para hacer una media ¿no crees?

    ¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?

    Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?

    De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.

    Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
    votos: 1    karma: 17
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  54. #61   #7 si apuesto más de 2€ a la larga saldré perdiendo, ¿no?. Teniendo en cuenta, que las posibilidades de que salga cara o cruz están al 50%. Imagino que no será tan sencillo, si es una paradoja, la de San Petersburgo.
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  55. #62   #59 Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

    En un juego en el que la esperanza tuviera un valor concreto y no tendiera a infinito, al aumentar el número de partidas con las que calculamos la media, esa media tendería a precisamente ese valor. Yo trataba de señalar que, en este caso, nuestra estimación de la esperanza (esa media que calculamos) irá aumentando indefinidamente según aumentemos el número de iteraciones del Monte Carlo. Pero eso es por la peculiaridad que tiene este juego. No sucederá con juegos "normales".
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  56. #63   #55 #59 En general, y sin haber hecho pruebas con ese programa, cuantas más iteraciones se metan, normalmente mayor será la media. Explico un poco lo de "normalmente".

    Con un millón de iteraciones...

    hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
    unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
    unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
    ...
    unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
    ...
    unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
    alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
    posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
    probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)

    Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...

    Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.

    Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.

    Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.

    Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
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     *   sabbut sabbut
  57. #64   #60 creo que estamos delante de un problema que no tiene solución (para la versión de una sola jugada) y que al igual el dilema del prisionero, es bastante interesante analizar las posibles soluciones y estrategiaS cuándo se juega n veces

    Los resultados numéricos que me han devuelto mi script no son más que golpes de ciego para saber dónde nos estamos moviendo. Puede que de las fórmulas, se pueda deducir que es divergente. Pero una simulación numérica, puede hacernos una idea de lo divergente que es. En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión
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  58. #65   #59 ¿Infinitas veces? Si yo apuesto 1000 euros, con aguantar una ronda de 10 tiradas (9 caras y una cruz) ya tengo beneficios (1024 de ganancia bruta --> 24€ de ganancia neta) :-S


    El juego es sencillo: para cada premio de 2n, tenemos una probabilidad asociada de 2-n. Y la tirada de la moneda se corresponde con una distribución geométrica G(p) con p=0.5 (la probabilidad de cruz), premios aparte.
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  59. #66   #65 El caso es que si tu patrimonio total fuese de 1000 euros seguramente no querrías apostarlo todo, como se suele decir, a una sola carta.

    #64 Gaussianos en la noticia mismamente...
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  60. #67   Yo me llamo Ralph...
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  61. #68   Al leer la descripción creí que el artículo hablaría del Capitalismo...
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  62. #69   #64 En este caso tiene pinta de ser tan divergente como una función logaritmica, aunque puede que algún matemático tenga alguna idea feliz a partir de aquí y calcule la función con más precisión.

    En realidad, el resultado esperado de una ejecución de tu script con el número de tiradas que sea es tan infinito como el del juego original; aunque la distribución de los resultados cambia. O, dicho de otro modo, la media de mil ejecuciones de tu script con n=1000 tendrá el mismo aspecto que una ejecución de tu script con n=1000000, y que la media de un millón de ejecuciones con n=1; cosa que es bastante obvia si nos fijamos en el código. Los resultados más bajos con n=1000 que con n=1000000 son sólo una "apariencia" que sucede por tener una muestra pequeña; pero la media de muchas ejecuciones tenderá a infinito en ambos casos.
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  63. #70   #66 Ya, eso sí... pero bueno, ahí ya entran otros factores ya no puramente matemáticos, como indica el propio artículo :-)
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  64. #71   #7 "Si te ofrezco en juego por 10000€, ¿jugarías? ¿Y por 1000? "

    No he podido evitar recordar el famoso diálogo:
    - Señorita, ¿se acostaría usted conmigo por un millón de dólares?
    - Por supuesto.
    - ¿Y por un dólar?
    - ¿Qué se cree usted que soy?
    - Eso ya ha quedado claro, ahora estamos negociando el precio.
    (G. Marx)
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     *   thalonius thalonius
  65. #72   #69 Si, mi ordenador es tan rápido que sale de un bucle infinito 2 segundos
    Y me muestra el símbolo de infinito después de ejecutar el script
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     *   prejudice prejudice
  66. #73   #50 Eso se llama martingala, y no, no funciona. Primero porque nadie tiene infinito dinero, y segundo porque para eso esta el 0, para que una de cada 37 veces pierdas tu dinero.

    Como comenta #48, en los casinos ya han pensado en eso unas cuantas veces. No existe juego de casino en el que haya un método matemático para ganar.
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  67. #74   #72 No, claro que ninguna ejecución de tu script dará infinito como resultado. Pero si ejecutas el script muchas veces la media de los resultados tenderá a infinito; del mismo modo que en el juego del que habla el artículo no ganarás nunca infinito, pero si juegas muchas veces la media de lo ganado tenderá a infinito.
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  68. #75   Por cierto, ha sido la mar de agradable leer los comentarios de @Gaussianos, @capitaineAdHoc y @Sabbut especialmente...
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  69. #76   Me parto con meneame, ya sea de física, política, historia, matemáticas... siempre hay gente capaz de discutir sobre cualquier materia, y siempre se creen más inteligentes y listos que el otro. La cosa es discutir.
    Pues yo digo que SÍ----------------ahora viene otro y me dice que -----------NO. Y ya está liada que SÍ que NO que no me insultes, tal....
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     *   sinego69 sinego69
  70. #77   Claro, la esperanza de la ganacia.

    Si jugamos una partida a cara o cruz de las normales (yo me pido cara)jugándonos un euro por tirada la esperanza de lo que gano es 0: 1*1/2 - 1*1/2 <- Esto es para una tirada, todas las tiradas son iguales así que si lo repito infinitas veces gano 0.

    Pero si solo cuento las ganancias también me forro: 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2 + 1*1/2...
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  71. #78   #77 Claro, por eso la pregunta aquí es, ¿cuánto pagarías por jugar?

    #54 Claro, tú te jugarías alegremente un euro y jugarías así miles de veces hasta aburrirte. Porque ganarías siempre, incluso en aquellos casos en que obtienes la primera cruz en la primera tirada. Pero la otra parte (el casino, por decirlo así) sabe que la ganancia esperada es infinita y requiere un pago sustancialmente mayor por partida... desde luego, considerará que el pago de un euro es claramente insuficiente. ¿Hasta qué cantidad aceptarías pagar por cada partida? 2 euros los pagaría yo con los ojos cerrados, porque sé que al menos voy a ganar eso mismo. 3 euros también, porque sé que la mitad de las veces conseguiré 2 y la otra mitad de las veces conseguiré al menos 4. Por el mismo razonamiento, es ventajoso pagar 4 euros. Y 5, y 10, y 20, y cualquier número porque, de nuevo, la ganancia esperada es infinita. Pero claro, en la vida real muy pocos aceptarían pagar 20 euros por partida, o incluso 10. ¿Cuál es tu límite? :-)
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  72. #79   #36
    "tener 5 euros y apostar 3 euros por jugada (con una probabilidad de 1/8 podría perder 3 euros y no poder seguir jugando)"

    #46 "¿por qué probabilidad de 1/8? La probabilidad de palmarlo todo es de un 50%, no?"

    No, la probabilidad de palmarlo todo jugando una vez es 0%.
    Tienes un 50% de llevarte 2 euros y tienes un 50% de llevarte 4 euros o más... así que nunca nunca lo vas a palmar todo jugando una vez.

    Sin embargo, si juegas 3 veces pagando 3 euros cada vez...
    La primera vez tienes un 50% de llevarte 2 euros, así que si jugaste 3 euros esa vez perdiste 1 euro (como tenías 5 euros y pierdes 1 te quedan 4 euros). De esos 50% de casos en los que pierdes 1 euro, la segunda jugada puedes perder 1 euro también, cosa que ocurriría un 50% de las segundas jugadas... el 50% de la segunda * el 50% de la primera = un 25% (1/4) de veces que perderías en las dos primeras jugadas (empezaste con 5 euros, perdiste 1 euro dos veces y te quedan 3 euros). De ese 25% la mitad de las veces perderías en la tercera jugada ... así que son 12.5% (1/8) de veces las que perderías un euro en cada una de las 3 jugadas y en total pierdes 3 euros. Como apuestas "3 euros" y pierdes 3 euros, esto significa que lo palmaste "todo" (eso sí, jugando 3 veces). Bueno, en realidad la frase original no hablaba de palmarlo "todo" sino de no poder seguir jugando... y, efectivamente, si la apuesta es de 3 euros y empiezas con 5 euros al perder 1 euro 3 veces seguidas te quedas con 2 euros y no puedes seguir jugando ya que jugar costaba 3 euros.
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  73. #80   #76
    Los casos más graciosos son casos como este donde alguien que habla sin saber (estudió algo hace 20 años... y por lo que se ve lo tiene muy olvidado) le llama cabezón ( #12 ) a un experto matemático (con años de experiencia, blog de matemáticas, etc). Y no contento con eso habla de dar collejas ( #21 ) a otro, todos le dicen que está equivocado y él sigue convencido de que todo el mundo está equivocado. Ojo, la cosa no es que esté equivocado por estar en contra de la opinión de la mayoría ni en contra de autoridades en la materia... el problema es que se niega a razonar, en lugar de usar argumentos recurre a insultos ("cabezón") y violencia ("collejas").

    "El problema de la humanidad es que los estúpidos están seguros de todo y los inteligentes están llenos de dudas." - Bertrand Russell
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  74. #81   #73 #48 Claro, en teoría los casinos deben estar diseñados para tener ventaja... que puedan perder una vez por mala suerte pero que a la larga ganen dinero. Sin embargo, a veces hay fallos, que lo digan a Los Pelayos que ganaron más de 40 millones de pesetas en los años 90, aprovechando ruletas defectuosas que ofrecían la oportunidad de tener ventaja frente al casino y todo de forma legal (al parecer el Tribunal Supremo dijo que simplemente habían sido listísimos, que no hicieron nada ilegal).
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  75. #82   La espectativa de este juego no es infinita... errónea y redactada de pena.
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  76. #83   #43

    "Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug"

    Creo que tu script tiene un fallo:

    def jugar():
    contador = 0
    while(lanzar_moneda()):
    contador = contador + 1

    if contador > 0:
    return pow(2, contador)

    return 0


    Es decir, si el primer lanzamiento de moneda es False resultaría contador = 0 y return 0 ...

    En ese caso, la esperanza también es infinita pero la suma sería de este estilo: 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .... = 0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ...

    En 1 millón de veces habría:
    500 000 ... 0
    250 000 ... 2
    125 000 ... 4
    062 500 ... 8
    031 250 ... 16
    15 625 ... 32
    7 812
    3 906
    1 953
    976
    488
    244
    122
    61
    30
    15
    7
    3
    1

    Al hacer la media: 0 + 1/2 + 1/2 + ... = 18/2 = 9

    (como ves, unas veces te sale 8, otras 10 ... en media más o menos 9)

    Si lo hubieras hecho bien sería:
    1 + 1 + 1 .... (19 veces) = 19

    (te saldrá unas veces 16, otras 23 ... en media 19)


    Si en lugar de 1 millón de veces lo haces 1000 millones la media te saldrá del orden de 29 ... porque 2^10 es 1024 (aproximadamente 1000) ... así que multiplicar por 1000 es avanzar 10 en el exponente del 2 y, por tanto, en la media. Al ser 1024 y no 1000 por eso me salió 9 en lugar de 10, 19 en lugar de 20 y 29 en lugar de 30 ... pero las medias 10, 20, 30 serían en realidad más exactas.

    Nota1: es posible que en tus ensayos con un millón de veces te salga uno con una media anormalmente alta... podría salir 37, por ejemplo,... sería muy muy muy raro, sí, pero podría ocurrir. (* ver nota siguiente)

    Nota2: la aleatoriedad que dan los algoritmos no es real, son algoritmos pseudoaleatorios... así que es posible que nunca nunca nunca te saliesen por ejemplo 21 caras seguidas (2^20 son ) en tu algoritmo, cosa que en la realidad sí puede ocurrir. Esta nota sería contradictoria con la anterior... es decir, en teoría te podría salir una media muy anormalmente alta pero dada la pseudoaletoriedad no te saldrá NUNCA. Lo cual, evidentemente desvirtúa el ensayo teórico del que estamos hablando... el que haces con el ordenador NUNCA te dará premios muy muy altos y por tanto nunca tenderá a infinito la media en los ensayos por ordenador.
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  77. #84   #82 ¿a qué llamas tú "espectativa" ??? Hay un concepto llamado "Esperanza matemática", concepto bien definido que modela la ganancia media (el beneficio medio), y eso es lo que se dice que es infinito, y sí lo es.
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  78. #85   "la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona"
    Camaradas del meneame, os han vuelto a colar la teoría subjetiva de Carl Menger. Recordemos que según el otro Carl el valor de los bienes y servicios no lo determinan las personas, sino el valor-trabajo invertido por la clase proletaria en las fábricas de los cerdos capitalistas.

    Que no vuelva a suceder.
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  79. #86   #52

    "Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio"

    jajaja ¡No, hombre!
    En el caso peor vas a ganar 2 euros!!!

    ¿te negarías a jugar si cuesta 2 euros???
    jajaja Nadie se debería negar a jugar si cuesta 2 euros.
    Ya que es imposible perder nada, siempre recupero los 2 euros... y con algo de suerte puedo ganar por la cara 2 euros, ó 6 euros, ó 14, etc... sin riesgo.

    Incluso si cuesta 3 euros jugaría seguramente (a menos que perder 1 euro supusiese algo grave para mi o que no sepa si la moneda puede estar trucada): en la mitad de los casos pierdo 1 euro, y en la otra mitad gano 1 euro al menos...

    Jugar cosas como 20 euros ya es más lotería... aunque es un juego ventajoso, jugando 20 en la mitad de los casos perdería casi todo (18 euros) y lo de perder el 90% en el 50% de los casos ya no me parece tan gracioso. Aunque he jugado a la Lotería de Navidad donde se pierde el 100% en el 85% de los casos, así que es peor, pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.
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  80. #87   #56

    Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

    0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

    En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
    (lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


    #60
    "¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


    Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

    En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

    (bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

    En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


    Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

    Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

    Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

    Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
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     *   Acido Acido
  81. #88   #55 No le falla la intuición a #56 ... tiene que ver con el logaritmo en base 2 del número de veces...

    Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.

    Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
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  82. #89   #83 Creo que tu script tiene un fallo:

    Pues creo que tienes razón. Hay que añadir uno al contador de tiradas. Bien visto.

    #86 pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.

    A parte de que en ese caso se une a la decisión de jugar o no el "antipremio" psicológico de que les toque a todos tus compañeros de trabajo menos a ti.
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  83. #90   #83 Aún si los valores fueran aleatorios, los ensayos tampoco demostrarían nada porque el resultado sería impredecible y variable. Podría servir como orientación, en algunos casos, pero la única manera válida de demostración seguiría siendo la que usara argumentos matemáticos (probabilidad, teoría de la medida...)

    O como diría Dilbert: search.dilbert.com/comic/Random%20Nine :-D

    #73 Como me has votado negativo sin haberme argumentado o razonado nada, te lo he devuelto. Eres libre de volver a hacer lo mismo, si te apetece.
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  84. #91   El problema de este juego es que tienes que ser capaz de soportar perder varias veces seguidas. Es decir, si pierdes 1 euro, luego tienes que poner 2 para ganar 1. Si vuelves a perder, tienes que apostar 4 para seguir ganando 1. Y si esto se repite muchas veces, por ejemplo 10, tienes que haber aportado 2047 euros previamente para amortizar un euro.

    El problema viene cuando no puedes respaldar con dinero la siguiente jugada. Entonces pierdes todo.
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  85. #92   Aquí podéis ver y ejecutar el pequeño script con la simulación que he hecho. Después de 60 millones de partidas me da una media de 29€ de premio por partida, aunque es evidente que el resultado más repetido es 2€, seguido de lejos por 4€. ideone.com/bN5C56

    Aunque el script me diga que la media sea de casi 30€ yo no jugaría más de 8€ para tener al menos un 12% de probabilidad de obtener un "reintegro". De poco me sirve que unos pocos afortunados de entre muchos desafortunados se lleven un buen pellizco y suban la media.
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  86. #93   La esperanza matemática no puede ser infinito, pues para que haya una ganancia, el juego debe acabar.
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     *   sapistri sapistri
  87. #94   #78 que no, que esa esperanza esta mal calculada, depende hasta de la divisa con la que apuestes, y desde luego no es infinito.
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  88. #95   #94 Estamos en matemáticas. Demuéstralo. Y de paso demuestra que la esperanza depende de si se juega en euros, en libras o en yenes.

    #91 Ese es el funcionamiento de la martingala, que es una cosa completamente distinta.
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     *   sabbut sabbut
  89. #96   tambien es interesante plantearlo al reves, es decir, ¿siendo tu la banca cuanto estarias dispuesto a cobrar por el juego?
    votos: 0    karma: 9
  90. #97   OLA K ASE
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  91. #98   #80 Ah! Perfecto, llamas la atención a uno que insulta a otro (#12, si es que cabezón es un insulto) insultando a través de una cita. Al menos dilo directamente.

    Coincido con #12 en que si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).
    #84La "Esperanza" es un valor medio de una variable aleatoria, que suele estar definida entre valores concretos para ser de alguna utilidad distinta a la paja mental. La tontería que se plantea en el artículo es tan simple cómo que cualquier número que opere con infinito será absorbido cual peladilla por el monstruo Bu.
    #95 En el cálculo estadístico olvídate de demostrar nada. La "Esperanza" no se demuestra, sino al contrario. Es un parámetro, un instrumento para el cálculo estadístico que debes saber interpretar para usarlo o olvidarte de ello.
    #96 Si tienes a 1 millón de tíos haciendo cola para jugar, con que hagas pagar más de un euro a cada uno no pierdes, y si haces pagar más de dos te forras seguro (salvo catástrofe, claro).
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  92. #99   #98 si quieres tener una mínima seguridad de NO perder, mejor que no desciendas del 50% de probabilidad y no gastes més de 1 euro (perderé un euro o ganaré dos o más).

    En realidad, para tener la seguridad de no perder puedes pagar dos euros, ya que es el mínimo que vas a ganar en la partida. Pero lo que se plantea no es cuanto hay que pagar para tener la seguridad de no perder, es cuanto hay que pagar para tener una esperanza de ganancia positiva.

    Es decir, si pagas por ejemplo tres euros por jugar tienes una probabilidad de 1/2 de perder un euro (si sale cruz a la primera y recibimos 2 euros) y 1/2 de ganar como mínimo un euro (si sale cruz a la segunda y recibimos cuatro euros, o ganar mucho más si sale más tarde). Por lo que podemos considerar que pagar 3 euros por una partida también vale la pena, ya que las posibles ganancias igualan las posibles pérdidas, aunque no tengamos la seguridad de no perder. El caso es que si analizamos el juego desde ese punto de vista para cualquier cantidad que paguemos veremos que jugar "vale la pena", en el sentido de que la esperanza sigue siendo positiva; aunque para valores muy grandes la probabilidad de perder un montón de dinero será muy grande, siempre quedará una pequeña probabilidad de ganar que compensará todas las pérdidas.
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  93. #100   Si la ganancia es infinita yo jugaría la cantidad mínima (¿1 céntimo?)

    ¿Qué más da cuánto juegues si la ganancia es INFINITA?
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