¿A qué hora las tres manecillas de un reloj forman ángulos de 120º entre sí?
NOTA: Suponemos que tanto el horario como el minutero se mueven de forma continua.
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Corrijo, no es así, pues la manecilla de las horas estaría algo más allá de las 8.
#3 Exacto. No solo tienes que tener en cuenta los ángulos, sino las relaciones que se dan entre unas manecillas y otras. El problema no es nada sencillo, y la resolución depende de si consideras que el segundero se mueve de forma discreta o continua.
#4 En el reloj que llevo puesto, el segundero no se mueve de manera continua sino discreta.
#5 Pues entonces puedes probar con ese tipo de reloj.
#6 Una solución posible es a las 4:00:40. La manija de las horas estaría exactamente en el 4, la de los minutos exactamente en el 12, y la de los segundos exactamente en el 8.
#7 No es correcto. Si la manija de los segundos está en el 8, entonces la de los minutos no está en el 12, sino un poco más adelante. El minutero se mueve de forma continua (a lo mejor lo tendría que especificar en el enunciado).
#8 Igual es que mi reloj es raro, pero la aguja de los minutos se mueve en cuanto se pasa de un minuto a otro. La de las horas sí es de movimiento continuo.
#9 Vale, modifico el enunciado para especificarlo.
#18 Es la gracia de los acertijos
#19 Para una que no hay que buscar en la wikipedia primos, compuestos ni transcendentes...
Llego tarde
#21 ¿Por qué tarde? ¿Cómo lo resolverías?
#22 A las 12 y 20 con 40 segundos (aprox) tendríamos el primer acierto.
Pasadas una hora, cinco minutos y cinco segundos. El segundo.
Y siguiendo, siguiendo... Otra vez fin de semana
#23 No es correcto. A esa hora, el minutero está más cerca del 21 que del 20, por lo que no forma un ángulo de 120 grados con el minutero.
#24 Pero coincidirás conmigo en que "ocurre" un montón de veces al día
#25 Depende de si consideras el segundero discreto o continuo. Si es discreto, no.
#26 En el enunciado pone "contínuo" pero voy a ver si es posible con uno digital.
#26 Si. Cada 5 horas (aprox)
O nunca si nos ponemos muy precisos...
#26, ¿para continuo tiene solución? No me he puesto a pensarlo, pero teniendo en cuenta que hay una cantidad finita de veces en las que hora y minutero están a 120 grados (y este tipo de problemas no recuerdo si los hacía en EGB o primero de BUP) sería mucha casualidad que justo en uno de esos finitos casos el secundero caiga justo donde debe caer. Así que por probabilidad pensaba que no tendría solución, pero vamos, sin estar seguro. Al final me vas a hacer que me ponga con el problema y todo.
#33 Yo solo lo he hecho para discreto y no tiene solución (salvo que me haya equivocado). Para continuo he pensado que a lo mejor es más fácil un planteamiento físico que uno puramente matemático, es decir, hacerlo con velocidades angulares en vez de únicamente relaciones entre ángulos.
#34, pues lo he hecho con el continuo. He calculado la posición del minutero si la hora está en [A,A+1), bueno, en 2 casos, que el minutero esté 120º por delante o por detrás. Y luego en cada uno de los casos que sale calculo la posición de los segundos y veo si está a 120 grados respecto el minutero. Esto último lo que hago es dividir entre 6 para sacar la posición en minutos, coger la parte decimal y multiplicar por 60 para sacar los segundos, y restar estas dos cifras y ver si dan 20.
En ningún caso me ha dado 20. así que salvo que me haya equivocado al meter los datos en la calculadora (bueno, en maxima y un par de comandos for) no tiene solución como me imaginaba.
#41 Pues qué decepción. Yo lo hice para el caso discreto y sí se puede probar fácil que no hay solución. Para el continuo no lo he hecho. Pensé en la solución física (con velocidades angulares) y en la matemática (con relaciones entre ángulos), pero no resolví ninguna, solo lo dejé planteado.
#42, teniendo en cuenta que hay una cantidad finita de casos donde hora y minutos están a 120 grados, era muy improbable que en alguno de estos casos los segundos estuvieran donde debían.
#33 Ya te digo. Cada hora, cinco minutos y cinco segundos. Es físicamente imposible que la saetas no pasen por esa posición, un montón de veces al día. Es la única respuesta "válida" al problema.
#19 No tiene gracia si no tiene respuesta.
Tampoco o menos aún si no "admites" respuestas "esotéricas".
Aún con las saetas moviéndose a la velocidad de la luz, existe ese momento.
Confiesa!!! (o pongo muchas más admiraciones)
9:05:25,083''
Yo creo que no hay ninguna solución, ni para el segundero continuo ni para el discreto.
La mejor solución sería la que ha propuesto #14 pero justo cuando el minutero hace 120º con el horario el segundero está en 27s en lugar de a 25.
La otra solución mas cercana sería considerando que el minutero está retrasado respecto al horario en lugar de adelantado a las 2:54:34 pero de nuevo cuando forman 120º el horario y minutero es justo cuando el segundero está en 32 en lugar de 34.
#29 No me lo he inventado. 5 ecuaciones, 6 incógnitas. Dada una hora cualquiera habrá un minuto y segundo que cumplirán las ecuaciones, o eso creo. En este caso he supuesto que la hora es 9, pero creo que podría hacerse con todas.
h (ángulo) = (hora + min/60) *30
m (ángulo) = (min + seg/60) * 6
s (ángulo) = seg * 6
h = s +120
s = m + 120
Estas últimas pueden variar según esté antes la aguja del minutero o segundero.
#35 Bueno yo tengo una visión un poco distinta de la primera ecuación. Para mí sería:
h (ángulo) = (hora + min/60 + seg/3600) *30
Es decir, la posición del segundero hace que se mueva la del minutero un poco y ese poco hace que se mueva el horario. Entendiendo que las variables "hora", "min" y "seg" son enteros, claro. Igual por eso están los 2 segundos al que hago referencia.
Yo lo he hecho un poco distinto y es olvidándome del segundero:
h (ángulo) = hora *30+ m (ángulo)/12
m (ángulo) = h (ángulo) + 120
y así tengo para cada hora exactamente las posiciones angulares de horario y minutero en las que están separadas 120º. Calculo para esa posición del minutero a cuantos segundos corresponde y lo comparo para el que sería desplazado 120º. Por eso tengo que el error es en el caso que dices de 2s (10º). Para las demás horas hay también un valor, pero peor. Por ejemplo, para las 5:49 para que el segundero estuviera a 120º debería ser 9s pero el horario y minutero forman exactamente 120º cuando el segundero está en 5s, 22º de error.
#36 Tienes razón con la fórmula, no había tenido en cuenta que la posición de la aguja de las horas se mueve también con los segundos. Aún así es una variación pequeña. Creo que te equivocas con lo de 5s. He hecho la prueba y me sale 9s.
#37 Igual me he expresado mal. Claro que son 9s, a las 5:49:09 es justo cuando la horaria está a 120º con el minutero y a 120º del segundero. El problema es que no es exactamente 120º.
La horaria estaría a 174,58º, y el minutero estaría a 294,91º, por lo que la separación serían 120,33º.
Para que la horaria esté exactamente a 120º con el minutero tendría que ser las 5:49:05, que la horaria estaría a 174,56º y el minutero a 254,56º. Pero claro el segundero está en 5s en lugar de 9s, eso da los 22º de error en el segundero al que me refería.
#43 Como dcía #36, la fórmula del ángulo de las horas no es correcto. Sería:
h (ángulo) = (hora + min/60 + seg/3600) *30
así que el resultado final varía un poco, que imagino que serán esas décimas que te faltan.
#14 Ahí entre el horario y el minutero salen 119,4 grados, no 120.
Calculando las trayectorias en plan, Tren sale de la ciudad A y la ciudad B, pero en radianes por segundo, en vez de metros.
Tienes en cuneta que cuando llegan a 2Pi, empiezan desde el principio, y la distancia a la que deben estar es: 2PI/3
La hora la sacas traduciendo radianes a horas, o minutos, según la manilla. Vale una simple regla de tres.
A las 12 vueltas, se supone que ya todas las posibles posiciones han sido cubiertos, se repiten los cilos deposiciones.
#30 Lo resolvería con un programa... claro:
Podemos usar como unidad de distancia "S", que es la distancia que hay entre palitos chiquitos.
Posicion del secundero (Ps): [1 * t] mod 60
Posicion del minutero (Pm): [(1/60) * t] mod 60
Posicion de la hora (Ph): [1/720 * t] mod 60
Cada 3600 * 12 segundos, la manija de la hora cierra su ciclo, las tres en realidad. Vuelven a la misma posición.
Lo ejecutaría 43200 veces para ver si Ps - Pm = Pm - Ph = 20 S ( a 20 eses, veinte palitos chiquitos del reloj, eso son 120 grados exactos)
Lo repetiría para las 6 combinaciones posibles:
Hora Minutero Secundero -> Ph - Pm = Pm - Ps
Hora Secundero Minutero -> Ph - Ps = Ps - Pm
Minutero Hora Secundero -> Pm - Ph = Ph - Ps
Minutero Secundero Hora -> Pm - Ps = Ps - Ph
Secundero Hora Minutero -> Ps -Ph = Ph - Pm
Secundero Minutero Hora -> Ps - Pm = Pm - Ph
43200 iteraciones * 6... asequible para cualquier ordenador de hoy en dia.
Esto sería para el caso de un reloj de engranajes, en el que cada vez que el secundero se mueve, las otras dos manijas se mueven con el de forma "discreta". podríamos obtener la lista de todas las posiciones donde están las tres a la misma distancia, no solo 120 grados.
#31 Lo podemos reducir a cada 720 segundos, pq es cunado la hora coincide con un palito chiquito... sino le resulta imposible estar a 20 S's o 40 S's de la manija del secundero.
Detectando casos continuos:
4 casos:
Cuando Ph y Pm estan a 19 S's de distancia o Pm - Ph están a 21 S's.
Cuando Ph y Pm están a 39 S's de distancia o Pm y Ph están a 41 S's.
Puedes añadir la regla que cunado Px - Py, y Py > Px... NADA! Si están a 20 S's ( o... -20) de distancia, también están a 40 S's... hay que mirar esta propiedad mejor, pero el programa es viable.
Estoy haciendo la prueba de si se puede comentar.
A las 8:20:00 se da esa circunstancia.
Teniendo en cuenta que la agujas se mueven contínuamente estaría alrededor de las 12:42:22
Veo una pequeña trampa. Pasada la media hora, la aguja horaria estará entre dos (las doce y la una), el minutero cerca de 40 y el segundero hacia el 20. Me siento incapaz de calcularlo, pero creo que van por ahí los tiros.
#15 Como dices, la aguja de la hora andará ya cerca de la una, así que no es correcto.
#17 Me divierte pensar y equivocarme. Seguir pensando y acertar o no, pero cavilar un poco.
Cada hora y cinco minutos
Edit (aproximadamente)
Para las manijas de la hora y el minutero, por ejemplo a las 13:49:05.46
Espero que la solución no sea "a ninguna".
#11 Puede ser. También depende de si consideras el segundero discreto o continuo. En cualquier caso, el problema se puede enfocar de dos formas muy distintas y tengo curiosidad por ver cuál de las dos se le ocurre a la gente (o si pensáis en enfocarlo de una forma distinta).
Para continuo seria esto
α=(2pi/60)*t
β=(2pi/3600)*t
γ=(2pi/43200)*t
|α-β|=|β-γ|=|α-γ|=2pi/3
ahora a resolverlo
No tiene sución exacta, como ya han dicho. Al menos si la hora y el minutero se mueven de forma continua.
El angulo entre la hora y el minutero cambia siguiendo una funcion continua, cuando imponemos que el angulo entre estas dos agujas debe ser 120 graros, tenemos 24 soluciones unicas. El problema: la posicion del segundero queda tambien determinada cuando imponemos el angulo entre la hora y el minutero. Así, hay 24 combinaciones al dia en las que la hora y el minutero forman 120 grados, pero para que se de el caso el secundero tiene que tener un valor concreto en un espectro continuo de 0 a 60 en el que no formará un angulo de 120 grados con las otras manillas. Simplemente hay mas condiciones que grados de libertad.
Lo unico que se puede hacer es resolver los 24 sistemas de ecuafiones simples y mirar cual se queda mas cerca, pero va a ser que estoy muy vago, jaja
11:15 ?
#13 No. El ángulo entre el horario y el minutero es de menos de 120. Además, te falta la posición del segundero.