¿Algún problema, Arquímedes?
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Lamentablemente, la dimensión fractal no cuenta.
#1 Ya está el listo que todo lo sabe abriendo la boca...
#11 El premisa del autor es el siguiente: curvas que encierran desde fuera la misma figura geométrica (dejando entre la curva y la figura un área tan pequeña como queramos), deben tener la misma longitud. Aplicándolo a este caso concreto, llega a la conclusión (por comparación) de que Pi=4. Sin embargo, la premisa de la que parte es falsa, como comenta #1, debido a que las sorprendentes propiedades de los objetos fractales (frase efectista para quitarme el marrón de encima: que te lo explique la Wikipedia )
Una forma que a mí se me ocurre de ver que esta forma de razonar no puede ser válida, podría ser la siguiente:
El autor ha elegido una forma contreta de ir acotando el círculo desde fuera: quitándole cuadraditos (con uno de sus vértices tocando el círculo). Esta acción concreta, no altera el perímetro, por lo que al repetirla (iterarla) hasta el infinito el perímetro no varía, y acaba por deducir (erróneamente) que Pi=4. Esto es debido a que el perímetro construido es fractal. Sin embargo, hay otras opciones para elegir la acción a iterar:
- Quitar triángulos o "cuñas" (con uno de sus vértices tocando el círculo): podríamos ir formando un perímetro fractal muy anguloso, con forma de sierra, de tal forma que tras infinitas iteraciones dedujésemos que Pi>4 (pues el perímetro fractal resultante sería más anguloso que el caso de los cuadraditos).
- Quitar los trozos sobrantes tras trazar rectas tangentes al círculo (cojemos un arco de circunferencia que no tenga todavía ninguna tangente, y trazamos una recta que sea tangente a ese arco en su punto medio). Repitiendo este paso infinitamente obtendríamos un perímetro no fractal, de longitud 3.1415...=Pi.
Como venga por aquí Leibniz van a haber ondonadas de hostias...
#5 VA A HABER
#6
#6 VAN A HABER (Mayúsculas, negrita, y cursiva... ¿Quien da mas?)
#9 Se te ha olvidado esto:
#6 Tenga usted la bondad de prestar un poco de atención al fragmento de texto en cursiva, si es tan amable. No obstante, no creo que sea preciso recaer en el exceso del que hace gala nuestro apreciado #9
Un cordial saludo.
#5 Se va abé un follón..
Según mis fuentes es errónea:
#4 Qué crack!
Cuando los recortes tienden a infinito, infinito se seca.
(No pude resistirme...lo siento )
Es 4 factorial... imbeciles!
#21 y #24 no sé por qué decís eso pero si lo pensáis de verdad 4!=24 (nada que ver con pi)
#21 #25 Habéis interpretado mal lo de 4!: No es "factorial de 4", sino "¡Aibalaostia, el resultado es 4!".
¿Por qué? Porque el perímetro inicial del cuadrado es 4 (siendo el de la circunferencia Pi=3.1415...) y las sucesivas alteraciones del perímetro no alteran su longitud.
#43 Me duele tener que decirtelo.. pero era una broma.
#45 Ahí les has dao... jo habrá que poner lo de para que se entienda...
Que alguien me explique dónde falla el razonamiento
#11 ¿O sino qué?
#11 Empezando en que todos saben que pi no es cuatro...
#14 ¿De verdad no se te ha ocurrido nada mejor?
#11 Por mucho que vayas realizando esa operación con el perímetro obtendrías un círculo dentado, si no quieres que sea dentado tienes que reducir el tamaño.
Otra opción es que cojas una tabla, pongas 4 clavos y con hilo forma un cuadrado, luego con un compás y dibuja un círculo que este justo dentro, cortas el hilo y comprueba si es verdad o no lo del dibujo.
#15 No hay demostración más sencilla de que no es 4. Y además, el hilo que sobra te lo puedes atar al dedo para acordarte para siempre de que pi no es 4, jaja.
#11 siguiendo esa lógica, cuando tiende a infinito, tiende a 4, pero en infinito no es 4.
#11
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_circulo
Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener sqrt} con regla y compás, es decir, se podría obtener sqrt} [raiz de pi] por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentes son un subconjunto de los números reales que se caracterizan, entre otras cosas, precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si pi , es un número trascendente, como demostró Lindemann, sqrt} también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.
#17 Pero eso es un problema referido al área de un círculo y aquí lo que nos interesa es la longitud de una circunferencia, no? Las dos fórmulas tienen Pi, claro
#19 Toda la razón, culpa mia.
Deberías negativizar sin piedad mi comentario
#11 Creo, que el error en la demostración "visual", es por que la suma infinita de los nuevos perímetros no es convergente, y entonces no se puede sumar.
Aristóteles lo calculó con un hexágono inscrito y doblando el numero de lados hata 96!!! y se aproximó mucho!!!
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
#11, yo te contesto que por ahora creo que no he visto que te den una respuesta buena. Ni dimensiones fractales ni leches. De hecho en el dibujo no sale ningún fractal (aunque pueda parecerlo).
La hipótesis que se ha hecho falsa es la siguiente: si una serie de conjuntos "tiende" hacia otro conjunto, entonces su perímetro también converge.
#33 Seguro que no convergen?, pues a mi a ojo me parece que si oye. Y eso no tiene nada que ver con la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo, que es lo que es PI.
#36, tu ojo te engaña, te lo aseguro . En el dibujo el borde de una figura converge al borde de la otra, pero el perímetro (longitud) no tiene por qué converger.
#38, no sé exactamente a qué te refieres con los polígonos, supongo que te refieres a aproximar la circunferencia por polígonos regulares y calcular el perímetro como el límite de los perímetros de estos. Creo que ahí la hipótesis SÍ es verdadera porque las figuras con las que aproximas tienen cierta propiedad que permite asegurar que se cumpla: son convexas (una figura es convexa si cada vez que coges dos puntos de su interior, el segmento que las une queda dentro de la figura). En el ejemplo de la noticia, el círculo es convexo, el cuadrado inicial también, pero el resto de figuras que salen no lo son. Recalco que he dicho creo, pero no te lo aseguro al 100% ahora mismo, que hace años desde que estudié cosas de estas y mi memoria no es perfecta
#33 pero entonces las aproximaciones realizadas por sucesivos poligonos no serian validas por el mismo motivo, no? ya que la hipotesis es la misma..¿?
Buen ejemplo para una introducción al cálculo infinitesimal.
El fallo ya lo ha explicado bien #33. Que una sucesión de curvas converja no implica que sus longitudes converjan a la longitud del límite.
#11 y a los demás, la hipótesis que falla es, en la demostración de Arquímedes, la de los polígonos regulares. Un polígono regular es el que tiene TODOS sus lados IGUALES, al quitar las esquinas, ya no es un polígono regular.
No le deis más vueltas.
#11 y a los demás, la hipótesis que falla es, en la demostración de Arquímedes, la de los polígonos regulares. Un polígono regular es el que tiene TODOS sus lados IGUALES, al quitar las esquinas, ya no es un polígono regular.
No le deis más vueltas.
#11 Es una ilusión visual, en la viñeta 3, efectivamente el perimetro es 4. En la cuarta ya no lo es, si vieras la imagen en grande verías que los cuadraditos ya no son cuadrados.
Es 4! no 4.
La cuestión es la siguiente:
Conforme se van haciendo los cuadrados más pequeños, da la sensación de que el perimetro se aproxima a la circunferencia, dando la sensación de que en infinito serán lo mismo, y al ser siempre el perímetro 4, sería pi=4.
El truco está en que, si bien es cierto que la forma se aproximará a la de la circunferencia, cada vez que dividimos en dos un cuadrado para hacerlo más pequeño, estamos al mismo tiempo multiplicando el número de cuadrados, de modo que el producto del número de cuadrados por su lado se mantiene constante. Así, obtendremos una circunferencia dentada, con dientes muy pequeños (tienden a 0), pero un número muy elevado de ellos (tienden a infinito).
#50 me ha gustado tu explicación (también las de los perímetros fractales)
Al final, como en muchas otras paradojas matemáticas (por ejemplo la de Zenón de Aquiles y la tortuga) la cosa se reduce al producto 0·infinito.
A veces la intuición nos dice que 0·cualquier cosa tiene que ser 0.
Otras veces que cualquier cosa·infinito tiene que ser infinito.
La realidad es que es una indeterminación; cualquier resultado es posible.
En este caso 0·infinito es la diferencia entre el perímetro del círculo y el del círculo dentado. La intuición nos dice que es 0, pero en realidad es Pi-4.
#c-56" class="content-link" style="color: rgb(227, 86, 20)" data-toggle="popover" data-popover-type="comment" data-popover-url="/tooltip/comment/1097829/order/56">#56 # 50 me ha gustado tu explicación (también las de los perímetros fractales)
Pues las dos están mal, igual que la tuya de 0 * infinito Ninguna de esas "explicaciones" aclara la paradoja, son cosas que no tienen nada que ver con ella.
#50 de modo que el producto del número de cuadrados por su lado se mantiene constante
¿¿Ein?? No entiendo cómo la gente te vota positivo.
Primero, en las figuras no hay ninguna división en cuadrados, sólo una sucesión de líneas quebradas (o de polígonos de cada vez mayor número de lados) así que difícilmente podrás contar cuadrados. Para poder contarlos primero tendrías que decir cuáles son. Segundo, si te refieres al conjunto de todos los cuadrados que se van quitando, te diré que son rectángulos, no cuadrados. Tercero, si multiplicas una cantidad de cuadrados por su lado obtienes un área, no una longitud, así que no sé a qué viene contarlos. Y cuarto, el área de todos los rectángulos que se quitan no permanece ni mucho menos constante, parte de 0 y tiende a 1 - pi/4.
Esta noticia prueba dos cosas, a saber:
Que una serie de cuatros (4,4,4,4,4,4...) converge a: 4 !!!
y también que menéame tiene una crisis de inteligencia (véanse los comentarios)
La intuición es engañosa cuando el infinito aparece de por medio. Y no fue Arquímedes el primero en calcular pi, los egipcios ya lo habían hecho y le asignaron el valor 3.
#29 Alaaaa!
"los egipcios ya lo habían hecho y le asignaron el valor 3."
Los egipcios utilizaban el valor de pi = 22/7 (tenian fracciones que escribian con partes del dibujo del ojo de horus) lo que les daba un valor de 3.1428... o sea, un error de 0.00126... un grado de error de una milesima... bastante aceptable diría yo... y muy inferior a los errores de ejecución con las herramientas que tenian.
Trollscience, grande 4chan. Me extraña que esta llegue a portada, las tienen mejores.
#30 quizás no lo mejore, pero aquí hay toda una enciclopedia de esa ciencia
http://trollphysics.tumblr.com
Ah que bien, como sigamos así, meneame va a pasar una forma de ver reddit con tres días de retraso...
#27 http://www.reddit.com/r/math/comments/e6q4r/troll_math_pi_4_crosspost/
#31 pues sí, pero vamos, veo por tu nick que no soy el único que empieza a pasar más tiempo en reddit que aquí
#27 #31 #34 Y la respuesta a todo esto ya está en Reddit:
http://www.reddit.com/tb/e91ql
A ver cuanto tarda en aparecer en Menéame.
(yo también paso más tiempo en Reddit seguramente )
Sí, bueno, el mecanismo de esa demostración consiste en llegar a una operación tipo 0 (que es a lo que tiende la longitud de cada segmento de la cosa con la que envuelven el círculo) por infinito (que es el número de segmentos que te harían falta), que puede dar cualquier cosa: Pi, cuatro, ocho, un bocadillo de chorizo frito...
La verdad es que es una tomadura de pelo la mar de interesante y nada estúpida, porque enlaza con el problema de raíz de toda una rama de las matemáticas, la Teoría de la Medida, que por lo general parece un sinsentido: esa rama consiste en afirmar que toooda la teoría que hay debajo de las integrales que se hacían antes de su invención (y fue a principios del siglo XX, creo) estaban conceptualmente mal, y después de un año de clases divagando al respecto la conclusión a la que se llega es que hay que hacerlas de otra manera cuyo resultado, las más de las veces, es... exáctamente el mismo, ja ja.
Míradlo así: ¿Y qué pasa si en lugar de considerar ese cuadrado consideras uno que en vez de recortar quitándole rectángulos va a empezar circunscrito a la circunferencia y al que vas a ir añadiendo rectángulos en sus lados para ir rellenando el círculo? Evidentemente el primer cuadrado no tendrá perímetro Pi, tendrá perímetro, hum, déjame calcular así rápido a ojo, 2 x (raíz de 2), que es 2.828...
Entonces podrías ir añadiendo rectangulitos y rectangulitos (aquí ya no entro en detalle porque es un puto jaleo, aunque seguro que algún griego se curró esto para aproximar Pi antes de que pensasen que era mejor hacerlo con otros polígonos de más lados que, directamente, se pareciesen más a Pi) y te saldrá una sucesión que convergerá, bastante despacio, a Pi.
Como evidentemente las dos formas deberían funcionar parece que hay una contradicción, pero ya digo: en matemáticas, en 4º, en Teoría de la Medida, la conclusión final será que no hay contradicción porque la primera forma, simplemente, está conceptualmente mal.
(Y por cierto, la estimación es aún peor que la de la Biblia, que dice que vale 3 y acierta bastante más)
(Y por cierto bis, ¿y qué dirán todos esos estúpidos yanquis que creen la Biblia literalmente cuando leen esas cosas? Me los imagino haciendo una piscina redonda y diciendo "leche, aquí algo no falla"...)
#60 La verdad es que es una tomadura de pelo la mar de interesante y nada estúpida, porque enlaza con el problema de raíz de toda una rama de las matemáticas, la Teoría de la Medida, que por lo general parece un sinsentido: esa rama consiste en afirmar que toooda la teoría que hay debajo de las integrales que se hacían antes de su invención (y fue a principios del siglo XX, creo) estaban conceptualmente mal, y después de un año de clases divagando al respecto la conclusión a la que se llega es que hay que hacerlas de otra manera cuyo resultado, las más de las veces, es... exáctamente el mismo, ja ja.
Para nada. Lo que hacen las integrales modernas, como la de Lebesgue y compañía, es ampliar el concepto de integral. Funciones que antes no eran integrales ahora lo son, y por supuesto para las que ya lo eran antes el valor de su integral es el mismo. Por otra parte, lo bueno que tienen las integrales basadas en la teoría de la medida, aparte de ser más generales, es que se comportan mejor para los límites (el límite de las integrales es la integral del límite, etc.) y en general tienen mejores propiedades que la integral antigua (de Riemann), en el sentido de que los teoremas sobre ellas son mucho más sencillos y potentes (y fáciles de demostrar).
#60 Por otra parte, la integral de Riemann no está "conceptualmente mal", simplemente es más restringida e incómoda de manejar.
Un poco antiguo...
A esa estimación le falta 1 paso importante para llegar a una aproximación decente, y se hace usando el teorema de pitágoras de toda la vida.
Premisa: La suma de los lados de un triángulo rectángulo siempre es mayor a la hipotenusa. (Aunque la suma de los cuadrados de ésta sea igual al cuadrado de la hipotenusa)
Paso adicional: Una vez que has "fraccionado" tu cuadrado en N partes, y considerando que los diferenciales de longuitud de circunferencia (entre cada 2 de esas N líneas que has ido amoldando) se pueden considerar como rectas, habrás formado pequeños triangulos rectángulos... ahora basta con calcular la hipotenusa de todos esos pequeños triangulos y ese valor sí que tenderá a PI =)
Explicación más sencillota que las anteriores (que no digo que sean erróneas):
Por muchas iteraciones que hagas (por muchas veces que "quites esquinas"), si haces zoom al nivel suficiente seguirás viendo líneas rectas. Nunca verás un perímetro realmente curvo.
Así pues, puedes repetir infinitas veces el procedimiento de "quitar esquinas", pero nunca llegarás a tener una verdadera circunferencia.
Es lo mismo que si intentas calcular la hipotenusa a base de aproximar cuadraditos. El truco está en que estás "comprimiendo" la línea, como si le dieras más grosor. Imaginemos una cuerda de un punto A a un punto B. Si la cuerda está tensa, medirá X. Pero si le damos forma de zigzag o de muelle, pasará a medir más aunque realmente esté midiendo la misma distancia.
Básicamente se rodea una circunferencia de longitud PI con una "línea" de longitud 4, y lo que pasa es lo mismo que si lo intentamos en la realidad: La línea queda arrugada alrededor de la circunferencia, en este caso queda infinitamente arrugada ...
De hecho si midieramos la distancia media de la línea a la circunferencia durante el proceso, veríamos en el límite (al repetir el proceso infinitamente) queda separada de la circunferencia, formando otra circunferencia exterior de radio 4/(2*PI).
Es decir arrugar mucho una línea alrededor de algo no hace que se acorte!
#58 De hecho si midieramos la distancia media de la línea a la circunferencia durante el proceso, veríamos en el límite (al repetir el proceso infinitamente) queda separada de la circunferencia, formando otra circunferencia exterior de radio 4/(2*PI).
Ni de coña. En el límite es la circunferencia que se quiere medir y por supuesto la distancia es cero. Y la gente te vota y todo... Joder, ¿tan mal dan matemáticas últimamente?
Pff... estoy leyendo los comentarios, he visto la imagen del menéo y aunque estén erróneas, la cara de mongolo no me la quita nadie. No me entero de nada.
Mi duda:
Si 4! se lee cuatro factorial....
Imbécil! Es el factorial de imbécil??????
Este fue el peor chiste de todo el dia
4º paso
Se ba a abé un foyón...
Esto es una prueba de que cualquier cosa llega a portada en menéame.
Obviamente la suma de las longitudes de los segmentos de función de los cuadraditos recortados nunca va a ser igual al perímetro de la circunferencia.
Esto es tan obvio que la discusión no merece la pena.
PI es por definición la relación entre el diámetro de un círculo y su perímetro y en la demostración se sigue cumpliendo una vez que se obtiene el circulo aproximado de 4 unidades de perímetro. Es como si quiero apostar que soy mas rápido que un amigo corriendo los 100 metros y luego corre Usain Bolt por mi. Sí perdió el otro pero no es lo mismo.
El diagrama "Repeat to infinity" es falso, y aquí esta el truco: al repetir el proceso infinitas veces se obtiene una circunferencia de diámetro 4/PI, un poco mayor que la original.
El diagrama debería mostrar dos circunferencias concéntricas pero nos engaña ...
Y la que se ha armado en internet con esta trolada matemática
Si es que cuando pensaba que ya no se hacían trolls como los de antes...
Ya pues el tema de los 'puntos gordos'